Lineare Funktionalanalysis

Schwerpunkt der Vorlesung ist die systematische Untersuchung unendlich-dimensionaler normierter Räume und der stetigen linearen Abbildungen zwischen diesen Räumen. Die hierbei entwickelte Theorie ist Grundvoraussetzung für die Behandlung wichtiger Problemstellungen u.a. im Bereich der partiellen Diﬀerentialgleichungen, der mathematischen Physik, der Numerik und der Stochastik. Ein wesentliches Merkmal der Funktionalanalysis ist das fruchtbare Zusammenspiel analytischer und linear algebraischer Zusammenhänge. Eine Ausgangsfrage der linearen Algebra ist die Frage der Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme der Form

T x = b .

Hier und im Folgenden seien $𝕂 = ℝ$ oder $𝕂 = ℂ$ und $b \in 𝕂^{m}$ . Ferner sei eine Matrix $T \in 𝕂^{m \times n}$ gegeben. Die Menge der Lösungen $x \in 𝕂^{n}$ ist gesucht. Lösbar ist dieses Gleichungssystem genau dann, wenn $b$ im Erzeugnis der Spalten von $T$ liegt; dies ist leicht zu entscheiden. Im Falle der Lösbarkeit kann man den aﬃnen Lösungsraum dann als Summe einer speziellen Lösung und des Kerns von $T$ schreiben, wobei man diesen Kern ebenfalls leicht durch Zeilenumformungen von $T$ bestimmen kann. In der Funktionalanalysis betrachtet man u.a. ähnlich aussehende Probleme der Form

T u = f .

(1.1)

Hierbei ist $f \in F$ gegeben und $u \in E$ gesucht, wobei nun $E$ und $F$ unendlich-dimensionale Vektorräume über $𝕂$ seien und eine $𝕂$ -lineare Abbildung $T : E \to F$ gegeben ist. In Anwendungen sind dabei $u$ und $f$ oft Funktionen, d.h. Elemente von Funktionenräumen. Wir werden sehen, dass wir zur strukturellen Untersuchung solcher unendlich-dimensionalen Probleme analytische Eigenschaften ins Spiel bringen müssen. Insbesondere werden wir voraussetzen, dass $E$ und $F$ normierte Vektorräume sind und $T$ stetig ist.

Einfaches Beispiel

Wir betrachten die Ruhelage einer eingespannten Saite, deren Auslenkung in vertikaler Richtung durch den Graph einer Funktion $u : [0, 1] \to ℝ$ mit $u (0) = u (1) = 0$ beschrieben sei. Auf diese Saite möge nun die vertikale Kraft $f (x)$ am Punkt $x \in [0, 1]$ wirken. Im Falle der Gewichtskraft wäre dies z.B. $f (x) = - c$ für $x \in [0, 1]$ , wobei $c$ als Produkt der Massendichte der Saite und der Schwerebeschleunigung $g = 9, 81 m ∕ s^{2}$ gegeben ist. Die Form der Saite wird dann (bis auf eine Konstante) durch die Gleichungen

- u^{″} (x) = f (x) x \in (0, 1), u (0) = u (1) = 0

(1.2)

beschrieben. Diese Gleichungen in den unendlich vielen Punkten $x$ kann man zusammenfassend in der Form (1.1) schreiben, wenn man z.B. die Vektorräume

E : = {u \in C^{2} ([0, 1], 𝕂) | u (0) = u (1) = 0}, F : = C ([0, 1], 𝕂)

und die lineare Abbildung $T : E \to F$ , $T u = - u^{″}$ betrachtet. Glücklicherweise ist in diesem Fall das Problem eindeutig lösbar, und die Lösung ist gegeben durch

u : = T^{- 1} f d.h. u (x) = (T^{- 1} f) (x) = \int_{0}^{1} G (x, y) f (y) d y für y \in [0, 1]

mit der Greenfunktion

G (x, y) = {\begin{matrix} (1 - y) x, & x \leq y; \\ (1 - x) y, & x > y . \end{matrix}

Man beachte, dass $T^{- 1} : F \to E$ ein sogenannter Integraloperator ist, den man als Matrix mit durch $x, y \in [0, 1]$ indizierten Einträgen betrachten kann. Damit wäre das einfache Problem (1.2) bereits gelöst. Allerdings schließen sich z.B. folgende wichtige Fragen an, auf welche die Funktionalanalysis Antworten geben kann:

Welche Funktionenräume muss man betrachten, wenn man unstetige vertikale Kräfte $f$ zulassen möchte?

Wie sieht die Lösungsmenge des (ähnlich aussehenden) linearen speziellen Problems von Sturm-Liouville

- {(p u^{'})}^{'} + q u = f in (0, 1), u (0) = u (1) = 0

(1.3)

mit gegebenen Funktionen $p \in C^{1} ([0, 1])$ , $q \in C ([0, 1])$ aus? Hier ist $T : E \to F$ also gegeben durch $T u = - {(p u^{'})}^{'} + q u$ .

Gibt es Eigenfunktionen für die Probleme (1.2) und (1.3), d.h. Funktionen $u \in E \subseteq F$ und $λ \in ℂ$ mit $T u = λ u$ ? Wie sieht die Menge der zugehörigen Eigenwerte aus?
Wie behandelt man eine mehrdimensionale Version des Problems (Eingespannte Membran im vertikalen Kraftfeld)?

Wir werden auf Probleme der Form (1.1) in systematischer Weise zurückkommen. Zuvor müssen wir aber grundlegende Eigenschaften von unendlich-dimensionalen normierten Räumen und stetigen linearen Abbildungen verstehen.

_________________________ Ende des Inhalts für 2022-10-18 __________________________________

2 Normtopologien

2.1 Normierte Räume und Prähilberträume

Bezeichnungen: Stets seien $𝕂 = ℝ$ oder $𝕂 = ℂ$ und $E$ ein $𝕂$ -Vektorraum.

2.1 Deﬁnition.

(a)

Eine Abbildung

∥ \cdot ∥ : E \to ℝ

heißt Halbnormauf

E

, falls für alle

x, y \in E

und

λ \in 𝕂

gilt:

(N1): $∥ λ x ∥ = | λ | ∥ x ∥$ (Homogenität)
(N2): $∥ x + y ∥ \leq ∥ x ∥ + ∥ y ∥$ (Dreiecksungleichung).

Es folgt dann: $∥ 0_{E} ∥ = ∥ 0_{𝕂} \cdot 0_{E} ∥ \overset{(N1)}{=} | 0_{𝕂} | ∥ 0_{E} ∥ = 0$ und damit $0 = ∥ x + (- x) ∥ \overset{(N2)}{\leq} ∥ x ∥ + ∥ - x ∥ \overset{(N1)}{=} 2 ∥ x ∥$ , also

(N3): $∥ x ∥ \geq 0$ für alle $x \in E$ (Positivität).

(b)

Eine Halbnorm

∥ \cdot ∥

auf

E

heißt Norm, falls zusätzlich für alle

x \in E

gilt:

(N4): $∥ x ∥ = 0 \Rightarrow x = 0$ (Deﬁnitheit).

In diesem Fall heißt das Paar $(E, ∥ \cdot ∥)$ normierter Raum.

2.2 Deﬁnition. Zwei Halbnormen $∥ \cdot ∥_{1}, ∥ \cdot ∥_{2}$ auf $E$ heißen äquivalent, falls $a, b > 0$ existieren mit

a ∥ x ∥_{1} \leq ∥ x ∥_{2} \leq b ∥ x ∥_{1} für alle x \in E .

Wir schreiben dann: $∥ \cdot ∥_{1} \sim ∥ \cdot ∥_{2}$ . Die Relation „ $\sim$ “ deﬁniert Äquivalenzrelationen auf der Menge der Halbnormen und auf der Menge der Normen auf $E$ .

2.3 Bemerkung und Beispiel.

(a)

\dim E < \infty

\Rightarrow

Alle Normen auf

E

sind äquivalent.

(b)

E = 𝕂^{N}

. Für

x \in 𝕂^{N}

und

p \in [1, \infty]

sei

| x |_{p} : = {\begin{matrix} {(| x_{1} |^{p} + \dots + | x_{N} |^{p})}^{\frac{1}{p}}, & p < \infty, \\ \max_{1 \leq i \leq N} | x_{i} |, & p = \infty . \end{matrix}

Bekannt aus der Analysis II: $| \cdot |_{p} : E \to ℝ$ ist eine Norm auf $E$ . Dabei gilt die Höldersche Ungleichung:

\sum_{i = 1}^{N} | x_{i} y_{i} | \leq | x |_{p} | y |_{p^{'}} für alle x, y \in 𝕂^{N} mit p^{'} : = {\begin{matrix} \frac{p}{p - 1}, & falls 1 < p < \infty, \\ \infty, & falls p = 1, \\ 1, & falls p = \infty . \end{matrix}

Hier heißt $p^{'}$ der zu $p$ konjugierte Exponent. Beachte: $p, q \in (1, \infty)$ sind konjugiert g.d.w. $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ gilt.

(c)

Sei

M

eine beliebige Menge, und sei

ℓ^{\infty} (M, 𝕂)

der

𝕂

-Vektorraum der beschränkten Funktionen

u : M \to 𝕂

mit punktweisen linearen Operationen. Dann ist

ℓ^{\infty} (M, 𝕂)

ein normierter

𝕂

-Vektorraum mit der Supremumsnorm

∥ \cdot ∥_{\infty}

deﬁniert durch

∥ u ∥_{\infty} : = \sup_{z \in M} | u (z) |

. Der Beweis der Normeigenschaften ist sehr einfach. Ist

M = ℕ

, so notiert man die Funktionswerte von

u \in ℓ^{\infty} (ℕ, 𝕂)

als Folge, d.h. man schreibt

u = {(u_{k})}_{k}

mit

u_{k} = u (k)

. Dann ist

∥ u ∥_{\infty} = \sup_{k \in ℕ} | u_{k} |

. Kurzschreibweisen:

ℓ^{\infty} (M)

statt

ℓ^{\infty} (M, 𝕂)

und

ℓ^{\infty}

statt

ℓ^{\infty} (ℕ) = ℓ^{\infty} (ℕ, 𝕂)

Wir wollen im Folgenden weitere unendlich-dimensionale normierte Räume durch ein allgemeines Prinzip konstruieren. Dieses Prinzip liefert auch einen (alternativen) Beweis der Halbnormeigenschaften von $| \cdot |_{p}$ aus Bemerkung und Beispiel 2.3 (b).

2.4 Deﬁnition.

(a)

Eine Teilmenge

A \subseteq E

heißt

konvex, wenn für alle $x, y \in A$ , $λ \in [0, 1]$ gilt: $(1 - λ) x + λ y \in A$ ;
symmetrisch, wenn gilt: $𝜃 A = A$ für alle $𝜃 \in 𝕂$ mit $| 𝜃 | = 1$ ;
absolut konvex, wenn $A$ konvex und symmetrisch ist;
absorbierend, wenn für jedes $x \in E$ ein $s > 0$ existiert mit $s x \in A$ .

(b)

Eine auf einer konvexen Teilmenge

A \subseteq E

deﬁnierte Funktion

f : A \to ℝ \cup {\infty}

heißt konvex, wenn $f ((1 - λ) x + λ y) \leq (1 - λ) f (x) + λ f (y)$ für alle $x, y \in A$ , $λ \in [0, 1]$ , gilt. Ist $A$ absolut konvex, so heißt $f$ absolut konvex, wenn $f$ konvex und gerade ist. Dabei heißt $f$ gerade, wenn $f (𝜃 x) = f (x)$ für alle $x \in A$ und $𝜃 \in 𝕂$ mit $| 𝜃 | = 1$ gilt.

2.5 Bemerkung und Beispiel.

(a): Ist $∥ \cdot ∥$ eine Halbnorm auf $E$ und $r > 0$ , so sind die Mengen $U_{r} (0) : = {x \in E | ∥ x ∥ < r}$ und $B_{r} (0) : = {x \in E | ∥ x ∥ \leq r}$ absolut konvex und absorbierend.
(b): $A \subseteq E$ ist absolut konvex genau dann, wenn $λ x + μ y \in A$ für alle $x, y \in A$ , $λ, μ \in 𝕂$ mit $| λ | + | μ | \leq 1$ gilt.
(c): Für $n \in ℕ$ und Zahlen $λ_{1}, \dots, λ_{n} \in [0, \infty)$ (Gewichte) mit $\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} = 1$ heißt $\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x_{i}$ Konvexkombinationder Elemente $x_{1}, \dots, x_{n} \in E$ . Ist $A$ konvex, so liegt jede Konvexkombination von Elementen aus $A$ wieder in $A$ .
(d): Ist $A \subseteq E$ absolut konvex, so gilt $\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x_{i} \in A$ für alle $n \in ℕ$ , $x_{1}, \dots, x_{n} \in A$ und $λ_{1}, \dots, λ_{n} \in 𝕂$ mit $\sum_{i = 1}^{n} | λ_{i} | \leq 1$ .
(e): Sei $I \subseteq ℝ$ ein Intervall. Dann ist $f \in C^{1} (I)$ genau dann konvex, wenn $f^{'}$ monoton wachsend ist.

Die Beweise von (a)–(e) sind allesamt recht einfach.

2.6 Satz. Sei $A \subseteq E$ absolut konvex und absorbierend. Dann wird durch

∥ x ∥_{A} : = \inf {t > 0 | \frac{x}{t} \in A} = \inf {t > 0 | x \in t A} für x \in E

eine Halbnorm auf $E$ deﬁniert.

Beweis.Da $A$ absorbierend ist, erhält man $∥ x ∥_{A} < \infty$ für alle $x \in E$ . Zur Homogenität: Für $x \in E$ und $λ \in 𝕂$ gilt

\begin{array}{l} ∥ λ x ∥_{A} & = \inf {t > 0 | λ x \in t A} = \inf {t > 0 | | λ | x \in t A} \\ = \inf {| λ | s | s > 0, x \in s A} = | λ | ∥ x ∥_{A} . \end{array}

Zur Dreiecksungleichung: Seien $x, y \in E$ , und seien $s, t > 0$ mit $\frac{x}{s}, \frac{y}{t} \in A$ . Mit $λ = \frac{t}{t + s}$ (also $1 - λ = \frac{s}{t + s}$ ) ist dann

\frac{x + y}{s + t} = (1 - λ) \frac{x}{s} + λ \frac{y}{t} \in A

aufgrund der Konvexität von $A$ , und somit folgt $∥ x + y ∥_{A} \leq s + t$ . Durch Inﬁmumbildung in $s$ und $t$ folgt $∥ x + y ∥_{A} \leq ∥ x ∥_{A} + ∥ y ∥_{A}$ . □

2.7 Deﬁnition und Satz. Für $p \in [1, \infty)$ sei $ℓ^{p} (ℕ, 𝕂)$ die Menge aller Folgen $x = {(x_{k})}_{k}$ in $𝕂$ mit $\sum_{k \in ℕ} | x_{k} |^{p} < \infty$ . Dann ist $ℓ^{p} (ℕ, 𝕂)$ ein normierter $𝕂$ -Vektorraum (bzgl. komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation) mit der Norm $∥ \cdot ∥_{p}$ deﬁniert durch

∥ x ∥_{p} : = {(\sum_{k \in ℕ} | x_{k} |^{p})}^{\frac{1}{p}} für x = {(x_{k})}_{k} \in ℓ^{p} (ℕ, 𝕂) .

Beweis.Oﬀensichtlich ist die Nullfolge $0 \in ℓ^{p} (ℕ, 𝕂)$ . Seien $x = {(x_{k})}_{k}$ , $y = {(y_{k})}_{k} \in ℓ^{p} (ℕ, 𝕂)$ und $λ \in 𝕂$ . Dann ist

\sum_{k \in ℕ} | λ x_{k} |^{p} = | λ |^{p} \sum_{k} | x_{k} |^{p} < \infty,

und somit $λ x = {(λ x_{k})}_{k} \in ℓ^{p} (ℕ, 𝕂)$ . Da die Funktion $(0, \infty) \to ℝ$ , $t \mapsto t^{p}$ gemäß Bemerkung und Beispiel 2.5 (e) konvex ist, gilt ferner

\begin{matrix} \sum_{k \in ℕ} | x_{k} + y_{k} |^{p} \leq \sum_{k \in ℕ} {(| x_{k} | + | y_{k} |)}^{p} \leq \sum_{k \in ℕ} {(2 \max {| x_{k} |, | y_{k} |})}^{p} \\ = 2^{p} \sum_{k \in ℕ} \max {| x_{k} |^{p}, | y_{k} |^{p}} \leq 2^{p} \sum_{k \in ℕ} (| x_{k} |^{p} + | y_{k} |^{p}) < \infty \end{matrix}

und somit $x + y = {(x_{k} + y_{k})}_{k} \in ℓ^{p} (ℕ, 𝕂)$ . Also ist $ℓ^{p} (ℕ, 𝕂)$ ein $𝕂$ -Vektorraum. Zudem ist

A : = {x \in ℓ^{p} (ℕ, 𝕂) | \sum_{k \in ℕ} | x_{k} |^{p} \leq 1}

eine absorbierende Teilmenge von $ℓ^{p} (ℕ, 𝕂)$ , denn für $x \in ℓ^{p} (ℕ, 𝕂) \ {0}$ gilt $x ∕ ∥ x ∥_{p} \in A$ . Aufgrund der Konvexität der Funktion $t \mapsto t^{p}$ ist $A$ auch absolut konvex, wie man leicht nachprüft. Somit deﬁniert

\begin{matrix} ∥ x ∥_{A} = \inf {t > 0 | \sum_{k \in ℕ} {| \frac{x_{k}}{t} |}^{p} \leq 1} = \inf {t > 0 | \sum_{k \in ℕ} | x_{k} |^{p} \leq t^{p}} \\ = {(\sum_{k \in ℕ} | x_{k} |^{p})}^{\frac{1}{p}} = ∥ x ∥_{p} \end{matrix}

eine Halbnorm auf $ℓ^{p} (ℕ, 𝕂)$ gemäß Satz 2.6. Zum Beweis der Deﬁnitheit (N4) beachte man: $∥ x ∥_{p} = 0 \Rightarrow \sum_{k \in ℕ} | x_{k} |^{p} = 0 \Rightarrow x_{k} = 0$ für alle $k \in ℕ \Rightarrow x = 0$ . □

2.8 Bemerkung.

(a)

Analog deﬁniert man

ℓ^{p} (I, 𝕂)

für eine beliebige höchstens abzählbare Indexmenge

I

anstelle von

ℕ

, z.B.

I = ℤ

. Kurzschreibweisen:

ℓ^{p} (I)

statt

ℓ^{p} (I, 𝕂)

und

ℓ^{p}

statt

ℓ^{p} (ℕ) = ℓ^{p} (ℕ, 𝕂)

. Man beachte: Der Fall

I = {1, \dots, N}

führt wieder zurück auf

𝕂^{N}

(b)

Sind

p, q \in [1, \infty]

konjugierte Exponenten, so gilt die Höldersche Ungleichung

\sum_{k \in I} | x_{k} y_{k} | \leq ∥ x ∥_{p} ∥ y ∥_{q} für x = {(x_{k})}_{k} \in ℓ^{p} (I, 𝕂), y = {(y_{k})}_{k} \in ℓ^{q} (I, 𝕂) .

Im Fall $p = \infty$ , $q = 1$ sieht man dies direkt:

\sum_{k \in I} | x_{k} y_{k} | \leq \sum_{k \in I} ∥ x ∥_{\infty} | y_{k} | = ∥ x ∥_{\infty} ∥ y ∥_{1} .

Im Fall $p, q \in (1, \infty)$ verwenden wir die Youngsche Ungleichung

a b \leq \frac{a^{p}}{p} + \frac{b^{q}}{q} für a, b \geq 0 .

(2.1)

Diese Ungleichung beweist man leicht durch Minimierung der Funktion $x \mapsto \frac{x^{p}}{p} - x b$ in $[0, \infty)$ für festes $b \geq 0$ . Unter Verwendung von (2.1) folgt nun mit $s = ∥ x ∥_{p}$ , $t = ∥ y ∥_{q}$ :

\begin{array}{l} \sum_{k \in I} | x_{k} y_{k} | = s t \sum_{k \in I} | \frac{x_{k}}{s} \cdot \frac{y_{k}}{t} | & \leq s t \sum_{k \in I} (\frac{1}{p} {| \frac{x_{k}}{s} |}^{p} + \frac{1}{q} {| \frac{y_{k}}{t} |}^{q}) \\ = s t (\frac{1}{p} {∥ \frac{x}{s} ∥}_{p}^{p} + \frac{1}{q} {∥ \frac{y}{t} ∥}_{q}^{q}) = s t (\frac{1}{p} + \frac{1}{q}) = s t . \end{array}

2.9 Satz. Sei $p \in [1, \infty)$ .

(a): Für $q \in (p, \infty]$ gilt $ℓ^{p} \subseteq ℓ^{q}$ , $ℓ^{p} \neq ℓ^{q}$ , und $∥ x ∥_{q} \leq ∥ x ∥_{p}$ für alle $x \in ℓ^{p}$ , aber $∥ \cdot ∥_{q}$ und $∥ \cdot ∥_{p}$ sind nicht äquivalent auf $ℓ^{p}$ .
(b): $\lim_{\begin{array}{c} q \to \infty \\ q \geq p \end{array}} ∥ x ∥_{q} = ∥ x ∥_{\infty}$ für alle $x \in ℓ^{p}$ .

Beweis.Übung. □

_________________________ Ende des Inhalts für 2022-10-21 __________________________________

2.10 Deﬁnition.

(a)

Eine Abbildung

h : E \times E \to 𝕂

heißt hermitesche Formauf

E

, falls gilt:

(H1): $h (\cdot, y) : E \to 𝕂$ ist $𝕂$ -linear für alle $y \in E$ ;
(H2): $h (x, y) = \bar{h (y, x)}$ für alle $x, y \in E$ . Insbesondere folgt: $h (x, x) \in ℝ$ für alle $x \in E$ .

(b)

Eine hermitesche Form

h

heißt positiv, falls

h (x, x) \geq 0

für alle

x \in E

gilt.

(c)

Eine positive hermitesche Form heißt Skalarprodukt, wenn für alle

x \in E

die Implikation

h (x, x) = 0

\Rightarrow

x = 0

gilt. In diesem Fall schreiben wir oft

⟨ x, y ⟩

statt

h (x, y)

. Das Paar

(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)

heißt dann Prähilbertraum.

2.11 Bemerkung. Ist $h$ eine hermitesche Form auf $E$ , so gilt

h (x, α y_{1} + β y_{2}) = \bar{α} h (x, y_{1}) + \bar{β} h (x, y_{2}) für alle x, y_{1}, y_{2} \in E, α, β \in 𝕂 .

Ist $𝕂 = ℝ$ , so ist $h$ genau dann eine hermitesche Form, wenn es eine symmetrische Bilinearform ist.

2.12 Satz. Sei $h$ eine positive hermitesche Form auf $E$ . Dann gilt:

(a): $| h (x, y) |^{2} \leq h (x, x) h (y, y)$ für alle $x, y \in E$ (Cauchy-Schwarz-Ungleichung)
(b): Durch $∥ x ∥ : = \sqrt{h (x, x)}$ ist eine Halbnorm auf $E$ deﬁniert. Diese ist genau dann eine Norm, wenn $h$ ein Skalarprodukt ist.

Beweis.Übung. □

2.13 Beispiel. Sei $I$ eine höchstens abzählbare Indexmenge. Dann ist $ℓ^{2} (I)$ ein Prähilbertraum mit Skalarprodukt $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ deﬁniert durch

⟨ x, y ⟩ : = \sum_{k \in I} x_{k} {\bar{y}}_{k} für x = {(x_{k})}_{k \in I}, y = {(y_{k})}_{k \in I} \in ℓ^{2} (I) .

Die Konvergenz der obigen Reihe folgt aus dem Majorantenkriterium, denn es gilt

| x_{k} {\bar{y}}_{k} | = | x_{k} | | y_{k} | \leq \frac{1}{2} (| x_{k} |^{2} + | y_{k} |^{2}) für alle k \in ℕ,

und die Reihen $\sum_{k} | x_{k} |^{2}$ und $\sum_{k} | y_{k} |^{2}$ konvergieren.

2.2 Topologische Eigenschaften normierter Räume

Wir wiederholen zunächst die grundlegenden topologischen Begriﬀe in metrischen Räumen.

2.14 Deﬁnition. Sei $X$ eine Menge. Eine Metrikauf $X$ ist eine Abbildung $d : X \times X \to [0, \infty)$ , so dass für $x, y, z \in X$ gilt:

(M1): $d (x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y$ ,
(M2): $d (x, y) = d (y, x)$ ,
(M3): $d (x, z) \leq d (x, y) + d (y, z)$ .

Das Paar $(X, d)$ heißt metrischer Raum.

2.15 Deﬁnition und Bemerkung.

(a)

Für

A \subseteq X

x^{*} \in X

und

𝜀 > 0

setzen wir:

\begin{array}{l} diam A & : = \sup {d (x, y) | x, y \in A} & (Durchmesser von A), \\ dist (x^{*}, A) & : = \inf {d (x^{*}, y) | y \in A} & (Abstand von x^{*} zu A), \\ U_{𝜀} (x^{*}) & : = {y \in X | d (y, x^{*}) < 𝜀} & (oﬀene 𝜀 -Kugel um x^{*}), \\ B_{𝜀} (x^{*}) & : = {y \in X | d (y, x^{*}) \leq 𝜀} & (abgeschlossene 𝜀 -Kugel um x^{*}), \\ U_{𝜀} (A) & : = {y \in X | dist (y, A) < 𝜀} & (oﬀene 𝜀 -Umgebung von A), \\ B_{𝜀} (A) & : = {y \in X | dist (y, A) \leq 𝜀} & (abgeschl. 𝜀 -Umgebung von A), \\ \bar{A} & : = {x \in X | dist (x, A) = 0} & (Abschluss von A), \\ int (A) : = Å & : = {x \in A | \exists 𝜀 > 0 : U_{𝜀} (x) \subseteq A} & (oﬀener Kern von A), \\ \partial A & : = \bar{A} \ Å & (Rand von A) . \end{array}

(b)

A

heißt

abgeschlossen, falls $A = \bar{A}$ ;
oﬀen, falls $A = Å$ ;
Umgebung von $x$ , falls $x \in Å$ ;
dicht in $X$ , falls $\bar{A} = X$ ;
beschränkt, falls $diam A < \infty$ .

Es gilt:

$U_{𝜀} (x^{*})$ , $U_{𝜀} (A)$ sind oﬀen, $B_{𝜀} (x^{*}), B_{𝜀} (A)$ sind abgeschlossen;
$A$ oﬀen $\Leftrightarrow X \ A$ abgeschlossen;
$X, \emptyset$ sind oﬀen und abgeschlossen;
$Å$ ist oﬀen, $\bar{A}$ ist abgeschlossen;
$\partial A$ ist abgeschlossen.

(c)

Seien

A_{i} \subseteq X

i \in I

(

I

beliebige Indexmenge). Dann gilt:

Sind alle $A_{i}$ , $i \in I$ , oﬀen, so auch $⋃_{i \in I} A_{i}$ und, falls $I$ endlich ist, auch $⋂_{i \in I} A_{i}$ .
Sind alle $A_{i}, i \in I$ , abgeschlossen, so auch $⋂_{i \in I} A_{i}$ und, falls $I$ endlich ist, auch $⋃_{i \in I} A_{i}$ .

(d)

Sei

a \in X

und

{(x_{k})}_{k} \subseteq X

eine Folge. Falls

d (x_{k}, a) \to 0

für

k \to \infty

, so nennen wir

a

Grenzwert der Folge

{(x_{k})}_{k}

und schreiben

a = \lim_{k \to \infty} x_{k}

bzw.

x_{k} \to a

für

k \to \infty

. Leicht zu sehen: Durch diese Eigenschaft ist

a

eindeutig bestimmt.

(e)

Ist

E

ein

𝕂

-Vektorraum, so induziert jede Norm

∥ \cdot ∥

auf

E

eine Metrik

d

, gegeben durch

d (x, y) : = ∥ x - y ∥

für alle

x, y \in E

. Ist

(X, d)

ein metrischer Raum und

A \subseteq X

, so ist auch

(A, d)

ein metrischer Raum. Insbesondere ist jede Teilmenge eines normierten Raumes ein metrischer Raum mit der durch die Norm induzierten Metrik.

(f)

Die Eigenschaften „oﬀen“ und „abgeschlossen“ hängen vom umgebenden metrischen Raum ab. Ist

(X, d)

ein metrischer Raum und

M \subseteq X

, so gilt für

A \subseteq M

$A$ oﬀen in $(M, d) \Leftrightarrow$ es existiert $A^{'} \subseteq X$ , $A^{'}$ oﬀen in $X$ , mit $A = A^{'} \cap M$ ;
$A$ abgeschlossen in $(M, d) \Leftrightarrow$ es existiert $A^{'} \subseteq X$ , $A^{'}$ abgeschlossen in $X$ , mit $A = A^{'} \cap M$ .

(g)

Sei

E

ein

𝕂

-Vektorraum. Zwei äquivalente Normen

∥ \cdot ∥_{1}

und

∥ \cdot ∥_{2}

auf

E

erzeugen die gleiche Topologie, d.h. das gleiche System oﬀener Teilmengen. Für

A \subseteq E

gilt also, dass

A

genau dann oﬀen bzgl.

∥ \cdot ∥_{1}

ist, wenn

A

oﬀen bzgl.

∥ \cdot ∥_{2}

ist. Gleichermaßen invariant bleiben die Eigenschaften „abgeschlossen“, „beschränkt“ und „dicht“, die Deﬁnitionen

\bar{A}

und

Å

und die Konvergenz von Folgen. Insbesondere sind diese Begriﬀe im Vektorraum

𝕂^{N}

, unabhängig von der Wahl einer Norm, wohldeﬁniert.

2.16 Deﬁnition. Der metrische Raum $(X, d)$ heißt separabel, falls $X$ eine abzählbare dichte Teilmenge besitzt. Hier und im Folgenden steht „abzählbar“ für „endlich oder abzählbar unendlich“.

2.17 Beispiel.

(a)

𝕂^{N}

ist separabel, denn

$ℚ^{N}$ ist abzählbar und dicht in $ℝ^{N}$
${(ℚ + i ℚ)}^{N}$ ist abzählbar und dicht in $ℂ^{N}$ .

(b)

ℝ \ ℚ

ist separabel, denn

\sqrt{2} + ℚ

ist eine abzählbare und dichte Teilmenge von

ℝ \ ℚ

2.18 Satz. $(X, d)$ separabel, $A \subseteq X \Rightarrow (A, d)$ separabel.

Beweis.Nach Voraussetzung existiert eine abzählbare Menge $Y = {y_{n} | n \in ℕ} \subseteq X$ , welche in $X$ dicht liegt. Wir setzen

H : = {(m, n) \in ℕ \times ℕ | B_{\frac{1}{m}} (y_{n}) \cap A \neq \emptyset}

und wählen $b_{m, n} \in B_{\frac{1}{m}} (y_{n}) \cap A$ für jedes $(m, n) \in H$ . Da $H$ abzählbar ist, ist auch die Menge

B : = {b_{m, n} | (m, n) \in H} \subseteq A

abzählbar. Ferner ist $B$ dicht in $A$ (Übung!). Es folgt, dass $A$ separabel ist. □

2.19 Deﬁnition. Sei $(E, ∥ \cdot ∥)$ ein normierter Raum. Eine Teilmenge $M \subseteq E$ heißt total, falls $\bar{span M} = E$ gilt. Hier und im Folgenden bezeichne „ $span M$ “ das Vektorraumerzeugnis von $M$ in $E$ , welches als der Unterraum aller Linearkombinationen von Elementen aus $M$ bzw. äquivalent als der Schnitt aller Unterräume von $E$ , welche $M$ enthalten, gegeben ist.

2.20 Satz. Sei $(E, ∥ \cdot ∥)$ ein normierter $𝕂$ -Vektorraum. Dann ist $E$ genau dann separabel, wenn $E$ eine abzählbare totale Teilmenge enthält.

Beweis.„ $\Rightarrow$ “: Sei $E$ separabel. Dann existiert eine abzählbare Teilmenge $M \subseteq E$ mit $\bar{M} = E$ . Es folgt $E = \bar{M} \subseteq \bar{span M} \subseteq E$ , also $\bar{span M} = E$ . Demnach ist $M$ total.

„ $\Leftarrow =$ “: Sei $M \subseteq E$ abzählbar und total. Wir setzen

D : = {\sum_{k = 1}^{n} a_{k} v_{k} | n \in ℕ, a_{1}, \dots, a_{n} \in R, v_{1}, \dots, v_{n} \in M},

wobei

R : = {\begin{matrix} ℚ, & falls 𝕂 = ℝ, \\ ℚ + i ℚ, & falls 𝕂 = ℂ, \end{matrix}

sei. $D$ ist abzählbar, da $M$ und $R$ abzählbar sind.

Seien nun $x \in E$ und $𝜀 > 0$ gegeben. Da $M$ total ist, existieren $v_{1}, \dots, v_{n} \in M$ und $λ_{1}, \dots, λ_{n} \in 𝕂$ mit

∥ x - \sum_{k = 1}^{n} λ_{k} v_{k} ∥ < \frac{𝜀}{2} .

(2.2)

Sei $C : = \sum_{k = 1}^{n} ∥ v_{k} ∥$ . Da $R$ dicht in $𝕂$ ist, existieren $a_{1}, \dots, a_{n} \in R$ mit

| λ_{k} - a_{k} | < \frac{𝜀}{2 C} für k = 1, \dots, n .

Es folgt

∥ x - \sum_{k = 1}^{n} a_{k} v_{k} ∥ \overset{(2.2)}{\leq} \frac{𝜀}{2} + ∥ \sum_{k = 1}^{n} (λ_{k} - a_{k}) v_{k} ∥ \leq \frac{𝜀}{2} + \sum_{k = 1}^{n} | λ_{k} - a_{k} | ∥ v_{k} ∥ < \frac{𝜀}{2} + \frac{𝜀}{2} = 𝜀 .

Da $𝜀 > 0$ beliebig gewählt war, folgt $x \in \bar{D}$ . Somit ist $\bar{D} = E$ , und $E$ ist separabel. □

2.21 Deﬁnition und Bemerkung.

(a): Eine Folge ${(x_{k})}_{k} \subseteq 𝕂$ heißt ﬁnit, falls $x_{k} \neq 0$ für höchstens endlich viele $k \in ℕ$ gilt. Sei $F$ der $𝕂$ -Vektorraum der ﬁniten Folgen. Es gilt dann $F \subseteq ℓ^{p}$ für alle $p \in [1, \infty]$ . Eine Basis $B$ von $F$ ist gegeben durch die Einheitsvektoren $e_{k} : = {(δ_{k j})}_{j} = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots)$ , $k \in ℕ$ . Für $p \in [1, \infty)$ ist $F$ dicht in $ℓ^{p}$ (Übung), also $B$ total in $ℓ^{p}$ . Es folgt mit Satz 2.20: $ℓ^{p}$ ist für $p \in [1, \infty)$ separabel.
(b): $ℓ^{\infty}$ ist nicht separabel (Übung).

2.3 Stetige Abbildungen

Seien im Folgenden $(X, d_{X})$ und $(Y, d_{Y})$ metrische Räume.

2.22 Deﬁnition und Bemerkung. Seien $f : X \to Y$ eine Abbildung und $a \in X$ .

(a)

f

heißt stetigin

a

, wenn

\lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = f (a)

für jede Folge

{(x_{n})}_{n}

X

mit

\lim_{n \to \infty} x_{n} = a

gilt. Dies ist bekanntermaßen äquivalent zu jeder der folgenden Eigenschaften:

Für alle $𝜀 > 0$ existiert $δ > 0$ mit $f (U_{δ} (a)) \subseteq U_{𝜀} (f (a))$ .
Für jede Umgebung $V$ von $f (a)$ in $Y$ ist $f^{- 1} (V)$ eine Umgebung von $a$ in $X$ .

(b)

f

heißt stetig, wenn

f

in jedem Punkt aus

X

stetig ist. Dies ist äquivalent zu jeder der folgenden Eigenschaften:

Für jede in $Y$ oﬀene Teilmenge $V$ von $Y$ ist $f^{- 1} (V)$ oﬀen in $X$ .
Für jede in $Y$ abgeschlossene Teilmenge $V$ von $Y$ ist $f^{- 1} (V)$ abgeschlossen in $X$ .
Für alle $A \subseteq X$ gilt $f (\bar{A}) \subseteq \bar{f (A)}$ .

(c)

Wir setzen

\begin{array}{l} C (X, Y) & : = {f : X \to Y | f ist stetig} \\ und \\ C_{b} (X, Y) & : = {f \in C (X, Y) | f (X) ist beschränkt} . \end{array}

Ist speziell $Y = 𝕂$ (mit $𝕂 = ℝ$ oder $𝕂 = ℂ$ ), so schreiben wir kurz $C (X)$ anstelle von $C (X, 𝕂)$ und $C_{b} (X)$ anstelle von $C_{b} (X, 𝕂)$ .

2.23 Bemerkung.

(a): Die Komposition stetiger Abbildungen ist stetig
(b): Sind $f_{n} : X \to Y$ stetig für $n \in ℕ$ und konvergiert die Funktionenfolge ${(f_{n})}_{n}$ gleichmäßig gegen $f : X \to Y$ (d.h. $\sup_{x \in X} d_{Y} (f_{n} (x), f (x)) \to 0$ für $n \to \infty$ ), so ist auch $f$ stetig.
(c): Sind $f, g : X \to Y$ stetig und ist ${x \in X | f (x) = g (x)}$ dicht in $X$ , so ist $f \equiv g$ .
(d): Die Mengen $C (X)$ und $C_{b} (X)$ sind $𝕂$ -Vektorräume. Genauer ist $C_{b} (X)$ ein abgeschlossener Unterraum von $ℓ^{\infty} (X)$ bzgl. der Norm $∥ \cdot ∥_{\infty}$ . Dies folgt aus (b), da die Konvergenz bzgl. $∥ \cdot ∥_{\infty}$ genau der gleichmäßigen Konvergenz entspricht. Falls nicht explizit anders bemerkt, betrachten wir $C_{b} (X)$ im Folgenden stets mit der Norm $∥ \cdot ∥_{\infty}$

2.24 Deﬁnition. Sei $f : X \to Y$ eine Abbildung

(a)

f

heißt gleichmäßig stetig, falls für alle

𝜀 > 0

ein

δ > 0

existiert, so dass für alle

x_{1}, x_{2} \in X

die Implikation gilt:

d_{X} (x_{1}, x_{2}) < δ

\Rightarrow d_{Y} (f (x_{1}), f (x_{2})) < 𝜀

(b)

f

heißt Lipschitz- stetig, falls

L > 0

existiert mit

d_{Y} (f (x_{1}), f (x_{2})) \leq L d_{X} (x_{1}, x_{2}) für alle x_{1}, x_{2} \in X .

(c)

f

heißt Isometrie, falls

d_{Y} (f (x_{1}), f (x_{2})) = d_{X} (x_{1}, x_{2})

für alle

x_{1}, x_{2} \in X

(d)

f

heißt Homöomorphismus, falls

f

bijektiv ist und

f

sowie

f^{- 1}

stetig sind. Existiert solch ein

f

, so heißen

X

und

Y

homöomorph. Wir schreiben in diesem Fall

X \approx Y

2.25 Bemerkung.

(a): Für eine Abbildung $f : X \to Y$ gelten folgende Implikationen: $f$ Isometrie $\Rightarrow$ $f$ Lipschitz-stetig $\Rightarrow$ $f$ gleichmäßig stetig $\Rightarrow$ $f$ stetig.
(b): Es gelte $\emptyset \neq A \subseteq X$ . Dann ist die Abbildung $X \to ℝ$ , $x \mapsto dist (x, A)$ Lipschitz-stetig (mit Lipschitz-Konstante $1$ ).

_________________________ Ende des Inhalts für 2022-10-25 __________________________________

Seien im Folgenden $(E, ∥ \cdot ∥_{E})$ , $(F, ∥ \cdot ∥_{F})$ normierte $𝕂$ -Vektorräume.

2.26 Satz. Sei $T : E \to F$ $𝕂$ -linear.

(a)

Äquivalent sind:

$T$ ist stetig;
$T$ ist stetig in $0$ ;
$T (B_{1} (0))$ ist in $F$ beschränkt(Erinnerung: $B_{1} (0) : = {x \in E | ∥ x ∥_{E} \leq 1}$ );
$T$ ist Lipschitz-stetig.

(b)

Ist

\dim E < \infty

, so ist

T

stetig.

Beweis. (a) bekannt und einfach.

(b) Man sieht direkt, dass eine Norm $∥ \cdot ∥_{T}$ auf $E$ deﬁniert ist durch $∥ x ∥_{T} : = ∥ x ∥_{E} + ∥ T x ∥_{F}$ . Nach Bemerkung und Beispiel 2.3 (a) ist $∥ \cdot ∥_{T}$ äquivalent zu $∥ \cdot ∥_{E}$ , da $E$ endlichdimensional ist. Somit existiert $C > 0$ mit

∥ x ∥_{T} \leq C ∥ x ∥_{E} für alle x \in E,

also insbesondere

∥ T x ∥_{F} \leq ∥ x ∥_{T} \leq C ∥ x ∥_{E} \leq C für alle x \in B_{1} (0) . □

2.27 Deﬁnition.

(a)

Wir setzen

L (E, F) : = {T : E \to F | T ist linear und stetig} .

Man rechnet leicht nach, dass $L (E, F)$ mit der Deﬁnition

∥ T ∥ : = ∥ T ∥_{L (E, F)} : = \sup_{x \in B_{1} (0)} ∥ T x ∥_{F} = \sup_{x \in E \ {0}} \frac{∥ T x ∥_{F}}{∥ x ∥_{E}}

ein normierter Raum ist.

(b)

Der Vektorraum

E^{'} : = L (E, 𝕂)

heißt topologischer Dualraumvon

E

(c)

Wir setzen

L (E) : = L (E, E)

(Raum der stetigen Endomorphismen von

E

(d)

Eine bijektive

𝕂

-lineare Abbildung

T : E \to F

heißt topologischer Isomorphismus, falls

T

und

T^{- 1}

stetig sind. Existiert eine solche Abbildung

T

, so heißen

(E, ∥ \cdot ∥_{E})

und

(F, ∥ \cdot ∥_{F})

topologisch isomorph. Wir setzen

Iso (E, F) : = {T : E \to F | T ist ein topologischer Isomorphismus}

und schreiben kurz $Iso (E)$ anstelle von $Iso (E, E)$ .

(e)

Die Identität

i d : E \to E

schreiben wir meist als

I : = i d

, so wie in der Operatorentheorie üblich.

2.28 Bemerkung.

(a)

Die Elemente von

L (E, F)

nennt man auch beschränkte lineare Operatoren, und

∥ \cdot ∥ = ∥ \cdot ∥_{L (E, F)}

nennt man die Operatornorm.

(b)

Ist

T \in L (E, F)

, so ist

c = ∥ T ∥

die kleinste nichtnegative Zahl mit der Eigenschaft

∥ T x ∥_{F} \leq c ∥ x ∥_{E} für alle x \in E .

(c)

Ist

(G, ∥ \cdot ∥_{G})

ein weiterer normierter Raum und sind

T \in L (E, F)

und

S \in L (F, G)

gegeben, so gilt

∥ S T x ∥_{G} \leq ∥ S ∥ ∥ T x ∥_{F} \leq ∥ S ∥ ∥ T ∥ ∥ x ∥_{E} für alle x \in E,

also

S T \in L (E, G) und ∥ S T ∥ \leq ∥ S ∥ ∥ T ∥ (Submultiplikativität der Norm) .

Insbesondere gilt $∥ T^{n} ∥ \leq ∥ T ∥^{n}$ für $T \in L (E)$ und $n \in ℕ$ .

2.29 Beispiel.

(a)

Sei der

𝕂

-Vektorraum

F

der ﬁniten Folgen (siehe Deﬁnition und Bemerkung 2.21) versehen mit

∥ \cdot ∥_{\infty}

, d.h.

∥ x ∥_{\infty} = \sup_{k \in ℕ} | x_{k} | = \max_{k \in ℕ} | x_{k} |

für

x \in F

. Sei ferner

T : F \to F

deﬁniert durch

T {(x_{k})}_{k} = {(\frac{1}{k} x_{k})}_{k}

. Man sieht leicht, dass

T

bijektiv ist. Da ferner

∥ T x ∥_{\infty} \leq ∥ x ∥_{\infty}

für alle

x \in F

gilt, ist

T

auch stetig. Allerdings ist

T^{- 1}

nicht stetig, da

\frac{1}{k} e_{k} \to 0 in (F, ∥ \cdot ∥_{\infty}) und {∥ T^{- 1} \frac{1}{k} e_{k} ∥}_{\infty} = ∥ e_{k} ∥_{\infty} = 1

für alle $k$ gilt. Hier sei $e_{k} : = {(δ_{n k})}_{n} \in F$ wie in Deﬁnition und Bemerkung 2.21 der $k$ -te Einheitsvektor in $F$ .

(b)

Sei

1 \leq p < q \leq \infty

. Dann ist die identische Abbildung

T : (ℓ^{p}, ∥ \cdot ∥_{p}) \to (ℓ^{p}, ∥ \cdot ∥_{q})

stetig (da

∥ x ∥_{q} \leq ∥ x ∥_{p}

für alle

x \in ℓ^{p}

gilt), aber

T^{- 1}

ist nicht stetig, da

∥ \cdot ∥_{q}

und

∥ \cdot ∥_{p}

auf

ℓ^{p}

nicht äquivalent sind.

(c)

(Integraloperatoren) Seien

[a, b], [c, d] \subseteq ℝ

kompakte Intervalle, und sei

k : [c, d] \times [a, b] \to ℂ

stetig. Wir schreiben

C [a, b] : = C ([a, b])

C [c, d] : = C ([c, d])

und deﬁnieren die lineare Abbildung

K : C [a, b] \to C [c, d]

durch

(K u) (t) : = \int_{a}^{b} k (t, s) u (s) d s für t \in [c, d] .

Oﬀensichtlich ist $K$ wohldeﬁniert und linear. $K$ ist stetig, denn für alle $u \in C [a, b]$ und $t \in [c, d]$ gilt

| (K u) (t) | \leq \int_{a}^{b} | k (t, s) | | u (s) | d s \leq M ∥ u ∥_{\infty}

mit

M : = \max_{c \leq t \leq d} \int_{a}^{b} | k (t, s) | d s < \infty,

(2.3)

also $∥ K u ∥_{\infty} \leq M ∥ u ∥_{\infty}$ für $u \in C [a, b]$ . Es folgt somit $K \in L (C [a, b], C [c, d])$ mit $∥ K ∥ \leq M$ . Wir werden nun sehen, dass sogar $∥ K ∥ = M$ gilt. Sei dazu $t_{0} \in [c, d]$ ein Punkt, wo das Maximum in (2.3) angenommen wird. Für $𝜀 > 0$ sei ferner

u_{𝜀} \in C [a, b] deﬁniert durch u_{𝜀} (s) = \frac{\bar{k (t_{0}, s)}}{| k (t_{0}, s) | + 𝜀}

Da $∥ u_{𝜀} ∥_{\infty} \leq 1$ ist, unabhängig von $𝜀 > 0$ , gilt

∥ K ∥ \geq ∥ K u_{𝜀} ∥_{\infty} \geq | (K u_{𝜀}) (t_{0}) | = \int_{a}^{b} \frac{| k (t_{0}, s) |^{2}}{| k (t_{0}, s) | + 𝜀} d s,

wobei das letzte Integral für $𝜀 \to 0$ nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz gegen $\int_{a}^{b} | k (t_{0}, s) | d s = M$ konvergiert. Also ist auch $∥ K ∥ \geq M$ , und insgesamt folgt Gleichheit. Spezielles Beispiel: Sei $K \in L (C [0, 1], C [0, 1])$ der Lösungsoperator zum Problem (1.2) aus Kapitel 1, d.h. es gelte

K f (t) = \int_{0}^{1} G (t, s) f (s) d s für f \in C [0, 1], t \in [0, 1]

mit der Greenfunktion

G (t, s) = {\begin{matrix} (1 - t) s, & s \leq t; \\ (1 - s) t, & s \geq t . \end{matrix}

Dann ist

∥ K ∥ = \max_{t \in [0, 1]} h (t)

mit

\begin{array}{l} h (t) & = \int_{0}^{1} | G (t, s) | d s = (1 - t) \int_{0}^{t} s d s + t \int_{t}^{1} (1 - s) d s \\ = (1 - t) \int_{0}^{t} s d s + t \int_{0}^{1 - t} s d s = \frac{1}{2} ((1 - t) t^{2} + t {(1 - t)}^{2}) = \frac{t (1 - t)}{2} . \end{array}

Es folgt $∥ K ∥ = \frac{1}{8}$ .

2.4 Vollständigkeit und Reihen

2.30 Deﬁnition.

(a): Eine Folge ${(x_{n})}_{n}$ in $X$ heißt Cauchyfolge, wenn $\lim_{n \to \infty} \sup_{m \geq n} d (x_{m}, x_{n}) = 0$ gilt.
(b): $(X, d)$ heißt vollständig, wenn jede Cauchyfolge in $X$ konvergiert.
(c): Ein vollständiger normierter Raum $(E, ∥ \cdot ∥)$ heißt Banachraum.
(d): Ein vollständiger Prähilbertraum $(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ heißt Hilbertraum.

In (c) und (d) bezieht sich die Vollständigkeit dabei auf die induzierte Metrik.

2.31 Bemerkung. Sei ${(x_{n})}_{n} \subseteq X$ eine Folge.

(a): Ist ${(x_{n})}_{n}$ konvergent, so ist ${(x_{n})}_{n}$ eine Cauchyfolge.
(b): Ist ${(x_{n})}_{n}$ eine Cauchyfolge, so ist ${(x_{n})}_{n}$ in $X$ beschränkt, d.h. die Menge ${x_{n} | n \in ℕ} \subseteq X$ ist beschränkt.
(c): Ist ${(x_{n})}_{n}$ eine Cauchyfolge und besitzt ${(x_{n})}_{n}$ eine gegen $a \in X$ konvergente Teilfolge, so konvergiert bereits die Folge ${(x_{n})}_{n}$ selbst gegen $a$ .
(d): Ist ${(x_{n})}_{n}$ eine Cauchyfolge, $(Y, \tilde{d})$ ein weiterer metrischer Raum und $f : X \to Y$ gleichmäßig stetig, so ist auch ${(f (x_{n}))}_{n}$ eine Cauchyfolge (in $Y$ ).

2.32 Satz. Sei $A \subseteq X$ .

(a): Ist $(X, d)$ vollständig und $A \subseteq X$ abgeschlossen, so ist auch $(A, d)$ vollständig.
(b): Ist $(A, d)$ vollständig, so ist $A$ abgeschlossen in $X$ .

Beweis. (a) Sei ${(x_{n})}_{n}$ eine Cauchyfolge in $A$ . Da $X$ vollständig ist, existiert $x = \lim_{n \to \infty} x_{n} \in X$ , wobei $x \in \bar{A} = A$ nach Voraussetzung gilt. Also konvergiert ${(x_{n})}_{n}$ in $A$ .

(b) Sei $x \in \bar{A}$ . Dann ist $x = \lim_{n \to \infty} x_{n}$ für eine Folge ${(x_{n})}_{n}$ in $A$ . Nach Bemerkung 2.31 (a) ist ${(x_{n})}_{n}$ eine Cauchyfolge in $A$ , und damit konvergiert ${(x_{n})}_{n}$ nach Voraussetzung in $A$ . Es folgt $x \in A$ . Insgesamt folgt $A = \bar{A}$ . □

2.33 Bemerkung. Sei $(Y, \tilde{d})$ ein weiterer metrischer Raum und $f : X \to Y$ eine Abbildung.

(a)

Ist

f

eine Isometrie, so ist neben

f

auch

f^{- 1} : f (X) \to X

gleichmäßig stetig, und aus Bemerkung 2.31 (d) folgt:

(X, d) vollständig \Leftrightarrow (f (X), \tilde{d}) vollständig

Gilt dies, so ist $f (X)$ abgeschlossen in $Y$ nach Satz 2.32.

(b)

Ist

f

ein Homöomorphismus, so erhält

f

nicht notwendigerweise die Vollständigkeit: Seien z.B.

X = ℝ

und

Y = (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

, jeweils versehen mit der Betragsmetrik

d (x, y) = | x - y |

. Sei ferner der Homöomorphismus

f : X \to Y

gegeben durch

f (x) = \arctan x

. Dann ist

X

vollständig und

Y

nicht, da

Y \subseteq X

nicht abgeschlossen ist.

_________________________ Ende des Inhalts für 2022-10-28 __________________________________

2.34 Bemerkungen und Beispiele.

(a)

Sind

∥ \cdot ∥_{1}

∥ \cdot ∥_{2}

äquivalente Normen auf einem

𝕂

-Vektorraum

E

, so gilt:

(E, ∥ \cdot ∥_{1}) Banachraum \Leftrightarrow (E, ∥ \cdot ∥_{2}) Banachraum

Allgemeiner gilt für zwei topologisch isomorphe $𝕂$ -Vektorräume $(E, ∥ \cdot ∥_{E})$ und $(F, ∥ \cdot ∥_{F})$ :

E Banachraum \Leftrightarrow F Banachraum

(b)

𝕂^{n}

ist ein Banachraum (bzgl. jeder Norm). Ist ferner

E

irgendein normierter Raum mit

n : = \dim E < \infty

, so ist

E

topologisch isomorph zu

𝕂^{n}

und damit ein Banachraum nach (a).

(c)

Jeder endlich-dimensionale Unterraum eines normierten Raums ist abgeschlossen nach (b) und Satz 2.32.

(d)

ℓ^{p}

ist ein Banachraum für

p \in [1, \infty]

. Wir beweisen dies zunächst im Fall

p < \infty

: Sei

{(x_{n})}_{n}

eine Cauchyfolge in

ℓ^{p}

, wobei wir

x_{n} = {(ξ_{n k})}_{k}

notieren. Sei

k \in ℕ

fest; für

m, n \in ℕ

gilt dann

| ξ_{m k} - ξ_{n k} |^{p} \leq \sum_{j \in ℕ} | ξ_{m j} - ξ_{n j} |^{p} = ∥ x_{m} - x_{n} ∥_{p}^{p},

und somit ist die Folge ${(ξ_{n k})}_{n} \subseteq 𝕂$ eine Cauchyfolge. Da $𝕂$ vollständig ist, existiert $ξ_{k} : = \lim_{n \to \infty} ξ_{n k} \in 𝕂$ . Setze $x : = {(ξ_{k})}_{k}$ . Für alle $ℓ \in ℕ$ gilt dann

\sum_{k = 1}^{ℓ} | ξ_{k} |^{p} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{ℓ} | ξ_{n k} |^{p} \leq \underset{n \to \infty}{limsup} ∥ x_{n} ∥_{p}^{p} \overset{Bemerkung 2.31 (b)}{<} \infty .

Also ist $\sum_{k \in ℕ} | ξ_{k} |^{p} < \infty$ und somit $x \in ℓ^{p}$ . Für alle $n, ℓ \in ℕ$ gilt zudem

\sum_{k = 1}^{ℓ} | ξ_{k} - ξ_{n k} |^{p} = \lim_{m \to \infty} \sum_{k = 1}^{ℓ} | ξ_{m k} - ξ_{n k} |^{p} \leq \sup_{m \geq n} ∥ x_{m} - x_{n} ∥_{p}^{p} = : c_{n}

und somit $∥ x - x_{n} ∥_{p}^{p} \leq c_{n}$ . Nach Voraussetzung gilt zudem $\lim_{n \to \infty} c_{n} = 0$ und somit $\lim_{n \to \infty} x_{n} = x$ in $ℓ^{p}$ ; dies war zu zeigen. Der Beweis für $p = \infty$ ist ähnlich, nur einfacher. Es gilt sogar:

(e)

Ist

M

eine beliebige Menge, so ist

ℓ^{\infty} (M)

ein Banachraum (Übung).

(f)

Nach Bemerkung 2.23 (d) ist der Unterraum

C_{b} (X)

abgeschlossen in

ℓ^{\infty} (X)

und damit ein Banachraum nach (e) und Satz 2.32 (a).

(g)

ℓ^{2}

ist ein Hilbertraum mit dem Skalarprodukt

⟨ \cdot, \cdot ⟩

aus Beispiel 2.13.

2.35 Satz. Seien $E, F$ normierte Räume. Ist $F$ ein Banachraum, so ist auch $L (E, F)$ ein Banachraum. Insbesondere ist der Dualraum $E^{'}$ eines normierten Raumes $E$ stets ein Banachraum.

Beweis.Sei ${(T_{n})}_{n}$ eine Cauchyfolge in $L (E, F)$ und $c_{n} : = \sup_{m \geq n} ∥ T_{m} - T_{n} ∥$ für $n \in ℕ$ . Dann gilt $\lim_{n \to \infty} c_{n} = 0$ . Für alle $x \in E$ folgt

\sup_{m \geq n} ∥ T_{m} x - T_{n} x ∥ \leq \sup_{m \geq n} ∥ T_{m} - T_{n} ∥ ∥ x ∥ = c_{n} ∥ x ∥ \to 0 für n \to \infty,

d.h. ${(T_{n} x)}_{n}$ ist eine Cauchyfolge in $F$ . Aus der Voraussetzung folgt somit die Existenz von

T x : = \lim_{n \to \infty} T_{n} x \in F für alle x \in E .

Aus der Linearität der Abbildungen $T_{n}$ und der Stetigkeit der linearen Operationen in $F$ folgt direkt, dass auch die Zuordnung $x \mapsto T x$ linear ist. Ferner ist $∥ \cdot ∥$ stetig und daher

∥ T x ∥ = \lim_{n \to \infty} ∥ T_{n} x ∥ \leq (\sup_{n \in ℕ} ∥ T_{n} ∥) ∥ x ∥ für alle x \in E,

d.h. $T$ ist stetig. Man beachte dabei, dass ${(∥ T_{n} ∥)}_{n}$ wegen Bemerkung 2.31 (b) beschränkt ist. Schließlich ist

\begin{matrix} ∥ (T - T_{n}) x ∥ = \lim_{m \to \infty} ∥ (T_{m} - T_{n}) x ∥ \\ \leq (\sup_{m \geq n} ∥ T_{m} - T_{n} ∥) ∥ x ∥ = c_{n} ∥ x ∥ für alle x \in E, \end{matrix}

d.h. $∥ T - T_{n} ∥ \leq c_{n} \to 0$ für $n \to \infty$ . Dies zeigt die Vollständigkeit von $L (E, F)$ . □

2.36 Deﬁnition. Seien $(E, ∥ \cdot ∥)$ ein normierter Raum und ${(x_{n})}_{n} \subseteq E$ eine Folge.

(a): Wenn $S : = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} x_{k} \in E$ existiert, so nennen wir die Reihe $\sum_{k} x_{k}$ konvergentund setzen $\sum_{k = 1}^{\infty} x_{k} : = S$ .
(b): Die Reihe $\sum_{k} x_{k}$ heißt absolut konvergent, wenn $\sum_{k = 1}^{\infty} ∥ x_{k} ∥ < \infty$ ist.

2.37 Satz. Sei $(E, ∥ \cdot ∥)$ ein normierter Raum. Dann gilt: $E$ ist genau dann ein Banachraum, wenn jede absolut konvergente Reihe in $E$ auch konvergent ist.

Beweis.„ $\Rightarrow$ “: Genau wie für $E = ℝ$ bzw. $ℂ$ („Cauchykriterium“), man muss nur alle Beträge durch Normen ersetzen.

„ $\Leftarrow =$ “: Sei ${(x_{n})}_{n} \subseteq E$ eine Cauchyfolge. Dann existiert für alle $k \in ℕ$ ein $τ_{k} \in ℕ$ mit

\sup_{m \geq n} ∥ x_{m} - x_{n} ∥ < 2^{- k} für n \geq τ_{k} .

Wähle nun induktiv $n_{1} \geq τ_{1}$ und $n_{k + 1} \geq \max {τ_{k + 1}, n_{k} + 1}$ für $k \in ℕ$ . Dann gilt

∥ x_{n_{k + 1}} - x_{n_{k}} ∥ \leq 2^{- k} für alle k,

also insbesondere

\sum_{k = 1}^{\infty} ∥ x_{n_{k + 1}} - x_{n_{k}} ∥ \leq \sum_{k = 1}^{\infty} 2^{- k} = 1,

dh. die Reihe $\sum_{k} (x_{n_{k + 1}} - x_{n_{k}})$ konvergiert absolut. Nach Voraussetzung konvergiert sie damit auch, d.h. es existiert

x : = \lim_{k \to \infty} x_{n_{k}} = x_{n_{1}} + \lim_{k \to \infty} \sum_{j = 1}^{k} (x_{n_{j + 1}} - x_{n_{j}}) \in E .

Nach Bemerkung 2.31 (d) konvergiert die Folge damit insgesamt gegen $x$ , was zu zeigen war. □

2.5 Kompaktheit

Im Folgenden sei $(X, d)$ ein metrischer Raum.

2.38 Deﬁnition und Bemerkung.

(a)

(X, d)

heißt kompakt, falls gilt: Ist

I

eine beliebige Indexmenge und sind

U_{i} \subseteq X

i \in I

, oﬀene Mengen mit

X = ⋃_{i \in I} U_{i}

, so existiert eine endliche Teilmenge

J \subseteq I

mit

X = ⋃_{i \in J} U_{i}

. Mit anderen Worten: Jede oﬀene Überdeckung von

X

lässt sich auf eine endliche Teilüberdeckung reduzieren.

(b)

(X, d)

heißt präkompakt, wenn für alle

𝜀 > 0

eine endliche Teilmenge

M \subseteq X

existiert mit

X = B_{𝜀} (M)

(hier könnte man äquivalent auch

U_{𝜀} (M)

nehmen; überlegen!).

(c)

A \subseteq X

heißt kompakt(bzw. präkompakt), wenn der metrische Teilraum

(A, d)

kompakt (bzw. präkompakt) ist. Somit gilt:

$A$ ist kompakt genau dann, wenn für jedes Familie $U_{i} \subseteq X$ , $i \in I$ oﬀener Mengen mit $A \subseteq ⋃_{i \in I} U_{i}$ eine endliche Teilmenge $J \subseteq I$ existiert mit $A \subseteq ⋃_{i \in J} U_{i}$ .
$A$ ist präkompakt genau dann für jedes $𝜀 > 0$ eine endliche Teilmenge $M \subseteq A$ existiert mit $A \subseteq B_{𝜀} (M)$ (wobei $B_{𝜀} (M)$ hier die Umgebung von $M$ in $X$ bezeichne).

(d)

A \subseteq X

heißt relativ kompakt, wenn

\bar{A}

kompakt ist.

2.39 Satz(Cantor). Sei $(X, d)$ vollständig, und seien $A_{n} \subseteq X$ , $n \in ℕ$ , abgeschlossene, nichtleere Mengen mit $A_{n + 1} \subseteq A_{n}$ für alle $n$ und $\lim_{n \to \infty} diam A_{n} = 0$ . Dann ist $A : = ⋂_{n \in ℕ} A_{n}$ nichtleer.

Beweis.Wähle $x_{n} \in A_{n}$ für $n \in ℕ$ . Nach Voraussetzung ist dann

x_{m} \in A_{n} für m \geq n .

(2.4)

Also folgt

\sup_{m \geq n} d (x_{m}, x_{n}) \leq diam A_{n} \to 0 für n \to \infty,

d.h. ${(x_{n})}_{n}$ ist eine Cauchyfolge in $X$ . Da $(X, d)$ vollständig ist, existiert $x : = \lim_{n \to \infty} x_{n}$ . Wegen (2.4) ist $x \in {\bar{A}}_{n} = A_{n}$ für alle $n \in ℕ$ ; also $x \in A$ . □

Nachbemerkung: Es gilt sogar $A = {x}$ , da $diam A \leq \lim_{n \to \infty} diam A_{n} = 0$ ist.

_________________________ Ende des Inhalts für 2022-11-01 __________________________________

2.40 Satz. Für einen metrischen Raum $(X, d)$ sind folgende Eigenschaften äquivalent.

(i): $X$ ist kompakt.
(ii): Jede Folge ${(x_{k})}_{k}$ in $X$ besitzt eine in $X$ konvergente Teilfolge.
(iii): $X$ ist präkompakt und vollständig.

Beweis.„(i) $\Rightarrow$ (ii)“: Sei $X$ kompakt, und sei ${(x_{k})}_{k}$ eine Folge in $X$ . Ohne Einschränkung sei $M : = {x_{k} | k \in ℕ}$ eine unendliche Menge. Angenommen, kein $a \in X$ ist Grenzwert einer Teilfolge von ${(x_{k})}_{k}$ . Dann existiert für jedes $a \in X$ ein $𝜀_{a} > 0$ so, dass $U_{𝜀_{a}} (a) \cap M$ endlich ist. Da $X = ⋃_{a \in X} U_{𝜀_{a}} (a)$ kompakt ist, existieren $a_{1}, \dots, a_{n} \in X$ mit $X = ⋃_{i = 1}^{n} U_{𝜀_{a_{i}}} (a_{i})$ . Es folgt: $M = M \cap X = ⋃_{i = 1}^{n} M \cap U_{𝜀_{a_{i}}} (a_{i})$ ist endlich. Widerspruch.

„(ii) $\Rightarrow$ (iii)“: Sei ${(x_{k})}_{k}$ eine Cauchyfolge in $X$ . Diese besitzt nach Voraussetzung eine in $X$ konvergente Teilfolge. Nach Bemerkung 2.31 (c) ist dann aber schon ${(x_{k})}_{k}$ selbst konvergent. Demnach ist $X$ vollständig.

Wir zeigen nun die Präkompaktheit von $X$ . Sei dazu $𝜀 > 0$ . Für einen Widerspruchsbeweis nehmen wir an, es gäbe keine endliche Menge $M \subseteq X$ mit $X = B_{𝜀} (M)$ . Wir wählen dann $a_{1} \in X$ beliebig.

\begin{array}{l} Da X ⊈ U_{𝜀} (a_{1}), existiert a_{2} \in X \ U_{𝜀} (a_{1}); \\ da X ⊈ U_{𝜀} (a_{1}) \cup U_{𝜀} (a_{2}), existiert a_{3} \in X \ (U_{𝜀} (a_{1}) \cap U_{𝜀} (a_{2})); \\ \dots \dots \\ da X ⊈ ⋃_{j = 1}^{n} U_{𝜀} (a_{j}), existiert a_{n + 1} \in X \ ⋃_{j = 1}^{n} U_{𝜀} (a_{j}) . \end{array}

Diese Konstruktion deﬁniert induktiv eine Folge ${(a_{n})}_{n}$ in $X$ derart, dass

d (a_{n}, a_{m}) \geq 𝜀 für alle m, n \in ℕ mit m \neq n

(2.5)

gilt. Nach Voraussetzung muss ${(a_{n})}_{n}$ aber eine konvergente Teilfolge ${(a_{n_{j}})}_{j}$ besitzen. Diese ist dann eine Cauchyfolge, im Widerspruch zu (2.5). Es folgt die Präkompaktheit von $X$ .

„(iii) $\Rightarrow$ (i)“: Seien $U_{i} \subseteq X$ für $i \in I$ oﬀene Teilmengen mit

X = ⋃_{i \in I} U_{i} .

(2.6)

Da $X$ präkompakt ist, existiert für jedes $n \in ℕ$ eine endliche Menge $M_{n} \subseteq X$ mit

X = B_{\frac{1}{n}} (M_{n}) = ⋃_{x \in M_{n}} B_{\frac{1}{n}} (x) .

Sei nun angenommen, dass $X$ nicht von endlich vielen der Mengen $U_{i}$ überdeckt wird. Da $M_{1}$ endlich ist, existiert $x_{1} \in M_{1}$ so, dass $A_{1} : = B_{1} (x_{1})$ nicht von endlich vielen $U_{i}$ überdeckt wird. Da ferner $M_{2}$ endlich ist und $A_{1} = ⋃_{x \in M_{2}} A_{1} \cap B_{\frac{1}{2}} (x)$ gilt, existiert $x_{2} \in M_{2}$ so, dass $A_{2} : = A_{1} \cap B_{\frac{1}{2}} (x_{2})$ nicht von endlich vielen $U_{i}$ überdeckt wird. Induktiv ﬁndet man:

E s g i b t x_{n} \in M_{n}, s o d a s s A_{n} : = A_{n - 1} \cap B_{\frac{1}{n}} (x_{n}) n i c h t v o n e n d l i c h v i e l e n U_{i} ü b e r d e c k t w i r d .

(2.7)

Dies liefert eine Folge abgeschlossener Mengen mit $A_{n + 1} \subseteq A_{n}$ und $diam A_{n} \leq \frac{2}{n}$ für alle $n \in ℕ$ . Da $X$ vollständig ist, folgt mit Satz 2.39, dass ein $a \in ⋂_{n \in ℕ} A_{n}$ existiert. Ferner existiert $i \in I$ mit $a \in U_{i}$ . Da $U_{i}$ oﬀen ist, existiert auch ein $δ > 0$ mit $B_{δ} (a) \subseteq U_{i}$ . Für $n > \frac{2}{δ}$ ist $diam A_{n} < δ$ und $a \in A_{n}$ , also $A_{n} \subseteq B_{δ} (a) \subseteq U_{i}$ im Widerspruch zu (2.7). Der Widerspruch zeigt, dass eine endliche Teilmenge $J \subseteq I$ existiert mit $X = ⋃_{i \in J} U_{i}$ . Es folgt die Kompaktheit von $X$ . □

2.41 Bemerkung.

(a): Ist $X$ kompakt und $A \subseteq X$ abgeschlossen, so ist $A$ kompakt.
(b): Ist $X$ kompakt, $(Y, \tilde{d})$ ein weiterer metrischer Raum und $f : X \to Y$ stetig, so ist auch $f (X) \subseteq Y$ kompakt, und $f$ ist gleichmäßig stetig.
(c): (Satz von Heine-Borel) Sei $E$ ein endlichdimensionaler normierter Raum und $A \subseteq E$ . Dann ist $A$ genau dann kompakt, wenn $A$ beschränkt und abgeschlossen ist.

Beweis.Bekannt aus der Analysis II. □

2.42 Bemerkung.

(a)

Ist

X

präkompakt, so ist

X

oﬀensichtlich beschränkt. Ferner ist

X

dann auch separabel, denn für jedes

n \in ℕ

existiert eine endliche Teilmenge

M_{n} \subseteq X

mit

X = B_{\frac{1}{n}} (M_{n})

. Somit ist die Menge

M : = ⋃_{n \in ℕ} M_{n}

abzählbar und dicht in

X

(b)

Für

A \subseteq X

sind äquivalent:

$A$ ist präkompakt
Für jedes $𝜀 > 0$ existiert eine präkompakte Menge $C \subseteq X$ mit $A \subseteq B_{𝜀} (C)$ .
Für jedes $𝜀 > 0$ existieren endlich viele Teilmengen $A_{1}, \dots, A_{n}$ von $A$ mit $A \subseteq ⋃_{i = 1}^{n} A_{i}$ und $diam A_{i} \leq 𝜀$ für $i = 1, \dots, n$ .
$\bar{A}$ ist präkompakt.

Beweis als Übung.

(c)

Für

A \subseteq X

gilt wegen Satz 2.32 (a), Satz 2.40 und (b):

$A$ relativ kompakt $\Rightarrow$ $\bar{A}$ kompakt $\Rightarrow$ $\bar{A}$ präkompakt $\Rightarrow$ $A$ präkompakt;
$(X, d)$ vollständig und $A$ präkompakt $\Rightarrow$ $\bar{A}$ vollständig und präkompakt $\Rightarrow$ $\bar{A}$ kompakt $\Rightarrow$ $A$ relativ kompakt,

d.h. in einem vollständigen metrischen Raum sind Teilmengen genau dann präkompakt, wenn sie relativ kompakt sind.

2.43 Satz. Sei $(E, ∥ \cdot ∥)$ ein normierter Raum und $A \subseteq E$ . Dann gilt: $A$ ist präkompakt genau dann, wenn $A$ beschränkt ist und für jedes $𝜀 > 0$ ein endlichdimensionaler Unterraum $F \subseteq E$ existiert mit $A \subseteq B_{𝜀} (F)$ .

Beweis.„ $\Rightarrow$ “: Sei $A$ präkompakt. Wie bereits bemerkt, ist $A$ dann auch beschränkt. Sei ferner $𝜀 > 0$ , und sei $M \subseteq A$ endlich mit $A \subseteq B_{𝜀} (M)$ . Setze $F : = span M$ . Dann ist $\dim F < \infty$ und $A \subseteq B_{𝜀} (F)$ .

„ $\Leftarrow =$ “: Nach Voraussetzung ist $r : = \sup_{x \in A} ∥ x ∥ < \infty$ . Sei $𝜀 > 0$ , und sei $F \subseteq E$ ein endlichdimensionaler Unterraum mit $A \subseteq B_{𝜀} (F)$ . Setze $C : = {x \in F | ∥ x ∥ \leq r + 𝜀}$ . Nach Bemerkung 2.41 (c) ist $C$ dann kompakt, also auch präkompakt. Ferner existiert für jedes $x \in A$ ein $y \in F$ mit $∥ x - y ∥ < 𝜀$ , also insbesondere $∥ y ∥ \leq ∥ x ∥ + 𝜀 \leq r + 𝜀$ und somit $y \in C$ . Also ist $A \subseteq B_{𝜀} (C)$ , und mit Bemerkung 2.42 (b) folgt die Behauptung. □

2.44 Lemma(Rieszsches Lemma). Sei $(E, ∥ \cdot ∥)$ ein normierter Raum und $F \subseteq E$ ein echter abgeschlossener Unterraum. Seien ferner $r > 0$ und $𝜀 \in (0, 1)$ gegeben. Dann existiert ein $x \in E$ mit $∥ x ∥ = r$ und $dist (x, F) \geq (1 - 𝜀) r$ .

Beweis.Da $F = \bar{F} \neq E$ gilt, existiert $z \in E \ F$ . Es folgt $α : = dist (z, F) > 0$ . Ferner existiert $y \in F$ mit $∥ z - y ∥ < \frac{α}{1 - 𝜀}$ . Seien nun $λ : = \frac{r}{∥ z - y ∥}$ und $x : = λ (z - y)$ . Dann ist $∥ x ∥ = r$ , und für alle $w \in F$ gilt:

∥ x - w ∥ = λ ∥ z - \underset{\in F}{\underset{︸}{(y + λ^{- 1} w)}} ∥ \geq λ α = \frac{r α}{∥ z - y ∥} > (1 - 𝜀) r .

Es folgt $dist (x, F) \geq (1 - 𝜀) r$ . □

2.45 Satz. Für einen normierten Raum $(E, ∥ \cdot ∥)$ sind äquivalent:

(i): $\dim E < \infty$
(ii): Jede abgeschlossene und beschränkte Teilmenge von $E$ ist kompakt
(iii): $B_{1} (0) \subseteq E$ ist präkompakt.

Beweis.„(i) $\Rightarrow$ (ii)“: siehe Bemerkung 2.41 (c).

„(ii) $\Rightarrow$ (iii)“: $B_{1} (0)$ ist abgeschlossen und beschränkt, also kompakt nach Voraussetzung und damit auch präkompakt.

„(iii) $\Rightarrow$ (i)“: Nach Satz 2.43 existiert ein endlichdimensionaler (und damit nach Bemerkungen und Beispiele 2.34 (c) abgeschlossener) Unterraum $F \subseteq E$ mit

B_{1} (0) \subseteq B_{\frac{1}{3}} (F) .

(2.8)

Ist $F \neq E$ , so existiert nach Lemma 2.44 zu $𝜀 = \frac{1}{3}$ und $r = 1$ ein $x \in E \ F$ mit $∥ x ∥ = 1$ und $dist (x, F) \geq (1 - \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} > \frac{1}{3}$ , also $x \notin B_{\frac{1}{3}} (F)$ im Widerspruch zu (2.8). Es folgt also $E = F$ ; somit ist $E$ endlichdimensional. □

_________________________ Ende des Inhalts für 2022-11-04 __________________________________

3 Vollständigkeit

3.1 Der Satz von Baire

Sei stets $(X, d)$ ein metrischer Raum.

3.1 Satz(von Baire). Sei $(X, d)$ ein vollständiger metrischer Raum, und seien $D_{n} \subseteq X$ oﬀene und dichte Teilmengen für $n \in ℕ$ . Dann ist auch $D : = ⋂_{n \in ℕ} D_{n}$ dicht in $X$ .

Beweis.Es reicht, zu zeigen, dass $D \cap U \neq \emptyset$ für jede nichtleere oﬀene Teilmenge $U$ von $X$ gilt. Sei also $U \subseteq X$ oﬀen und nichtleer. Da $D_{1} \subseteq X$ oﬀen und dicht ist, ist $D_{1} \cap U$ oﬀen und nichtleer. Wähle $x_{1} \in D_{1} \cap U$ und $r_{1} \in (0, \frac{1}{2})$ mit $A_{1} : = B_{r_{1}} (x_{1}) \subseteq D_{1} \cap U$ . Dann gilt:

\emptyset \neq \ddot{A_{1}} \subseteq A_{1} = {\bar{A}}_{1} \subseteq D_{1} \cap U und diam A_{1} \leq 1 .

(3.1)

Konstruiere nun sukzessive Mengen $A_{n} \subseteq X$ , $n \geq 2$ mit

\emptyset \neq \ddot{A_{n}} \subseteq A_{n} = {\bar{A}}_{n} \subseteq D_{n} \cap A_{n - 1} und diam A_{n} \leq \frac{1}{n} .

(3.2)

Sei dazu $n \geq 2$ , und seien $A_{1}, \dots, A_{n - 1}$ bereits konstruiert. Da $\emptyset \neq Å_{n - 1}$ oﬀen in $X$ und $D_{n}$ oﬀen und dicht ist, muss $D_{n} \cap Å_{n - 1}$ oﬀen und nichtleer sein. Wähle $x_{n} \in D_{n} \cap Å_{n - 1}$ und $r_{n} \in (0, \frac{1}{2 n})$ mit $A_{n} : = B_{r_{n}} (x_{n}) \subseteq D_{n} \cap Å_{n - 1}$ . Mit dieser Wahl von $A_{n}$ gilt (3.2). Anwendung von Satz 2.39 auf die Mengen $A_{n}, n \in ℕ$ liefert schließlich $A : = ⋂_{n \in ℕ} A_{n} \neq \emptyset$ . Aus (3.1) und (3.2) folgt aber

A_{n} \subseteq (D_{1} \cap \dots \cap D_{n}) \cap U für alle n \in ℕ, also A \subseteq D \cap U .

Es folgt $D \cap U \neq \emptyset$ . □

3.2 Korollar. Sei $(X, d)$ vollständig, und sei $A_{n} \subseteq X$ abgeschlossen für $n \in ℕ$ . Ferner sei $A : = ⋃_{n \in ℕ} A_{n}$ . Dann gilt:

(a): Ist $\ddot{A_{n}} = \emptyset$ für alle $n \in ℕ$ , so ist auch $Å = \emptyset$ .
(b): Enthält $A$ eine oﬀene Kugel $U_{r} (a)$ mit $a \in X, r > 0$ , dann enthält mindestens eine der Mengen $A_{n}$ eine abgeschlossene Kugel der Form $B_{s} (b)$ mit $b \in X$ , $s > 0$ .

Beweis. (a) Nach Voraussetzung ist $D_{n} : = X \ A_{n}$ oﬀen und dicht für alle $n \in ℕ$ . Nach Satz 3.1 ist somit $X \ A = ⋂_{n \in ℕ} D_{n}$ dicht in $X$ . Dies liefert $Å = X \ \bar{X \ A} = \emptyset$ .

(b) folgt direkt aus (a). □

3.3 Deﬁnition. Sei $A \subseteq X$ .

(a): $A$ heißt nirgends dicht(in $X$ ), wenn $int (\bar{A}) = \emptyset$ gilt.
(b): $A$ heißt mager(oder von erster Kategorie), falls sich $A$ als abzählbare Vereinigung nirgends dichter Mengen schreiben lässt.

3.4 Bemerkungen und Beispiele.

(a)

Die Vereinigung abzählbar vieler magerer Mengen ist mager.

(b)

Für

z \in X

ist äquivalent:

{z} nirgends dicht in X \Leftrightarrow dist (z, X \ {z}) = 0

Gilt dies für alle $z \in X$ , so ist jede abzählbare Teilmenge von $X$ mager. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn ${0} \neq X$ ein normierter Raum (mit induzierter Metrik) ist.

(c)

Seien

(E, ∥ \cdot ∥)

ein normierter Raum und

F \subseteq E

ein Unterraum, welcher nicht dicht ist. Dann ist

F

auch nirgends dicht, denn:

F

nicht dicht bedeutet, dass

v \in E \ \bar{F}

existiert. Da

\bar{F}

ein Unterraum von

E

ist (Übung), können wir dabei

0 \neq ∥ v ∥ < 1

annehmen. Für alle

x \in \bar{F}

und

δ > 0

ist dann

x + δ v \in U_{δ} (x) \ \bar{F}

. Es folgt

int (\bar{F}) = \emptyset

3.5 Satz. Seien $(X, d)$ vollständig und $A \subseteq X$ mager. Dann ist $X \ A$ dicht in $X$ . Insbesondere ist $X$ nicht mager in sich, falls $X \neq \emptyset$ ist.

Beweis.Sei $A = ⋃_{n \in ℕ} A_{n}$ mit $int ({\bar{A}}_{n}) = \emptyset$ für alle $n$ . Nach Korollar 3.2 gilt dann $Å \subseteq \ddot{B} = \emptyset$ für $B : = ⋃_{n \in ℕ} \bar{A_{n}}$ . Es folgt $\bar{X \ A} = X \ Å = X$ . □

3.6 Korollar. Sei $E$ ein unendlichdimensionaler Banachraum. Dann ist jede Basis von $E$ (im Sinne der linearen Algebra) überabzählbar.

Beweis.Angenommen, $E$ besäße eine abzählbare Basis ${v_{1}, v_{2}, \dots,}$ . Dann ist $E = ⋃_{n \in ℕ} V_{n}$ mit $V_{n} : = span {v_{1}, \dots, v_{n}}$ . Nach Voraussetzung und Bemerkungen und Beispiele 2.34 (c) ist $V_{n} = {\bar{V}}_{n} \neq E$ für alle $n$ , und somit ist $V_{n}$ nirgends dicht in $E$ nach Bemerkungen und Beispiele 3.4 (c). Dann ist $E$ mager in sich, im Widerspruch zu Satz 3.5. □

3.7 Bemerkung. Wir werden bald sehen, dass der Satz von Baire wichtige Konsequenzen für die Struktur der Menge stetiger linearer Abbildungen hat (Satz von der gleichmäßigen Beschränktheit, Satz von der oﬀenen Abbildung).

3.2 Gleichmäßige Beschränktheit

Stets seien $E, F$ normierte $𝕂$ -Vektorräume

3.8 Hauptsatz(von der gleichmäßigen Beschränktheit). Sei $E$ ein Banachraum, und sei $H \subseteq L (E, F)$ punktweise beschränkt, d.h.,

für jedes x \in E existiere C_{x} > 0 mit ∥ T x ∥_{F} \leq C_{x} für alle T \in H .

Dann ist $H$ beschränkt in $L (E, F)$ , d.h. es existiert $C > 0$ mit $∥ T ∥ \leq C$ für alle $T \in H$ .

Beweis.Für $n \in ℕ$ sei

A_{n} : = {x \in E | ∥ T x ∥_{F} \leq n für alle T \in H} = ⋂_{T \in H} T^{- 1} (\underset{\subseteq F}{\underset{︸}{B_{n} (0)}}) .

Dann ist $A_{n}$ abgeschlossen in $E$ für alle $n \in ℕ$ , und nach Voraussetzung gilt $E = ⋃_{n \in ℕ} A_{n}$ . Da $E$ vollständig ist, existieren nach Korollar 3.2 (b) ein $n \in ℕ$ , $z \in E$ und $s > 0$ mit $B_{s} (z) \subseteq A_{n}$ , d.h.

∥ T x ∥_{F} \leq n für alle x \in B_{s} (z), T \in H .

(3.3)

Sei nun $v \in E \ {0}$ und $T \in H$ beliebig. Dann ist $x_{v} : = z + s \frac{v}{∥ v ∥_{E}} \in B_{s} (z)$ und $v = \frac{∥ v ∥_{E}}{s} (x_{v} - z)$ . Es folgt

∥ T v ∥_{F} = \frac{∥ v ∥_{E}}{s} ∥ T x_{v} - T z ∥_{F} \leq \frac{∥ v ∥_{E}}{s} (∥ T x_{v} ∥_{F} + ∥ T z ∥_{F}) \overset{(3.3)}{\leq} \frac{2 n}{s} ∥ v ∥_{E} .

Insgesamt folgt $\sup_{T \in H} ∥ T ∥ \leq \frac{2 n}{s} < \infty$ . □

3.9 Korollar. Sei $E$ ein Banachraum, und sei ${(T_{n})}_{n}$ eine Folge in $L (E, F)$ .

(a)

Gilt

{limsup}_{n \to \infty} ∥ T_{n} ∥ = \infty

, so existiert

x \in E

derart, dass die Folge

{(T_{n} x)}_{n}

F

nicht konvergiert.

(b)

Existiert

T x : = \lim_{n \to \infty} T_{n} x \in F

für alle

x \in E

, so ist

(∥ T_{n} ∥)

beschränkt und es gilt

T \in L (E, F)

mit

∥ T ∥ \leq \underset{n \to \infty}{liminf} ∥ T_{n} ∥ .

(3.4)

(c)

Falls

F

auch ein Banachraum ist, und falls gilt, dass

(∥ T_{n} ∥)

beschränkt ist und

(T_{n} x)

lediglich für alle

x

in einer in

E

dichten Teilmenge konvergiert, dann konvergiert

(T_{n} x)

für alle

x \in E

und (b) ist anwendbar.

Beweis. (a) Wenn $\lim_{n \to \infty} T_{n} x \in F$ für alle $x \in E$ existiert, so ist die Menge ${T_{n} | n \in ℕ} \subseteq L (E, F)$ punktweise beschränkt im Sinne von Hauptsatz 3.8. Dieser liefert dann ein $c > 0$ mit $∥ T_{n} ∥ \leq c$ für alle $n \in ℕ$ . Damit folgt (a).

(b) Für $T$ wie in (b) gilt

∥ T x ∥ = \lim_{n \to \infty} ∥ T_{n} x ∥ = \underset{n \to \infty}{liminf} ∥ T_{n} x ∥ \leq \underset{n \to \infty}{liminf} ∥ T_{n} ∥ ∥ x ∥ für alle x \in E,

und (a) liefert ${liminf}_{n \to \infty} ∥ T_{n} ∥ < \infty$ . Somit ist $T$ (als oﬀensichtlich lineare Abbildung) stetig und es folgt (3.4).

(c) Sei $D$ ein dichte Teilmenge von $E$ , so dass $(T_{n} x)$ für alle $x \in D$ konvergiert. Wir setzen $C : = \sup ∥ T_{n} ∥$ und zeigen, dass $(T_{n} x)$ für alle $x \in E$ konvergiert. Dafür halten wir $x \in E$ fest und betrachten eine Folge $(x_{k}) \subseteq D$ mit $x_{k} \to x$ . Sei $𝜀 > 0$ . Es existiert $k$ mit $∥ x - x_{k} ∥ \leq 𝜀 ∕ (3 C)$ , und es existiert $n_{0}$ mit $∥ T_{m} x_{k} - T_{n} x_{k} ∥ \leq 𝜀 ∕ 3$ für alle $m, n \geq n_{0}$ . Dann folgt

\begin{matrix} ∥ T_{m} x - T_{n} x ∥ \leq ∥ T_{m} x - T_{m} x_{k} ∥ + ∥ T_{m} x_{k} - T_{n} x_{k} ∥ + ∥ T_{n} x_{k} - T_{n} x ∥ \\ \leq C ∥ x - x_{k} ∥ + 𝜀 ∕ 3 + C ∥ x - x_{k} ∥ \leq 𝜀 \end{matrix}

für alle $m, n \geq n_{0}$ , das heißt, $(T_{n} x)$ ist eine Cauchyfolge in $F$ und konvergiert demnach. □

3.10 Bemerkung(Satz von Banach-Steinhaus). Aus Korollar 3.9 folgt für Banachräume $E$ und $F$ und eine Folge $(T_{n}) \subseteq L (E, F)$ die Äquivalenz der Aussagen

(i): $(T_{n} x)$ konvergiert in $F$ für alle $x \in E$ ;
(ii): $∥ T_{n} ∥_{L (E, F)}$ ist beschränkt und $(T_{n} x)$ konvergiert für alle $x$ in einer dichten Teilmenge von $E$ .

Ist eine dieser Aussagen erfüllt, dann deﬁniert $T x : = \lim_{n \to \infty} T_{n} x$ ein $T \in L (E, F)$ .

_________________________ Ende des Inhalts für 2022-11-08 __________________________________

3.3 Der Satz von der oﬀenen Abbildung

Stets seien $E, F$ normierte $𝕂$ -Vektorräume

3.11 Deﬁnition und Bemerkung. Seien $X, Y$ metrische Räume. Eine Abbildung $f : X \to Y$ heißt oﬀen, falls für $A \subseteq X$ gilt:

A ist oﬀen in X \Rightarrow f (A) ist oﬀen in Y .

Man beachte: Ist $f : X \to Y$ oﬀen und bijektiv, so ist $f^{- 1}$ stetig (vgl. Deﬁnition und Bemerkung 2.22 (b))

3.12 Hauptsatz(von der oﬀenen Abbildung). Sei $E$ ein Banachraum, und sei $T \in L (E, F)$ derart, dass $Bild (T)$ nicht mager in $F$ ist. Dann ist $T$ surjektiv und oﬀen.

Bevor wir den Beweis bringen, betrachten wir erst einmal einige Folgerungen aus diesem zentralen Resultat.

3.13 Beispiel. Sei $1 \leq p < q \leq \infty$ . Nach Satz 2.9 ist die Inklusion $i : (ℓ^{p}, ∥ \cdot ∥_{p}) ↪ (ℓ^{q}, ∥ \cdot ∥_{q})$ stetig. Da $ℓ^{p}$ ein Banachraum und $i$ nicht surjektiv ist, folgt mit Hauptsatz 3.12, dass $ℓ^{p}$ in $(ℓ^{q} ∥ \cdot ∥_{q})$ mager ist.

3.14 Korollar. Seien $E, F$ Banachräume und $T \in L (E, F)$ . Dann gilt:

(a): Ist $T$ surjektiv, so ist $T$ oﬀen.
(b): Ist $T$ bijektiv, so ist $T$ ein topologischer Isomorphismus.

Beweis. (a) Nach Voraussetzung und Satz 3.5 ist $Bild T = F$ nicht mager in $F$ . Also ist $T$ oﬀen nach Hauptsatz 3.12.

(b) Aus (a) und Deﬁnition und Bemerkung 3.11 folgt die Stetigkeit von $T^{- 1}$ . □

3.15 Korollar. Seien $∥ \cdot ∥_{1}, ∥ \cdot ∥_{2}$ Normen auf einem $𝕂$ -Vektorraum $V$ derart, dass $(V, ∥ \cdot ∥_{1})$ , $(V, ∥ \cdot ∥_{2})$ Banachräume sind. Ferner möge $C > 0$ existieren mit $∥ x ∥_{1} \leq C ∥ x ∥_{2}$ für alle $x \in V$ . Dann sind $∥ \cdot ∥_{1}$ und $∥ \cdot ∥_{2}$ äquivalent.

Beweis.Nach Voraussetzung ist $I : (V, ∥ \cdot ∥_{2}) \to (V, ∥ \cdot ∥_{1})$ stetig, also ein topologischer Isomorphismus nach Korollar 3.14 (b). Insbesondere ist $I : (V, ∥ \cdot ∥_{1}) \to (V, ∥ \cdot ∥_{2})$ stetig, d.h. es existiert $D > 0$ mit $∥ x ∥_{2} \leq D ∥ x ∥_{1}$ für alle $x \in V$ . Die Behauptung folgt. □

Für den Beweis von Hauptsatz 3.12 vereinbaren wir zunächst ein paar praktische Bezeichnungen.

3.16 Notation. Seien $x \in E$ , $α \in 𝕂 \ {0}$ und $A, B \subseteq E$ . Wir bezeichnen

\begin{array}{l} x + A & : = {x + y ∣ y \in A}, \\ α A & : = {α y ∣ y \in A}, \\ A + B & : = {y + z ∣ y \in A, z \in B} . \end{array}

3.17 Lemma. Seien $x \in E$ , $α \in 𝕂 \ {0}$ und $A \subseteq E$ . Dann gelten:

(a): $\bar{α A} = α \bar{A}$ und $int (α A) = α int (A)$ .
(b): $\bar{x + A} = x + \bar{A}$ und $int (x + A) = x + int (A)$ .
(c): Für einen Vektorraum $F$ und eine lineare Abbildung $T : E \to F$ ist $T (A)$ absolut konvex, falls $A$ absolut konvex ist.
(d): Wenn $A$ absolut konvex ist, dann ist auch $\bar{A}$ absolut konvex.

Beweis.Übung. □

Beweis von Hauptsatz 3.12. Zur Abkürzung verwenden wir hier für $r > 0$ und $x \in E$ die Notation $B_{r} (x; E)$ für die abgeschlossene Kugel in $E$ , $B_{r} E : = B_{r} (0; E)$ , und analoge Schreibweisen in $F$ .

Zuerst zeigen wir, dass $r > 0$ existiert mit

B_{r} F \subseteq \bar{T (B_{1} E)} .

(3.5)

Für $n \in ℕ$ setzen wir $A_{n} : = \bar{T (B_{n} E)}$ . Weil

Bild (T) = ⋃_{n = 1}^{\infty} T (B_{n} E)

nicht mager ist, existiert $n_{0}$ mit $int (A_{n_{0}}) \neq \emptyset$ . Lemma 3.17 (a) liefert jetzt, dass auch

int (A_{1}) = int (\frac{1}{n_{0}} A_{n_{0}}) = \frac{1}{n_{0}} int (A_{n_{0}}) \neq \emptyset

gilt und dass $y_{0} \in F$ und $r > 0$ existieren, so dass $B_{r} (y_{0}; F) \subseteq A_{1}$ gilt. Wegen Lemma 3.17 (c) und (d) ist $A_{1}$ absolut konvex. Daraus folgt $B_{r} (- y_{0}; F) \subseteq A_{1}$ . Für $x \in B_{r} F$ gilt also $- y_{0} + x, y_{0} + x \in A_{1}$ und somit wegen der Konvexität von $A_{1}$ :

x = \frac{1}{2} (- y_{0} + x + y_{0} + x) \in A_{1} .

Damit haben wir (3.5) gezeigt.

Im zweiten Schritt zeigen wir für $r$ aus (3.5), dass

B_{r ∕ 2} F \subseteq T (B_{1} E)

(3.6)

gilt. Sei $y \in B_{r ∕ 2} F$ gewählt. Dann zeigt (3.5), dass $z_{1} \in B_{1 ∕ 2} E$ existiert, so dass $∥ y - T z_{1} ∥ \leq r ∕ 4$ gilt. Mit (3.5) erhalten wir wieder $z_{2} \in B_{1 ∕ 4} E$ , so dass $∥ y - T z_{1} - T z_{2} ∥ \leq r ∕ 8$ ist. Per Induktion konstruieren wir eine Folge $(z_{n}) \subseteq E$ , so dass gilt:

∥ z_{n} ∥ \leq {(\frac{1}{2})}^{n}, ∥ y - \sum_{k = 1}^{n} T z_{k} ∥ \leq r {(\frac{1}{2})}^{n + 1} .

(3.7)

Wir setzen nun $x_{n} : = \sum_{k = 1}^{n} z_{k}$ . Dann folgt

∥ x_{n} ∥ \leq \sum_{k = 1}^{n} ∥ z_{k} ∥ \leq \sum_{k = 1}^{n} {(\frac{1}{2})}^{k} \leq 1 .

Wegen (3.7) konvergiert $\sum z_{k}$ absolut. Da $E$ vollständig ist, liefert Satz 2.37, dass $(x_{n})$ gegen ein $x \in B_{1} E$ konvergiert. Unter Benutzung von (3.7) prüft man leicht, dass $y = T x \in T (B_{1} E)$ gilt. Damit ist (3.6) gezeigt. Es folgt sofort

F = ⋃_{n = 1}^{\infty} n B_{r ∕ 2} F \subseteq ⋃_{n = 1}^{\infty} n T (B_{1} E) = ⋃_{n = 1}^{\infty} T (n B_{1} E) = Bild (T),

d.h., $T$ ist surjektiv.

Im letzten Schritt nehmen wir an, dass $U \subseteq E$ oﬀen ist. Für beliebiges $y \in T (U)$ existiert $x \in U$ mit $y = T x$ . Weil $U$ oﬀen ist, existiert $t > 0$ mit $x + B_{t} E \subseteq U$ . Aus (3.6) folgt $B_{t r ∕ 2} F \subseteq T (B_{t} E)$ . Dann gilt $y + B_{t r ∕ 2} F \subseteq y + T (B_{t} E) = T (x + B_{t} E) \subseteq T (U)$ , und $y + B_{t r ∕ 2}$ ist daher eine Umgebung von $y$ , die in $T (U)$ enthalten ist. Da $y \in T (U)$ beliebig war, ist $T (U)$ oﬀen. □

3.4 Der Satz vom abgeschlossenen Graphen

Seien stets $E$ und $F$ normierte Räume über $𝕂$ .

3.18 Deﬁnition und Bemerkung. Auf dem $𝕂$ -Vektorraum $E \times F$ sei die Norm $∥ \cdot ∥$ deﬁniert durch $∥ (x, y) ∥ : = ∥ x ∥_{E} + ∥ y ∥_{F}$ . Dann gilt:

(E \times F, ∥ \cdot ∥) ist Banachraum \Leftrightarrow E und F sind Banachräume

3.19 Satz(vom abgeschlossenen Graphen). Seien $E, F$ Banachräume, und sei $T : E \to F$ eine lineare Abbildung, deren Graph $Γ : = {(x, y) \in E \times F | y = T x}$ in $E \times F$ abgeschlossen ist. Dann ist $T \in L (E, F)$ , also stetig.

Beweis.Nach Voraussetzung und Deﬁnition und Bemerkung 3.18 ist $(E \times F, ∥ \cdot ∥)$ ein Banachraum und somit auch $(Γ, ∥ \cdot ∥)$ , da $Γ \subseteq E \times F$ abgeschlossen ist. Sei $G : Γ \to E$ deﬁniert durch $G (x, y) = x$ . Da $∥ G (x, y) ∥_{E} = ∥ x ∥_{E} \leq ∥ (x, y) ∥$ für $(x, y) \in Γ$ , ist $G \in L (Γ, E)$ . Ferner ist $G$ bijektiv mit $G^{- 1} (x) = (x, T x)$ für $x \in E$ . Gemäß Korollar 3.14 (b) ist nun $G^{- 1} \in L (E, Γ)$ ; also existiert $C > 0$ mit

∥ x ∥_{E} + ∥ T x ∥_{F} = ∥ G^{- 1} (x) ∥ \leq C ∥ x ∥_{E} für alle x \in E,

und somit $∥ T x ∥_{F} \leq C ∥ x ∥_{E}$ für alle $x \in E$ . Es folgt die Stetigkeit von $T$ . □

3.20 Bemerkung. Sei $T : E \to F$ $𝕂$ -linear. Oﬀensichtlich sind dann folgende Eigenschaften äquivalent:

Der Graph von $T$ ist abgeschlossen.

Für jede Folge

{(x_{n})}_{n}

E

, für die Grenzwerte

x : = \lim_{n \to \infty} x_{n} \in E und y : = \lim_{n \to \infty} T x_{n} \in F

existieren, gilt $y = T x$ .

Für jede Nullfolge ${(x_{n})}_{n}$ in $E$ , für die der Grenzwert $y : = \lim_{n \to \infty} T x_{n} \in F$ existiert, gilt $y = 0$ .

_________________________ Ende des Inhalts für 2022-11-11 __________________________________

3.21 Bemerkung. Seien $V, W$ Teilräume von $E$ mit $E = V \oplus W$ . Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass genau eine Projektion $P : E \to E$ (d.h. $P$ linear und $P^{2} = P$ ) mit $V = Kern P$ und $W = Bild P$ existiert. Wir nennen $P$ die Projektion auf $W$ längs $V$ . Dann ist $I - P : E \to E$ die Projektion auf $V$ längs $W$ .

3.22 Deﬁnition. Seien $V, W$ Teilräume von $E$ mit $E = V \oplus W$ , und sei $P$ die Projektion auf $W$ längs $V$ .

(a): Oﬀensichtlich ist $P$ genau dann stetig, wenn $I - P$ stetig ist. Gilt dies, so schreiben wir $E = V \oplus_{t o p} W$ (topologische direkte Summe) und nennen $W$ ein topologisches Komplement von $V$ (bzw. umgekehrt). Insbesondere sind in diesem Fall $V$ und $W$ als Kerne stetiger linearer Operatoren abgeschlossen in $E$ .
(b): Ein Unterraum $V \subseteq E$ heißt stetig projiziert, falls es eine Projektion $P \in L (E)$ mit $V =$ Bild $P$ gibt, d.h. falls $V$ ein topologisches Komplement in $E$ besitzt.

3.23 Beispiel.

(a)

Sei

E = (ℝ^{2}, | \cdot |_{\infty})

V = span {(1, 0)}

und

W_{n} = span {(1, \frac{1}{n})}

für

n \in ℕ

. Dann ist

E = V \oplus W_{n}

. Sei

P_{n}

die Projektion mit

Bild P = W_{n}

und

Kern P = V

. Da

(0, 1) = - (n, 0) + (n, 1) \in V \oplus W_{n}

gilt, ist

P_{n} (0, 1) = (n, 1)

, also

| P_{n} (0, 1) |_{\infty} = n = n | (0, 1) |_{\infty}

. Es folgt

∥ P_{n} ∥ \geq n

(b)

Sei nun

E = F

der Raum der ﬁniten Folgen mit Norm

∥ \cdot ∥_{\infty}

. Dann ist

E = V \oplus W

mit

V = {x = {(x_{j})}_{j} \in F | x_{j} = 0 für j gerade} und W = span {d_{n} | n \in ℕ},

wobei $d_{n} = (0, \dots, 0, 1, \frac{1}{n}, 0, \dots) = e_{2 n - 1} + \frac{1}{n} e_{2 n}$ für $n \in ℕ$ sei. Sei $P$ die Projektion auf $W$ längs $V$ . Wie in (a) sieht man

e_{2 n} = - n e_{2 n - 1} + n d_{n} \in V \oplus W für alle n \in ℕ,

also $∥ P e_{2 n} ∥_{\infty} = ∥ n d_{n} ∥_{\infty} = n = n ∥ e_{2 n} ∥_{\infty}$ . Es folgt, dass $P$ nicht stetig ist.

3.24 Satz. Seien $V, W$ Teilräume von $E$ mit $E = V \oplus W$ . Dann gilt:

(a): Ist $V$ endlichdimensional und $W$ in $E$ abgeschlossen, so ist $E = V \oplus_{t o p} W$ .
(b): Ist $E$ ein Banachraum und sind $V$ und $W$ abgeschlossen in $E$ , so ist $E = V \oplus_{t o p} W$ .

Beweis.Sei $P : E \to E$ die Projektion mit Bild $P = V$ und Kern $P = W$ .

(a) Angenommen, $P$ ist nicht stetig. Dann existiert eine Folge ${(x_{n})}_{n} \subseteq E \ {0}$ mit $∥ P x_{n} ∥ \geq n ∥ x_{n} ∥$ für alle $n \in ℕ$ . Setze $y_{n} : = \frac{x_{n}}{∥ P x_{n} ∥}$ . Dann gilt $y_{n} \to 0$ für $n \to \infty$ , aber $P y_{n} \in S_{V} : = {z \in V | ∥ z ∥ = 1}$ für alle $n$ . Da $\dim V < \infty$ , ist $S_{V}$ kompakt. Also existiert $z \in S_{V}$ und eine Teilfolge ${(y_{n_{ℓ}})}_{ℓ}$ mit $\lim_{ℓ \to \infty} P y_{n_{ℓ}} = z$ . Somit ist

- z = \lim_{ℓ \to \infty} \underset{\in W}{\underset{︸}{(I - P) y_{n_{ℓ}}}} \in W,

da $W$ abgeschlossen ist. Es folgt $z \in S_{V} \cap W$ , im Widerspruch zu $V \cap W = {0}$ . Der Widerspruch zeigt die Stetigkeit von $P$ .

(b) Nach Satz 3.19 reicht es, zu zeigen, dass $P$ einen abgeschlossenen Graphen besitzt. Zum Beweis verwenden wir Bemerkung 3.20. Sei also ${(x_{n})}_{n}$ eine Nullfolge in $E$ derart, dass $y : = \lim_{n \to \infty} P x_{n} \in E$ existiert. Da $V = Bild P$ in $E$ abgeschlossen ist, folgt $y \in V$ . Da ferner $W = Bild (I - P)$ in $E$ abgeschlossen ist, folgt $y = - \lim_{n \to \infty} (I - P) x_{n} \in W$ . Somit ist $y \in V \cap W = {0}$ , d.h. $y = 0$ . Gemäß Bemerkung 3.20 folgt die Behauptung. □

4 Räume messbarer Funktionen

4.1 Präkompaktheit für Mengen stetiger Abbildungen

Seien stets $X, Y$ metrische Räume und $E$ ein normierter Raum.

4.1 Bemerkung. Ist $X$ kompakt, so ist $C (X, Y) = C_{b} (X, Y)$ nach Bemerkung 2.41 (b) und Bemerkung 2.42 (a). Insbesondere ist dann also $C (X) = C_{b} (X)$ ein Banachraum mit Norm $∥ \cdot ∥_{\infty}$ nach Bemerkungen und Beispiele 2.34 (f).

4.2 Deﬁnition. Eine Teilmenge $H \subseteq C (X, Y)$ heißt

(a): gleichgradig stetig in $a \in X$ , wenn für jedes $𝜀 > 0$ ein $δ > 0$ existiert mit $f (U_{δ} (a)) \subseteq U_{𝜀} (f (a))$ für alle $f \in H$ .
(b): gleichgradig stetig, wenn (a) für alle $a \in X$ gilt.

Eine Folge ${(f_{n})}_{n}$ in $C (X, Y)$ heißt gleichgradig stetig(in $a \in X$ ), wenn dies für die Menge ${f_{n} | n \in ℕ}$ gilt.

4.3 Bemerkung und Beispiel.

(a)

Gleichgradige Stetigkeit vererbt sich auf Teilmengen von gleichgradig stetigen Mengen von Funktionen.

(b)

Sei

L > 0

fest gewählt und

H : = {f \in C (X, Y) | d (f (x), f (y)) \leq L d (x, y) für alle x, y \in X} .

Dann ist $H$ gleichgradig stetig.

(c)

Sei

X = [0, 1]

Y = ℝ

und sei die Funktionenfolge

{(f_{n})}_{n}

C (X, Y)

deﬁniert durch

f_{n} (x) = x^{n}

für

n \in ℕ

. Wie man leicht sieht, ist diese Folge gleichgradig stetig in jedem Punkt

x \in [0, 1)

. Sie ist allerdings nicht gleichgradig stetig in

x = 1

: Für festes

𝜀 \in (0, \frac{1}{2})

gilt nämlich

𝜀^{\frac{1}{n}} \to 1 für n \to \infty,

aber

| f_{n} (𝜀^{\frac{1}{n}}) - f_{n} (1) | = 1 - 𝜀 > 𝜀 für alle n \in ℕ .

Also existiert kein $δ > 0$ derart, dass für alle $n \in ℕ$ die Implikation

| x - 1 | < δ \Rightarrow | f_{n} (x) - f_{n} (1) | < 𝜀

gilt.

4.4 Deﬁnition und Satz. Sei $ℓ^{\infty} (X, E) : = {f : X \to E | f (X) \subseteq E beschränkt}$ . Dann gilt:

(a)

ℓ^{\infty} (X, E)

ist ein normierter Raum mit Norm

∥ \cdot ∥_{\infty}

deﬁniert durch

∥ f ∥_{\infty} : = \sup_{x \in X} ∥ f (x) ∥

für

f \in ℓ^{\infty} (X, E)

(b)

C_{b} (X, E)

ist ein abgeschlossener Teilraum von

ℓ^{\infty} (X, E)

(c)

Ist

X

kompakt, so ist

C (X, E) = C_{b} (X, E)

(d)

Es gelten folgende Äquivalenzen:

E Banachraum \Leftrightarrow ℓ^{\infty} (X, E) Banachraum \Leftrightarrow C_{b} (X, E) Banachraum

Beweis. (a)–(c) wie für $E = 𝕂$ . (d): leichte Übung. □

4.5 Satz(von Arzelà und Ascoli). Ist $X$ kompakt, so ist eine Teilmenge $H \subseteq C (X, E)$ genau dann präkompakt, wenn $H$ gleichgradig stetig ist und wenn für alle $a \in X$ die Menge $H (a) : = {f (a) | f \in H}$ in $E$ präkompakt ist.

Beweis.„ $\Leftarrow =$ “: Sei $𝜀 > 0$ . Da $H$ gleichgradig stetig ist, existiert zu jedem $a \in X$ ein $δ_{a} > 0$ mit $f (U_{δ_{a}} (a)) \subseteq U_{\frac{𝜀}{3}} (f (a))$ für alle $f \in H$ . Da $X = ⋃_{a \in X} U_{δ_{a}} (a)$ kompakt ist, existieren $a_{1}, \dots, a_{n}$ derart, dass

X = ⋃_{i = 1}^{n} U_{i} mit U_{i} : = U_{δ_{a_{i}}} (a_{i}) gilt.

Da die Mengen $H (a_{i}) \subseteq E$ , $i = 1, \dots, n$ präkompakt sind, existiert eine endliche Menge $M \subseteq E$ mit $⋃_{i = 1}^{n} H (a_{i}) \subseteq B_{\frac{𝜀}{6}} (M)$ . Deﬁniert man für $v = (v_{1}, \dots, v_{n}) \in M^{n}$ also

L_{v} : = {f \in H | ∥ f (a_{i}) - v_{i} ∥ \leq \frac{𝜀}{6} für i = 1, \dots, n},

so folgt nach Konstruktion $H \subseteq ⋃_{v \in M^{n}} L_{v}$ . Da es sich hier um eine endliche Vereinigung handelt, reicht es gemäß Bemerkung 2.42 (b) nun, zu zeigen:

diam L_{v} \leq 𝜀 in C (X, E) bzgl. ∥ \cdot ∥_{\infty} für alle v \in M^{n} .

(4.1)

Seien dazu $f, g \in L_{v}$ , und sei $x \in X$ beliebig. Dann ist $x \in U_{i}$ für ein $i \in {1, \dots, n}$ , und somit

∥ f (x) - g (x) ∥ \leq \underset{\leq \frac{𝜀}{3}}{\underset{︸}{∥ f (x) - f (a_{i}) ∥}} + \underset{\leq \frac{𝜀}{6}}{\underset{︸}{∥ f (a_{i}) - v_{i} ∥}} + \underset{\leq \frac{𝜀}{6}}{\underset{︸}{∥ v_{i} - g (a_{i}) ∥}} + \underset{\leq \frac{𝜀}{3}}{\underset{︸}{∥ g (a_{i}) - g (x) ∥}} \leq 𝜀 .

Es folgt $∥ f - g ∥_{\infty} \leq 𝜀$ , und damit ist $diam L_{v} \leq 𝜀$ .

„ $\Rightarrow$ “: Seien $a \in X$ und $𝜀 > 0$ . Nach Voraussetzung existiert eine endliche Teilmenge $M \subseteq H$ mit

H \subseteq ⋃_{f \in M} B_{\frac{𝜀}{4}} (f) in C (X, E) bzgl. ∥ \cdot ∥_{\infty} .

(4.2)

Da $M$ endlich ist, existiert zudem $δ > 0$ so, dass $f (U_{δ} (a)) \subseteq U_{\frac{𝜀}{3}} (f (a))$ für alle $f \in M$ gilt. Sei nun $g \in H$ beliebig. Dann existiert $f \in M$ mit $∥ g - f ∥_{\infty} \leq \frac{𝜀}{4}$ , und somit gilt für $y \in U_{δ} (a)$ :

\begin{array}{l} ∥ g (y) - g (a) ∥ & \leq ∥ g (y) - f (y) ∥ + ∥ f (y) - f (a) ∥ + ∥ f (a) - g (a) ∥ \\ \leq 2 ∥ f - g ∥_{\infty} + ∥ f (y) - f (a) ∥ \leq 2 \frac{𝜀}{4} + \frac{𝜀}{3} < 𝜀 . \end{array}

Es folgt $g (U_{δ} (a)) \subseteq U_{𝜀} (g (a))$ , und dies liefert die gleichgradige Stetigkeit von $H$ in $a$ . Nach Deﬁnition von $∥ \cdot ∥_{\infty}$ liefert (4.2) aber auch direkt die Inklusion

H (a) \subseteq ⋃_{f \in M} B_{\frac{𝜀}{4}} (f (a)) in E bzgl. ∥ \cdot ∥;

also ist $H (a)$ in $E$ präkompakt. □

4.6 Korollar. Seien $X$ kompakt und ${(f_{n})}_{n}$ eine beschränkte und gleichgradig stetige Folge in $C (X)$ . Dann hat ${(f_{n})}_{n}$ eine gleichmäßig konvergente Teilfolge.

Beweis.Sei $H : = {f_{n} | n \in ℕ} \subseteq C (X)$ . Dann ist $H$ gleichgradig stetig und $H (a) = {f (a) | f \in H} \subseteq 𝕂$ beschränkt und damit auch präkompakt für alle $a \in X$ . Mit Satz 4.5 folgt, dass $H$ in $C (X)$ präkompakt und somit auch relativ kompakt ist (nach Bemerkung 2.42 (c), da $C (X)$ vollständig ist). Also hat ${(f_{n})}_{n}$ eine in $\bar{H}$ konvergente Teilfolge. □

4.2 Der Satz von Stone-Weierstraß

Im Folgenden sei $(X, d)$ stets ein kompakter metrischer Raum.

4.7 Bemerkung. Im Folgenden wollen wir ein hinreichendes Kriterium dafür herleiten, dass eine Teilmenge im normierten Raum $(C (X), ∥ \cdot ∥_{\infty})$ dicht liegt. Dabei nutzen wir die Tatsache, dass dieser Raum auch eine kommutative $𝕂$ -Algebra mit Eins ist, d.h.:

$C (X)$ ist abgeschlossen unter der (punktweisen) Multiplikation $\cdot$ von Funktionen, und diese ist assoziativ, distributiv (bzgl. der Addition in $C (X)$ ) und kommutativ.
Die konstante Einsfunktion $1 = 1_{X}$ ist ein Einselement für die Multiplikation.
Die Skalarmultiplikation verträgt sich mit der Multiplikation von Funktionen, d.h. es gilt $λ (f \cdot g) = (λ f) \cdot g = f \cdot (λ g)$ für $f, g \in C (X)$ und $λ \in 𝕂$ .

Ein Unterraum $A \subseteq C (X)$ heißt Teilalgebravon $C (X)$ (mit $1$ ), wenn gilt:

$1 \in A$
Sind $f, g \in A$ , so ist auch $f \cdot g \in A$ .

4.8 Satz(von Stone-Weierstraß). Sei $A$ eine Teilalgebra von $C (X) = C (X, 𝕂)$ mit folgenden Eigenschaften.

(i): $A$ trennt die Punkte von $X$ , d.h. für je zwei Punkte $x, y \in X$ mit $x \neq y$ existiert eine Funktion $f \in A$ mit $f (x) \neq f (y)$ .
(ii): Im Fall $𝕂 = ℂ$ ist $A$ abgeschlossen unter komplexer Konjugation, d.h. für $f \in A$ ist auch $\bar{f} \in A$ .

Dann liegt $A$ dicht in $C (X)$ .

_________________________ Ende des Inhalts für 2022-11-15 __________________________________

Um dies zu beweisen, benötigen wir zunächst zwei Hilfssätze:

4.9 Hilfssatz(Spezialfall der binomischen Reihe). Für $s \in [- 1, 1]$ gilt

\sqrt{1 - s} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} s^{n}

(4.3)

mit

a_{n} = {(- 1)}^{n} (\binom{1 ∕ 2}{n}) = {(- 1)}^{n} \prod_{j = 1}^{n} \frac{\frac{3}{2} - j}{j} für n \in ℕ_{0},

(4.4)

und die Reihe konvergiert absolut.

Beweis.Die aus der Analysis bekannte binomische Reihenentwicklung zur Potenz $\frac{1}{2}$ liefert (4.3) zunächst für $s \in (- 1, 1)$ . Wir zeigen nun die Abschätzung

| a_{n} | \leq n^{- \frac{3}{2}} für n \geq 1 .

(4.5)

Dies ist klar für $a_{1} = - \frac{1}{2}$ . Für $n \geq 2$ gilt zudem

\frac{| a_{n} |}{| a_{n - 1} |} = | \frac{\frac{3}{2} - n}{n} | = 1 - \frac{3}{2 n} \leq {(1 - \frac{1}{n})}^{\frac{3}{2}} = {(\frac{n}{n - 1})}^{- \frac{3}{2}} .

Hier haben wir die Konvexität der Funktion $(- 1, \infty) \to ℝ$ , $t \mapsto {(1 + t)}^{\frac{3}{2}}$ verwendet (diese liefert die Ungleichung ${(1 + t)}^{\frac{3}{2}} \geq 1 + \frac{3}{2} t$ für $t \in (- 1, \infty)$ ). Per Induktion folgt also für $n \geq 2$ :

| a_{n} | \leq {(\frac{n}{n - 1})}^{- \frac{3}{2}} | a_{n - 1} | \leq {(\frac{n}{n - 1})}^{- \frac{3}{2}} {(n - 1)}^{- \frac{3}{2}} = n^{- \frac{3}{2}} .

Insbesondere konvergiert die Reihe in (4.3) für alle $s \in [- 1, 1]$ absolut, und mit dem Abelschen Grenzwertsatz folgt, dass Hilfssatz 4.9 auch für $s = \pm 1$ gilt. (Randbemerkung: Es gilt $a_{n} < 0$ für $n \geq 1$ .) □

4.10 Hilfssatz. Sei $A$ eine Teilalgebra von $C (X, ℝ)$ . Dann gilt:

(a)

Der Abschluss

\bar{A}

von

A

ist auch eine Teilalgebra von

C (X, ℝ)

(b)

Ist

A

abgeschlossen in

C (X, ℝ)

, so gilt:

(i): Ist $f \in A$ mit $f \geq 0$ , so ist auch $\sqrt{f} \in A$ .
(ii): Sind $f, g \in A$ , so sind auch die Funktionen $\min {f, g}, \max {f, g} \in A$ .

Beweis. (a) Wegen $∥ f g ∥_{\infty} \leq ∥ f ∥_{\infty} ∥ g ∥_{\infty}$ für $f, g \in C (X)$ ist die Multiplikation in $C (X)$ stetig (überlegen!). Das liefert $f g \in \bar{A}$ für $f, g \in \bar{A}$ (man approximiere $f$ und $g$ aus $A$ heraus!). Da ferner $1 \in A \subseteq \bar{A}$ gilt, folgt die Behauptung.

(b)(i) Ohne Einschränkung sei $0 \leq f \leq 1$ (sonst normalisiere man $f$ ). Dann gilt $g = 1 - f \in A$ und $0 \leq g \leq 1$ . Gemäß Hilfssatz 4.9 gilt

\sqrt{f (x)} = \sqrt{1 - g (x)} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} g^{n} (x) für x \in X

(4.6)

mit den Binomialkoeﬃzienten aus (4.4). Da $A$ abgeschlossen ist und weil $\sum_{n = 0}^{N} a_{n} g^{n} \in A$ gilt für $N \in ℕ$ , reicht es, zu zeigen, dass die Reihe in (4.6) bzgl. der Norm $∥ \cdot ∥_{\infty}$ von $C (X, ℝ)$ konvergiert; dann ist $\sqrt{f} \in A$ . Wegen $∥ g^{n} ∥_{\infty} \leq 1$ für alle $n \in ℕ_{0}$ ist aber

\sum_{n = 0}^{\infty} ∥ a_{n} g^{n} ∥_{\infty} \leq \sum_{n = 0}^{\infty} | a_{n} | ∥ g ∥_{\infty}^{n} \leq \sum_{n = 0}^{\infty} | a_{n} | < \infty

gemäß Hilfssatz 4.9, d.h. die Reihe $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} g^{n}$ konvergiert absolut im Banachraum $C (X, ℝ)$ . Nach Satz 2.37 konvergiert sie dann auch.

(b)(ii) Wegen (b)(i) liegt mit $f$ auch $f^{2}$ und somit $| f | = \sqrt{f^{2}}$ in $A$ . Mit $f, g \in A$ sind also auch

\min {f, g} = \frac{1}{2} (f + g - | f - g |) und \max {f, g} = - \min {- f, - g}

Funktionen in $A$ . □

Beweis von Satz 4.8. Wir betrachten zunächst den Fall $𝕂 = ℝ$ . Sei $f \in C (X, ℝ)$ und $𝜀 > 0$ gegeben. Es reicht, zu zeigen, dass $g \in \bar{A}$ existiert mit $∥ f - g ∥_{\infty} \leq 𝜀$ . Zur Konstruktion der Funktion $g$ betrachten wir zunächst beliebige $x, y \in X$ mit $x \neq y$ . Nach Voraussetzung existiert eine Funktion $h = h_{x, y} \in A$ mit $h (x) \neq h (y)$ . Mit dieser Wahl deﬁnieren wir nun $g_{x, y} \in A$ durch

g_{x, y} (z) : = f (y) + (f (x) - f (y)) \frac{h (z) - h (y)}{h (x) - h (y)} für z \in X;

dann gilt $g_{x, y} (x) = f (x)$ und $g_{x, y} (y) = f (y)$ . Ferner deﬁnieren wir die konstante Funktion $g_{x, x} \in A$ , $g_{x, x} \equiv f (x)$ für $x \in X$ . Sei nun $x \in X$ fest gewählt. Für $y \in X$ betrachten wir dann die oﬀene Umgebung

U_{y} : = {z \in X | g_{x, y} (z) < f (z) + 𝜀}

von $y$ . Aufgrund der Kompaktheit von $X$ existieren $y_{1}, \dots, y_{n} \in X$ mit $X = ⋃_{j = 1}^{n} U_{y_{j}}$ . Ferner liegt wegen Hilfssatz 4.10 die Funktion $g_{x} : = \min {g_{x, y_{i}} | i = 1, \dots, n}$ in $\bar{A}$ . Dabei gilt $g_{x} (x) = f (x)$ und $g_{x} (z) < f (z) + 𝜀$ für alle $z \in X$ . Daher ist $V_{x} : = {z \in X | g_{x} (z) > f (z) - 𝜀}$ eine oﬀene Umgebung von $x$ . Wiederum aufgrund der Kompaktheit von $X$ existieren $x_{1}, \dots, x_{m} \in X$ mit $X = ⋃_{j = 1}^{m} V_{x_{j}}$ . Ferner ist auch $g : = \max {g_{x_{j}} | j = 1, \dots, m} \in \bar{A}$ , und es gilt

f (z) - 𝜀 < g < f (z) + 𝜀 für alle z \in X .

Es folgt $∥ f - g ∥_{\infty} \leq 𝜀$ , wie benötigt.

Wir betrachten schließlich den Fall $𝕂 = ℂ$ . Für $A_{0} : = {Re f | f \in A}$ gilt dann: 1. Für $f \in A$ ist auch $Re f = \frac{1}{2} (f + \bar{f}) \in A$ , und somit folgt $A_{0} \subseteq A$ . 2. Für $f \in A$ ist $Im f = Re (- i f) \in A_{0}$ . Aus 1. und 2. folgt die Mengengleichheit

A = A_{0} + i A_{0},

(4.7)

und diese impliziert insbesondere, dass $A_{0}$ die Punkte von $X$ trennt. Ferner ist $A_{0}$ eine Teilalgebra von $C (X, ℝ)$ , denn: Für $Re f, Re g \in A_{0}$ mit $f, g \in A$ ist

Re f \cdot Re g = Re (f Re g) \in A_{0},

da nach 1. auch $Re g$ und somit $f Re g$ in $A$ liegt. Ferner ist oﬀensichtlich $1 \in A_{0}$ . Wie bereits gezeigt, liegt $A_{0}$ also dicht in $C (X, ℝ)$ , und somit liegt $A$ wegen (4.7) auch dicht in $C (X, ℂ)$ . □

4.11 Korollar.

(a): Sei $X \subseteq ℝ^{N}$ kompakt. Dann liegen die Polynomfunktionen in $x_{1}, \dots, x_{N}$ (mit Koeﬃzienten in $𝕂$ ) dicht in $C (X, 𝕂)$ .
(b): Sei $X \subseteq ℂ^{N}$ kompakt. Dann liegen die Polynomfunktionen in $z_{1}, \dots, z_{N}$ , ${\bar{z}}_{1}, \dots, {\bar{z}}_{N}$ mit komplexen Koeﬃzienten dicht in $C (X, ℂ)$ .

Beweis. (a) Oﬀensichtlich bilden die genannten Funktionen eine Teilalgebra von $C (X, 𝕂)$ , welche die Punkte von $X$ trennt, da zu je zwei verschiedenen Punkten $x, y \in ℝ^{N}$ eine aﬃn lineare Funktion $g : ℝ^{N} \to ℝ$ existiert mit $g (x) \neq g (y)$ (z.B. die Funktion $z \mapsto g (z) = (z - y) \cdot (x - y)$ , $z \in ℝ^{N}$ ). Also folgt die Behauptung aus den Satz von Stone-Weierstraß.

(b) Die Behauptung folgt wie (a) aus Satz 4.8, wenn man zusätzlich beachtet, dass die hier betrachteten Funktionen eine Teilalgebra bilden, welche auch unter der komplexen Konjugation abgeschlossen ist. □

4.12 Deﬁnition und Korollar. Sei $C_{2 π} (ℝ, ℂ)$ der Vektorraum der stetigen $2 π$ -periodischen Funktionen $ℝ \to ℂ$ . Dann liegt der Teilraum $T$ der trigonometrischen Polynome dicht in $C_{2 π} (ℝ, ℂ)$ bzgl. $∥ \cdot ∥_{\infty}$ . Dabei heißt eine Funktion $f \in C_{2 π} (ℝ, ℂ)$ trigonometrisches Polynom, wenn es $n \in ℕ$ und $a_{k} \in ℂ$ , $k = - n, \dots, n$ , gibt mit $f (t) = \sum_{k = - n}^{n} a_{k} e i k t$ für $t \in ℝ$ .

Beweis.Sei $S^{1} : = {z \in ℂ | | z | = 1} \subseteq ℂ$ der Einheitskreis. Dann ist die Abbildung

T : C (S^{1}, ℂ) \to C_{2 π} (ℝ, ℂ), (T f) (t) : = f (e i t)

ist ein isometrischer Isomorphismus (bzgl. $∥ \cdot ∥_{\infty}$ ), welcher Polynome in $z$ und $\bar{z}$ genau auf trigonometrische Polynome abbildet. Die Behauptung folgt also durch Anwendung von Korollar 4.11 (b) auf $X : = S^{1} \subseteq ℂ$ . □

4.13 Korollar. Ist $(X, d)$ ein kompakter metrischer Raum, so ist $C (X)$ separabel.

Beweis.Da $X$ separabel ist (siehe Bemerkung 2.42), existieren $x_{n} \in X$ , $n \in ℕ$ derart, dass ${x_{n} | n \in ℕ}$ in $X$ dicht liegt. Für $n \in ℕ$ sei nun $φ_{n} \in C (X)$ deﬁniert durch $φ_{n} (x) : = d (x, x_{n})$ . Sei ferner $A \subseteq C (X)$ die kleinste Teilalgebra, welche die Funktionen $φ_{n}$ , $n \in ℕ$ enthält. Als Vektorraum ist $A = span M$ , wobei $M$ die Menge der endlichen Produkte $φ_{n_{1}} \cdot \dots \cdot φ_{n_{m}}$ mit $m \in ℕ_{0}$ und $n_{l} \in ℕ$ , $l = 1, \dots, m$ ist (leeres Produkt ist die Einsfunktion). Oﬀensichtlich ist $M$ abzählbar. Ferner trennt die Algebra $A$ die Punkte von $X$ : Sind nämlich $x, y \in X$ mit $x \neq y$ , so existiert $n \in ℕ$ mit $φ_{n} (x) = d (x, x_{n}) < \frac{d (x, y)}{2}$ . Es folgt dann

φ_{n} (y) = d (y, x_{n}) > d (y, x) - d (x, x_{n}) > \frac{d (x, y)}{2} > φ_{n} (x) .

Im Fall $𝕂 = ℂ$ ist $A$ zudem abgeschlossen unter komplexer Konjugation, da die Funktionen $φ_{n}$ , $n \in ℕ$ reellwertig sind. Also folgt mit dem Satz von Stone-Weierstraß, dass $A$ in $C (X)$ dicht liegt. Somit ist $M$ eine abzählbare totale Teilmenge von $C (X)$ , und damit ist $C (X)$ separabel nach Satz 2.20. □

_________________________ Ende des Inhalts für 2022-11-18 __________________________________

4.3 $L^{p}$ -Räume

Stets sei im Folgenden $(Ω, M, μ)$ ein (reeller) Maßraum. Ferner verwenden wir die Vereinbarung $\frac{r}{\infty} = 0$ für $r \in ℝ$ und setzen $\bar{ℝ} : = ℝ \cup {+ \infty, - \infty}$ . Wir wiederholen zunächst zentrale Begriﬀe der Maß- und Integrationstheorie und Konvergenzsätze, welche größtenteils aus der Integrationstheorie bekannt sind.

4.14 Deﬁnition. Seien $(Y, d)$ ein metrischer Raum und $f : Ω \to Y$ eine Funktion.

$f$ heißt $μ$ -messbar (oder einfach messbar), wenn für jede oﬀene Teilmenge $U \subseteq Y$ die Menge $f^{- 1} (U) \subseteq Ω$ $μ$ -messbar ist.
Ist $f$ $μ$ -messbar und nimmt $f$ nur endlich viele Werte an, so nennt man $f$ eine Stufenfunktion(auch Treppenfunktionoder Elementarfunktion).

Wir schreiben:

\begin{array}{l} M (Ω, Y) & : = {f : Ω \to Y | f μ -messbar}; \\ E (Ω, Y) & : = {f : Ω \to Y | f Stufenfunktion} . \end{array}

Im Fall $Y = 𝕂$ ( $𝕂 = ℝ$ oder $𝕂 = ℂ$ ) schreiben wir auch $M (Ω)$ bzw. $E (Ω)$ . Im Fall $Y = ℝ$ gilt insbesondere

f \in M (Ω, ℝ) \Leftrightarrow {x \in Ω | f (x) > c} ist messbar für alle c \in ℝ .

(4.8)

Wir werden im Folgenden (nicht-endliche) Funktionen $f : Ω \to \bar{ℝ}$ $μ$ -messbarnennen, wenn sie die Bedingung auf der rechten Seite von (4.8) erfüllen. Auch für solche Funktionen schreiben wir dann $f \in M (Ω, ℝ)$ bzw. $f \in M (Ω)$ .

4.15 Bemerkung. Für $f \in E (Ω)$ gilt $f = \sum_{y \in 𝕂} y 1_{{f = y}}$ , wobei wir hier und im Folgenden die Kurzschreibweise ${f = y} : = f^{- 1} (y) = {x \in Ω | f (x) = y} \subseteq Ω$ verwenden.

4.16 Deﬁnition und Bemerkung.

(a)

Für eine

μ

-messbare Funktion

f : Ω \to \bar{ℝ}

gilt oﬀenbar:

\int_{Ω} f^{\pm} d μ < \infty \Leftrightarrow \int_{Ω} | f | d μ < \infty .

(4.9)

Hier seien $f^{+} : = \max {f, 0}$ bzw. $f^{-} : = - \min {f, 0}$ der Positiv- bzw. Negativteil von $f$ . Es gilt also u.a. $f^{\pm} \geq 0$ und $f = f^{+} - f^{-}$ . Die Funktion $f$ heißt $μ$ -integrierbar, falls die Bedingungen in (4.9) gelten. In diesem Fall setzt man

\int_{Ω} f d μ : = \int_{Ω} f^{+} d μ - \int_{Ω} f^{-} d μ \in ℝ .

(b)

Eine

μ

-messbare Funktion

f : Ω \to ℂ

heißt

μ

-integrierbar, wenn

Re f

und

Im f

μ

-integrierbar sind. In diesem Fall setzt man

\int_{Ω} f d μ : = \int_{Ω} Re f d μ + i \int_{Ω} Im f d μ .

(c)

Die Menge der

μ

-integrierbaren

𝕂

-wertigen Funktionen bezeichnen wir mit

𝔏^{1} (Ω)

oder

𝔏^{1} (Ω, d μ)

4.17 Satz.

(a)

Ist

f : Ω \to [0, \infty]

messbar, so existiert eine Folge

{(f_{k})}_{k}

E (Ω)

mit

0 \leq f_{k} (x) \leq f_{k + 1} (x) \leq f (x) für alle x \in Ω, k \in ℕ

und $\lim_{k \to \infty} f_{k} (x) = f (x)$ für alle $x \in Ω$ .

(b)

Ist

f \in M (Ω, ℂ)

, so existiert eine Folge in

E (Ω, ℂ)

mit

| f_{k} | \leq | f |

Ω

für alle

k

und

f_{k} \to f

für

k \to \infty

punktweise in

Ω

4.18 Bemerkung. Ist $Ω = ⋃_{k \in ℕ} M_{k}$ mit $μ$ -messbaren Teilmengen $M_{k}$ und $μ (M_{k}) < \infty$ für alle $k \in ℕ$ , so können die Folgen ${(f_{k})}_{k}$ in Satz 4.17 (a) und (b) derart gewählt werden, dass gilt:

μ ({f_{k} \neq 0}) < \infty für alle k \in ℕ .

Dies gilt insbesondere im Fall $Ω = ℝ^{N}$ und $μ = λ$ (Lebesguemaß).

4.19 Satz(von der monotonen Konvergenz).

(a): Seien $f_{k} \in M (Ω, ℝ), k \in ℕ$ nichtnegative Funktionen mit $f_{k} \leq f_{k + 1}$ f.ü. auf $Ω$ für alle $k$ , und sei $f \in M (Ω, ℝ)$ f.ü. deﬁniert durch $f (x) : = \lim_{k \to \infty} f_{k} (x)$ . Dann gilt: $\int_{Ω} f d μ = \lim_{k \to \infty} \int_{Ω} f_{k} d μ$ .
(b): Seien $f_{k} \in 𝔏^{1} (Ω)$ $ℝ$ -wertige Funktionen für $k \in ℕ$ mit $f_{k} \leq f_{k + 1}$ f.ü. auf $Ω$ für alle $k$ , und sei $f \in M (Ω, ℝ)$ f.ü. deﬁniert durch $f (x) : = \lim_{k \to \infty} f_{k} (x)$ . Dann gilt: Ist die Folge der Integrale $\int_{Ω} f_{k} d μ$ beschränkt, so ist $f$ integrierbar und $\int_{Ω} f d μ = \lim_{k \to \infty} \int_{Ω} f_{k} d μ$ .

4.20 Lemma(von Fatou). Sei ${(f_{k})}_{k} \subseteq 𝔏^{1} (Ω)$ eine Folge $ℝ$ -wertiger Funktionen.

(a): Ist ${liminf}_{k \to \infty} \int_{Ω} f_{k} d μ < \infty$ und existiert $g \in 𝔏^{1} (Ω, ℝ)$ mit $f_{k} \geq g$ f.ü. auf $Ω$ für alle $k \in ℕ$ , so ist $f : = {liminf}_{k \to \infty} f_{k}$ integrierbar und $\int_{Ω} f d μ \leq {liminf}_{k \to \infty} \int_{Ω} f_{k} d μ$ .
(b): Ist ${limsup}_{k \to \infty} \int_{Ω} f_{k} d μ > - \infty$ und existiert $g \in 𝔏^{1} (Ω, ℝ)$ mit $f_{k} \leq g$ f.ü. auf $Ω$ für alle $k \in ℕ$ , so ist $f : = {limsup}_{k \to \infty} f_{k}$ integrierbar und $\int_{Ω} f d μ \geq {limsup}_{k \to \infty} \int_{Ω} f_{k} d μ$ .

4.21 Satz(von der majorisierten Konvergenz (Satz von Lebesgue)). Seien $f_{k} \in 𝔏^{1} (Ω)$ , $k \in ℕ$ derart, dass der punktweise Grenzwert $f : = \lim_{k \to \infty} f_{k}$ punktweise f.ü. auf $Ω$ existiert. Ferner existiere eine $ℝ$ -wertige Funktion $g \in 𝔏^{1} (Ω)$ derart, dass für alle $k \in ℕ$ die Ungleichung $| f_{k} | \leq g$ f.ü. auf $Ω$ gilt. Dann ist $f \in 𝔏^{1} (Ω)$ , und es gilt $\int_{Ω} f d μ = \lim_{k \to \infty} \int_{Ω} f_{k} d μ$ .

Jetzt kommen wir zur Deﬁnition der $L^{p}$ -Räume.

4.22 Deﬁnition und Bemerkung. Für eine $μ$ -messbare Funktion $u : Ω \to \bar{ℝ}$ sei

\underset{Ω}{esssup} u : = \inf {t \in ℝ | u \leq t f.ü. auf Ω} (wesentliches Supremum von u) .

Man sieht leicht, dass stets $u \leq {esssup}_{Ω} u$ f.ü. auf $Ω$ gilt.

4.23 Satz und Deﬁnition. Sei $1 \leq p \leq \infty$ . Die Menge $𝔏^{p} (Ω)$ aller messbaren Funktionen $u : Ω \to 𝕂$ mit

{\begin{matrix} \int_{Ω} | u |^{p} d μ < \infty, & im Fall p < \infty, \\ \underset{Ω}{esssup} | u | < \infty, & im Fall p = \infty, \end{matrix}

ist ein $𝕂$ -Vektorraum, und durch

∥ u ∥_{p} : = {\begin{matrix} {(\int_{Ω} | u |^{p} d μ)}^{\frac{1}{p}}, & im Fall p < \infty, \\ \underset{Ω}{esssup} | u |, & im Fall p = \infty, \end{matrix}

wird eine Halbnorm auf $𝔏^{p} (Ω)$ deﬁniert.

Beweis.Die Vektorraumeigenschaften sieht man sehr ähnlich wie in Deﬁnition und Satz 2.7. Sei nun

A_{p} : = {\begin{matrix} {u \in 𝔏^{p} (Ω) | \int_{Ω} | u |^{p} d μ \leq 1} & im Fall p < \infty, \\ {u \in 𝔏^{p} (Ω) | \underset{Ω}{esssup} | u | \leq 1} & im Fall p = \infty . \end{matrix}

Oﬀensichtlich ist $A_{p}$ dann absolut konvex und absorbierend in $𝔏^{p} (Ω)$ , und gemäß Satz 2.6 deﬁniert

u \mapsto \inf {t > 0 | \frac{u}{t} \in A_{p}} = ∥ u ∥_{p} .

eine Halbnorm auf $𝔏^{p} (Ω)$ . □

4.24 Satz(Höldersche Ungleichung). Seien $p, q \in [1, \infty]$ konjugierte Exponenten, d.h. es gelte $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ . Seien ferner $u \in 𝔏^{p} (Ω)$ und $v \in 𝔏^{q} (Ω)$ . Dann gilt

\int_{Ω} | u v | d μ \leq ∥ u ∥_{p} ∥ v ∥_{q} .

Beweis.Die Ungleichung ist klar im Fall $p \in {1, \infty}$ . Sei also nun $1 < p < \infty$ , also auch $1 < q < \infty$ . Ohne Einschränkung können wir $∥ u ∥_{p}, ∥ v ∥_{q} > 0$ annehmen, denn andernfalls ist $u v = 0$ f.ü. in $Ω$ und die Ungleichung ist trivialerweise erfüllt. Mit der Youngschen Ungleichung (vgl. Bemerkung 2.8 (b)) folgt dann mit $s = ∥ u ∥_{p}$ , $t = ∥ v ∥_{q}$ :

\begin{matrix} \int_{Ω} | u v | d μ = s t \int_{Ω} | \frac{u}{s} | | \frac{v}{t} | d μ \leq s t \int_{Ω} (\frac{1}{p} {| \frac{u}{s} |}^{p} + \frac{1}{q} {| \frac{v}{t} |}^{q}) d μ \\ = s t (\frac{1}{p} {∥ \frac{u}{s} ∥}_{p}^{p} + \frac{1}{q} {∥ \frac{v}{t} ∥}_{q}^{q}) = s t (\frac{1}{p} + \frac{1}{q}) = s t, \end{matrix}

wie behauptet. □

4.25 Bemerkung(verallgemeinerte Höldersche Ungleichung). Seien $p_{1}, \dots, p_{n} \in [1, \infty]$ mit $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{p_{i}} = \frac{1}{p}$ für ein $p \in [1, \infty]$ . Seien ferner $u_{i} \in 𝔏^{p_{i}} (Ω)$ , $i = 1, \dots, n$ gegeben. Dann gilt

u : = u_{1} \cdot \dots \cdot u_{n} \in 𝔏^{p} (Ω) und ∥ u ∥_{p} \leq ∥ u_{1} ∥_{p_{1}} \cdot \dots \cdot ∥ u_{n} ∥_{p_{n}} .

Dies folgt aus Satz 4.24 per Induktion (Übung).

4.26 Bemerkung und Beispiel. Sei $1 \leq p < q \leq \infty$ .

(a)

Ist

u \in 𝔏^{p} (Ω) \cap 𝔏^{q} (Ω)

, so ist auch

u \in 𝔏^{s} (Ω)

für

s \in (p, q)

, wobei gilt:

∥ u ∥_{s} \leq ∥ u ∥_{p}^{α} ∥ u ∥_{q}^{1 - α} mit α : = \frac{p (q - s)}{s (q - p)} .

Merkregel: $\frac{1}{s} = \frac{α}{p} + \frac{1 - α}{q}$ .

(b)

Ist

μ (Ω) < \infty

, so ist

𝔏^{q} (Ω) \subseteq 𝔏^{p} (Ω)

und

∥ u ∥_{p} \leq μ {(Ω)}^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} ∥ u ∥_{q} für alle u \in 𝔏^{q} (Ω) .

(c)

Ist

μ = λ

das Lebesguemaß auf

ℝ^{N}

, so gilt

𝔏^{p} (ℝ^{N}) \ 𝔏^{q} (ℝ^{N}) \neq \emptyset \neq 𝔏^{q} (ℝ^{N}) \ 𝔏^{p} (ℝ^{N}) .

Beweis. (a) Nach Voraussetzung ist $| u |^{α} \in 𝔏^{p ∕ α} (Ω)$ und $| u |^{1 - α} \in 𝔏^{q ∕ (1 - α)} (Ω)$ . Ferner gilt

\frac{1}{p ∕ α} + \frac{1}{q ∕ (1 - α)} = \frac{α}{p} + \frac{1 - α}{q} = \frac{1}{s}

nach Voraussetzung. Gemäß Bemerkung 4.25 ist also $| u | = | u |^{α} | u |^{1 - α} \in 𝔏^{s} (Ω)$ , also

u \in 𝔏^{s} (Ω) mit ∥ u ∥_{s} \leq {∥ | u |^{α} ∥}_{\frac{p}{α}} {∥ | u |^{1 - α} ∥}_{\frac{q}{1 - α}} = ∥ u ∥_{p}^{α} ∥ u ∥_{q}^{1 - α} .

(b) Sei $u \in 𝔏^{q} (Ω)$ . Wir schreiben $u = u \cdot 1_{Ω}$ . Mit $β : = {(\frac{1}{p} - \frac{1}{q})}^{- 1}$ ist dann $1_{Ω} \in 𝔏^{β}$ mit

∥ 1_{Ω} ∥_{β} = {(\int_{Ω} 1 d μ)}^{1 ∕ β} = {(μ (Ω))}^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} .

Ferner ist $\frac{1}{q} + \frac{1}{β} = \frac{1}{p}$ , und somit folgt mit Bemerkung 4.25:

u \in 𝔏^{p} (Ω) mit ∥ u ∥_{p} \leq ∥ 1_{Ω} ∥_{β} ∥ u ∥_{q} = {(μ (Ω))}^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} ∥ u ∥_{q} .

_________________________ Ende des Inhalts für 2022-11-22 __________________________________

4.27 Deﬁnition und Satz( $L^{p}$ -Raum). Sei $Z : = {u \in M (Ω, 𝕂) | u = 0 f.ü. auf Ω}$ , und sei $1 \leq p \leq \infty$ . Dann ist $Z \subseteq 𝔏^{p} (Ω)$ ein Unterraum, und der Faktorraum $L^{p} (Ω) = L^{p} (Ω, 𝕂) : = 𝔏^{p} (Ω) ∕ Z$ ist ein normierter Raum mit Norm $∥ \cdot ∥_{p}$ gegeben durch

∥ u + Z ∥_{p} : = ∥ u ∥_{p} für u \in 𝔏^{p} (Ω) .

Beweis.Es ist klar, dass $Z$ ein linearer Unterraum von $𝔏^{p}$ ist. Die Integrationstheorie liefert für $u \in 𝔏^{p} (Ω)$ , dass $∥ u ∥_{p} = 0$ genau dann gilt, wenn $u$ in $Z$ liegt. Daraus folgt sofort, dass durch die Deﬁnition eine Norm gegeben ist. □

4.28 Bemerkung(u.a. zur Notation).

(a)

Man schreibt anstelle von

u + Z

oder

[u]

(Äquivalenzklasse von

u

) oft nur

u \in L^{p} (Ω)

. Man betrachtet die Elemente von

L^{p} (Ω)

also als Funktionen, die nur bis auf Abänderung auf Nullmengen eindeutig deﬁniert sind.

(b)

Angenommen,

Ω

ist ein metrischer Raum mit der Eigenschaft

Ist V \subseteq Ω eine Nullmenge, so ist Ω \ V dicht in Ω

(z.B. $Ω \subseteq ℝ^{N}$ oﬀen mit Lebesgue- Maß). Sind dann $u, v \in 𝔏^{p} (Ω)$ stetigeFunktionen mit $u = v$ f.ü. auf $Ω$ , so gilt $u = v$ auf ganz $Ω$ . Es folgt also, dass dann die Abbildung

𝔏^{p} (Ω) \cap C (Ω) \to L^{p} (Ω), u \mapsto u + Z

injektiv ist.

4.29 Satz. Sei $1 \leq p \leq \infty$ .

(a): $L^{p} (Ω)$ ist ein Banachraum.
(b): Seien $u, u_{k} \in L^{p} (Ω)$ , $k \in ℕ$ gegeben mit $∥ u_{k} - u ∥_{p} \to 0$ für $k \to \infty$ . Dann existiert eine Teilfolge ${(u_{k_{j}})}_{j}$ , welche punktweise f.ü. auf $Ω$ gegen $u$ konvergiert.

Beweis. (a) Gemäß Satz 2.37 reicht es, zu zeigen, dass jede absolut konvergente Reihe in $L^{p} (Ω)$ auch konvergiert. Seien also $u_{k} \in L^{p} (Ω)$ , $k \in ℕ$ gegeben mit

C_{m} : = \sum_{k = m}^{\infty} ∥ u_{k} ∥_{p} \to 0 für m \to \infty .

Wir betrachten im Folgenden die Hilfsfunktionen

h_{m} : = \sum_{k = m}^{\infty} | u_{k} | : Ω \to [0, \infty], m \in ℕ .

Wir zeigen zunächst:

h_{m} \in L^{p} (Ω) und ∥ h_{m} ∥_{p} \leq C_{m} für m \in ℕ .

(4.10)

Für festes $m \in ℕ$ und $j > m$ liefert die Dreiecksungleichung

{∥ \sum_{k = m}^{j} | u_{k} | ∥}_{p} \leq \sum_{k = m}^{j} ∥ u_{k} ∥_{p} \leq C_{m} .

Im Fall $p < \infty$ folgt dann aus dem Satz von der monotonen Konvergenz

\int_{Ω} | h_{m} |^{p} d μ = \lim_{j \to \infty} \int_{Ω} {(\sum_{k = m}^{j} | u_{k} |)}^{p} d μ = \lim_{j \to \infty} {∥ \sum_{k = m}^{j} | u_{k} | ∥}_{p}^{p} \leq C_{m}^{p}

und somit (4.10). Im Fall $p = \infty$ folgt ebenfalls

h_{m} = \lim_{j \to \infty} \sum_{k = m}^{j} | u_{k} | \leq C_{m} f.ü. in Ω

und somit wiederum (4.10). Hier haben wir verwendet, dass für alle $k \in ℕ$ gilt: $| u_{k} | \leq ∥ u_{k} ∥_{\infty}$ f.ü. und dass die abzählbare Vereinigung von Nullmengen wieder eine Nullmenge ist. Aus (4.10) folgt insbesondere:

h_{1} = \sum_{k = 1}^{\infty} | u_{k} | < \infty f.ü. auf Ω,

denn im Fall von $p < \infty$ gilt $| h_{1} |^{p} \in L^{1} (Ω)$ . Somit existiert $u (x) : = \sum_{k = 1}^{\infty} u_{k} (x) \in 𝕂$ für fast alle $x \in Ω$ . Sei $u$ trivial (also durch $0$ ) auf ganz $Ω$ fortgesetzt; dann ist $u$ $μ$ -messbar und $| u | \leq h_{1}$ auf $Ω$ . Gemäß (4.10) gilt also $u \in L^{p} (Ω)$ mit $∥ u ∥_{p} \leq C_{1}$ . Sei schließlich $g_{m} : = u - \sum_{k = 1}^{m - 1} u_{k}$ für $m \geq 2$ . Dann gilt $| g_{m} | \leq h_{m}$ f. ü. in $Ω$ , und wegen (4.10) folgt

∥ g_{m} ∥_{p} \leq C_{m} \to 0 für m \to \infty .

Somit konvergiert die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} u_{k}$ bzgl. $∥ \cdot ∥_{p}$ gegen $u$ .

(b) Wähle sukzessive $k_{j} \in ℕ$ mit $k_{j + 1} > k_{j}$ und derart, dass für alle $j \in ℕ$ gilt:

∥ v_{j} ∥_{p} \leq 2^{- j} für v_{j} : = u_{k_{j + 1}} - u_{k_{j}} \in L^{p} (Ω) .

Insbesondere konvergiert die Reihe $\sum_{j \in ℕ} v_{j}$ absolut in $L^{p} (Ω)$ . Wie im Beweis von (a) folgt daher, dass sie sowohl bzgl. $∥ \cdot ∥_{p}$ als auch punktweise f.ü. auf $Ω$ gegen eine Funktion $v \in L^{p} (Ω)$ konvergiert. Nach Voraussetzung gilt aber auch

{∥ u - u_{k_{1}} - \sum_{j = 1}^{m} v_{j} ∥}_{p} = ∥ u - u_{k_{m + 1}} ∥_{p} \to 0 für m \to \infty,

und somit folgt $v = u - u_{k_{1}}$ . Es gilt also

u_{k_{m}} = \sum_{j = 1}^{m - 1} v_{j} + u_{k_{1}} \to v + u_{k_{1}} = u für m \to \infty punktweise fast überall auf Ω,

d.h. die Teilfolge $(u_{k_{m}})$ hat die gewünschte Eigenschaft. □

4.30 Beispiel(wandernder Buckel).Der Übergang zu einer Teilfolge in Satz 4.29 (b) ist i.A. notwendig. Um dies einzusehen, betrachten wir $1 \leq p < \infty$ und $f_{n} : [0, 1] \to ℝ$ , $n \in ℕ$ deﬁniert durch

f_{n} (t) : = {\begin{matrix} 1 & für t \in [k 2^{- ν}, (k + 1) 2^{- ν}]; \\ 0 & sonst. \end{matrix}

Hier seien $k, ν \in ℕ_{0}$ die jeweils eindeutig bestimmten Zahlen mit $n = 2^{ν} + k$ und $k < 2^{ν}$ . Dann ist $f_{n} \in L^{p} ([0, 1])$ für alle $n$ und $\lim_{n \to \infty} ∥ f_{n} ∥_{p} = 0$ ; aber in keinem Punkt $x \in [0, 1]$ konvergiert die Folge ${(f_{n} (x))}_{n}$ gegen $0$ .

4.31 Deﬁnition und Satz. Auf $L^{2} (Ω)$ ist ein Skalarprodukt $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ deﬁniert durch

⟨ f, g ⟩ = \int_{Ω} f \bar{g} d μ für f, g \in L^{2} (Ω)

(Im Fall $𝕂 = ℝ$ erübrigt sich hierbei natürlich die komplexe Konjugation). Dabei ist $∥ \cdot ∥_{2}$ die von $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ induzierte Norm. Nach Satz 4.29 ist $L^{2} (Ω)$ also ein Hilbertraum.

Beweis.Die Skalarprodukteigenschaften rechnet man problemlos nach. □

4.32 Satz. Sei $1 \leq p < \infty$ , und sei $u \in L^{p} (Ω)$ . Dann existiert eine Folge ${(u_{k})}_{k} \subseteq E (Ω)$ mit $| u_{k} | \leq | u |$ in $Ω$ und $μ ({u_{k} \neq 0}) < \infty$ für alle $k \in ℕ$ sowie $\lim_{k \to \infty} ∥ u_{k} - u ∥_{p} = 0$ .

Beweis.Nach Satz 4.17 existieren $u_{k} \in E (Ω)$ , $k \in ℕ$ , mit $| u_{k} | \leq | u |$ für alle $k$ und $u_{k} \to u$ punktweise. Für festes $k$ existiert dabei $c = c (k) > 0$ mit $| u_{k} | \geq c$ auf der Menge ${u_{k} \neq 0}$ , und somit folgt

μ ({u_{k} \neq 0}) c^{p} \leq \int_{Ω} | u_{k} |^{p} d μ \leq \int_{Ω} | u |^{p} d μ < \infty .

Dies zeigt $μ ({u_{k} \neq 0}) < \infty$ . Sei nun $g_{k} : = | u_{k} - u |^{p}$ für $k \in ℕ$ . Dann konvergiert die Folge ${(g_{k})}_{k}$ punktweise gegen $0$ , wobei

| g_{k} | \leq {(| u_{k} | + | u |)}^{p} \leq 2^{p} | u |^{p} auf Ω für alle k \in ℕ gilt.

Mit dem Satz von Lebesgue (siehe Satz 4.21) folgt daher

\lim_{k \to \infty} \int_{Ω} g_{k} d μ = 0,

und dies liefert $\lim_{k \to \infty} ∥ u_{k} - u ∥_{p} = 0$ . □

Bisher haben wir noch nicht geklärt, unter welchem Umständen die Räume $L^{p} (Ω)$ separabel sind. Ist darüber hinaus $Ω$ ein metrischer Raum, so ist es in Anwendung oft sehr nützlich, zu wissen, inwieweit stetige Funktionen in $L^{p} (Ω)$ dicht liegen. Diese Fragen wollen wir im Folgenden erörtern. Dazu ist der folgende Satz sehr nützlich; des Weiteren benötigen wir einige Sachverhalte über Borel- und Radonmaße.

4.33 Satz(von Egorov (und Severini)). Sei $Y$ ein separabler metrischer Raum, und seien $u_{n} : Ω \to Y$ messbare Funktionen für $n \in ℕ$ , welche punktweise f.ü. gegen eine Funktion $u : Ω \to Y$ konvergieren. Ist $μ (Ω) < \infty$ , so existiert zu jedem $𝜀 > 0$ eine messbare Teilmenge $A \subseteq Ω$ mit $μ (Ω \ A) < 𝜀$ und derart, dass ${(u_{n})}_{n}$ auf $A$ gleichmäßig gegen $u$ konvergiert.

Beweis.Sei $𝜀 > 0$ , und für $n, k \in ℕ$ sei

E_{n, k} : = ⋃_{m = n}^{\infty} {x \in Ω | d (u_{m} (x), u (x)) \geq \frac{1}{k}} .

Dann gilt $E_{n + 1, k} \subseteq E_{n, k}$ für alle $n, k \in ℕ$ . Da ferner ${(u_{n})}_{n}$ punktweise f.ü. gegen $u$ konvergiert und $μ (E_{1, k}) \leq μ (Ω) < \infty$ gilt, folgt

\lim_{n \to \infty} μ (E_{n, k}) = μ (⋂_{n = 1}^{\infty} E_{n, k}) = 0 für alle k \in ℕ .

Somit existiert zu jedem $k \in ℕ$ ein $n_{k} \in ℕ$ mit $μ (E_{n_{k}, k}) < 𝜀 2^{- k}$ . Sei nun

A : = Ω \ ⋃_{k \in ℕ} E_{n_{k}, k} .

Für $x \in A$ und $k \in ℕ$ gilt dann $x \notin E_{n_{k}, k}$ , also

d (u_{m} (x), u (x)) < \frac{1}{k} für m \geq n_{k} .

Es folgt, dass die Folge ${(u_{n})}_{n}$ auf $A$ gleichmäßig gegen $u$ konvergiert. Ferner gilt

μ (Ω \ A) \leq \sum_{k = 1}^{\infty} μ (E_{n_{k}, k}) < 𝜀 . □

Bemerkung: Die Separabilität von $Y$ wird im obigen Beweis benötigt, um die Messbarkeit der Mengen $E_{n, k}$ sicherzustellen.

4.4 Approximation in $L^{p}$ durch stetige Funktionen

Wir benötigen zunächst einige ergänzende Begriﬀsbildungen zur Kompaktheit. Sei im Folgenden $(Ω, d)$ ein metrischer Raum.

4.34 Deﬁnition. Seien $E$ ein normierter Raum und $U \subseteq E$ eine Teilmenge mit $0 \in U$ . Mit $C_{c} (Ω, U)$ bezeichnen wir die Menge der stetigen Funktionen $u : Ω \to U$ derart, dass der Träger

supp u : = \bar{{x \in Ω | u (x) \neq 0}} \subseteq Ω

kompakt ist. Im Fall $U = E$ ist diese Menge ein (i.A. nicht abgeschlossener!) Unterraum des normierten Raums $C_{b} (Ω, E)$ . Kurzschreibweise: $C_{c} (Ω)$ anstelle von $C_{c} (Ω, 𝕂)$ .

4.35 Deﬁnition. $Ω$ heißt

(a): lokal kompakt, wenn jeder Punkt $x \in Ω$ eine kompakte Umgebung besitzt.
(b): $σ$ -kompakt, wenn kompakte Mengen $K_{j} \subseteq Ω$ , $j \in ℕ$ existieren mit $Ω = ⋃_{j = 1}^{\infty} K_{j}$ .

4.36 Bemerkungen und Beispiele.

(a): Ist $Ω$ lokal kompakt und $K \subseteq Ω$ kompakt, so besitzt $K$ eine kompakte Umgebung. Ferner existiert in diesem Fall eine Funktion $u \in C_{c} (Ω, [0, 1])$ mit $u \equiv 1$ in einer oﬀenen Umgebung von $K$ .
(b): Ist $Ω$ $σ$ -kompakt, so ist $Ω$ separabel: Sind nämlich $K_{j} \subseteq Ω$ , $j \in ℕ$ kompakt mit $Ω : = ⋃_{j = 1}^{\infty} K_{j}$ , so sind die Mengen $K_{j}$ separabel nach Bemerkung 2.42 und somit auch $Ω$ (als abzählbare Vereinigung separabler Mengen).
(c): Ein normierter Raum $E$ ist lokal kompakt genau dann, wenn $E$ endlichdimensional ist (vgl. Satz 2.45).
(d): Jeder endlichdimensionale normierte Raum ist $σ$ -kompakt.
(e): Der Raum $F \subseteq ℓ^{\infty}$ der ﬁniten $𝕂$ -wertigen Folgen (versehen mit der Norm $∥ \cdot ∥_{\infty}$ ) ist $σ$ -kompakt, denn es ist $F = ⋃_{j = 1}^{\infty} K_{j}$ , wobei $K_{j} \subseteq F$ die kompakte Teilmenge der Folgen $x = {(x_{ℓ})}_{ℓ} \in F$ mit $∥ x ∥_{\infty} \leq j$ und $x_{ℓ} = 0$ für $ℓ \geq j$ sei. $F$ ist aber nicht lokal kompakt, da $\dim F = \infty$ gilt.

4.37 Satz. Sei $Ω$ lokal kompakt und $σ$ -kompakt. Dann gilt:

(a): Es existiert eine Folge kompakter Teilmengen $M_{j}$ , $j \in ℕ$ von $Ω$ derart, dass jede kompakte Menge $K \subseteq Ω$ in einer der Mengen $M_{j}$ enthalten ist.
(b): Der Raum $(C_{c} (Ω), ∥ \cdot ∥_{\infty})$ ist separabel.

Beweis. (a) Seien $K_{j} \subseteq Ω$ , $j \in ℕ$ kompakt mit $Ω : = ⋃_{j = 1}^{\infty} K_{j}$ . Gemäß Bemerkungen und Beispiele 4.36 (a) existiert für jedes $j \in ℕ$ eine kompakte Umgebung $L_{j}$ von $K_{j}$ . Setze $M_{j} : = ⋃_{i = 1}^{j} L_{i}$ für $j \in ℕ$ . Dann bilden die Mengen $U_{j} : = \ddot{M_{j}}$ , $j \in ℕ$ eine oﬀene Überdeckung von $Ω$ mit $U_{j} \subseteq U_{j + 1}$ für $j \in ℕ$ . Für jede kompakte Teilmenge $K \subseteq Ω$ existiert somit ein $j \in ℕ$ mit $K \subseteq U_{j} \subseteq M_{j}$ , wie behauptet.

(b) Sei $M_{j}$ , $j \in ℕ$ wie in (a), und sei

C_{j} : = {f \in C_{c} (Ω) | supp f \subseteq M_{j}} für j \in ℕ .

Dabei ist $C_{j}$ also isometrisch isomorph zu einem Unterraum von $C (M_{j})$ vermöge der isometrischen Einbettung $C_{j} \to C (M_{j}), f \mapsto f |_{M_{j}}$ . Gemäß Korollar 4.13 ist dabei $C (M_{j})$ separabel bzgl. $∥ \cdot ∥_{\infty}$ und wegen Satz 2.18 auch $C_{j}$ . Ferner ist $C_{c} (Ω) = ⋃_{j \in ℕ} C_{j}$ wegen (a), und somit ist $C_{c} (Ω)$ ebenfalls separabel. □

4.38 Bemerkung. In Satz 4.37 kann die Bedingung der lokalen Kompaktheit nicht weggelassen werden, wie ein mit Hilfe von Bemerkungen und Beispiele 4.36 (e) einfach zu konstruierendes Gegenbeispiel zeigt (Übung).

_________________________ Ende des Inhalts für 2022-11-25 __________________________________

4.39 Deﬁnition.

(a): Für ein Mengenteilsystem $O \subseteq P (Ω)$ deﬁniert man ${⟨ O ⟩}^{σ}$ als den Schnitt aller $σ$ -Algebren, welche $O$ enthalten. Man nennt ${⟨ O ⟩}^{σ}$ dann die von $O$ erzeugte $σ$ -Algebra.
(b): Ist $O \subseteq P (Ω)$ das System aller oﬀenen Teilmengen von $Ω$ , so nennt man $B (Ω) : = {⟨ O ⟩}^{σ}$ die Borelalgebra von $Ω$ , und die Elemente von $B (Ω)$ heißen Borelmengen.
(c): Ist $μ$ ein Maß auf einer $σ$ -Algebra $M_{μ}$ auf $Ω$ mit $B (Ω) \subseteq M_{μ}$ , so nennt man $μ$ ein Borelmaß auf $Ω$ . Vorsicht: In Teilen der Literatur wird bei einem Borelmaß $μ$ noch zusätzlich die Eigenschaft verlangt, dass $μ$ lokal endlich ist, d.h. das jeder Punkt in $Ω$ eine oﬀene Umgebung $U$ besitzt mit $μ (U) < \infty$ (vgl. Deﬁnition 4.41 (c)).

4.40 Beispiele(und Bemerkung zur Notation).

(a)

Bekanntermaßen ist (nach Konstruktion, s. Vorlesung Integrationstheorie) das Lebesguemaß auf

ℝ^{N}

ein Borelmaß. Ferner ist z.B. das Diracmaß

δ_{x}

x \in Ω

, gegeben durch

δ_{x} = {\begin{matrix} 1, & x \in A, \\ 0, & x \notin A \end{matrix} für A \subseteq Ω

ein Borelmaß.

(b)

Ist im Folgenden von einem Borelmaß

μ

auf

Ω

die Rede, so betrachten wir

μ

stets auf einer gegebenen, zugehörigen

σ

-Algebra

M_{μ} \supseteq B (Ω)

, deren Elemente wir im Folgenden

μ

-messbar nennen.

4.41 Deﬁnition. Sei $μ$ ein Borelmaß auf $Ω$ .

(a)

μ

heißt von außen regulär, wenn für jede

μ

-messbare Teilmenge

A \subseteq Ω

gilt:

μ (A) = \inf {μ (U) | U oﬀen, A \subseteq U} .

(b)

μ

heißt von innen regulär, wenn für jede

μ

-messbare Teilmenge

A \subseteq Ω

gilt:

μ (A) = \sup {μ (K) | K kompakt, K \subseteq A} .

(c)

μ

heißt lokal endlich, wenn jeder Punkt

x \in Ω

eine oﬀene Umgebung

U

besitzt mit

μ (U) < \infty

(d)

μ

heißt Radon- Maß auf

Ω

, wenn

μ

von innen regulär und lokal endlich ist.

Bemerkung: Ist $Ω$ lokal kompakt, so ist (c) oﬀensichtlich äquivalent zur Eigenschaft

μ (K) < \infty für jede kompakte Teilmenge K \subseteq Ω .

(4.11)

4.42 Satz. Sei $Ω$ $σ$ -kompakt, und sei $μ$ ein von außen reguläres und lokal endliches Borelmaß auf $Ω$ . Dann gilt:

(a): $μ$ ist auch von innen regulär und somit ein Radon-Maß.
(b): Für jede $μ$ -messbare Teilmenge $A \subseteq Ω$ und jedes $𝜀 > 0$ existieren eine oﬀene Menge $U \subseteq Ω$ und eine abgeschlossene Menge $V \subseteq Ω$ mit $V \subseteq A \subseteq U$ und $μ (U \ V) < 𝜀$ .

Beweis.Sei $Ω = ⋃_{j \in ℕ} K_{j}$ mit kompakten Teilmengen $K_{j} \subseteq Ω$ . Ohne Einschränkung können wir dabei $K_{j} \subseteq K_{j + 1}$ für $j \in ℕ$ annehmen. Sei $A \subseteq Ω$ $μ$ -messbar. Wir zeigen zunächst (b) für $A$ .

1. Behauptung: Zu jedem $𝜀 > 0$ existiert $U \subseteq Ω$ oﬀen mit $A \subseteq U$ und $μ (U \ A) < \frac{𝜀}{2}$ . Zum Beweis sei $A_{j} : = A \cap K_{j}$ für $j \in ℕ$ . Dann ist $A_{j} \subseteq K_{j}$ und somit $μ (A_{j}) \leq μ (K_{j}) < \infty$ gemäß (4.11). Da $μ$ von außen regulär ist, existieren nun oﬀene Mengen $U_{j} \subseteq Ω$ mit $A_{j} \subseteq U_{j}$ und $μ (U_{j}) < μ (A_{j}) + 𝜀 2^{- j - 1}$ , somit also

μ (U_{j} \ A_{j}) = μ (U_{j}) - μ (A_{j}) < 𝜀 2^{- j - 1} für j \in ℕ .

Mit $U : = ⋃_{j \in ℕ} U_{j}$ folgt $U \ A \subseteq ⋃_{j \in ℕ} (U_{j} \ A_{j})$ und

μ (U \ A) \leq \sum_{j \in ℕ} μ (U_{j} \ A_{j}) < \frac{𝜀}{2},

wie behauptet. Anwendung der 1. Behauptung auf die $μ$ -messbare Menge $Ω \ A$ liefert nun auch $W \subseteq Ω$ oﬀen mit $Ω \ A \subseteq W$ und $μ (W \ (Ω \ A)) < \frac{𝜀}{2}$ . Sei $V : = Ω \ W$ . Dann ist $V$ abgeschlossen in $Ω$ mit $V \subseteq A$ ; ferner gilt $W \ (Ω \ A) = W \cap A = A \ V$ und daher

μ (U \ V) = μ (U \ A) + μ (A \ V) < \frac{𝜀}{2} + \frac{𝜀}{2} = 𝜀 .

Somit ist (b) gezeigt.

Nun zu (a). Wir müssen zeigen:

μ (A) \leq \sup {μ (K) | K kompakt, K \subseteq A};

(4.12)

die umgekehrte Ungleichung ist oﬀensichtlich. Für die oben deﬁnierten Mengen $A_{j} : = A \cap K_{j}$ gilt $A_{j} \subseteq A_{j + 1}$ für $j \in ℕ$ und $A = ⋃_{j = 1}^{\infty} A_{j}$ , somit also

μ (A) = \lim_{j \to \infty} μ (A_{j}) = \sup_{j \in ℕ} μ (A_{j}) .

Sei nun $𝜀 > 0$ . Anwendung von (b) liefert abgeschlossene Mengen $V_{j} \subseteq Ω$ , $j \in ℕ$ mit $V_{j} \subseteq A_{j}$ und $μ (A_{j} \ V_{j}) < 𝜀$ , d.h $μ (A_{j}) \leq μ (V_{j}) + 𝜀$ . Ferner ist $V_{j}$ kompakt, da $V_{j} \subseteq K_{j}$ gilt. Es folgt

μ (A) \leq \sup_{j \in ℕ} μ (V_{j}) + 𝜀 \leq \sup {μ (K) | K kompakt, K \subseteq A} + 𝜀 .

Da $𝜀 > 0$ beliebig gewählt war, folgt die Behauptung. □

4.43 Beispiel. Bekannterweise ist das Lebesguemaß $λ$ auf $ℝ^{N}$ ein von außen reguläres und lokal endliches Borelmaß. Somit ist $λ$ ein Radonmaß.

4.44 Hilfssatz. Sei $Ω$ lokal kompakt und $μ$ ein lokal endliches Borelmaß auf $Ω$ . Dann existiert zu jeder kompakten Teilmenge $K \subseteq Ω$ und zu jedem $𝜀 > 0$ eine kompakte Umgebung $L$ von $K$ mit $μ (L \ K) < 𝜀$ .

Beweis.Übung. Man zeige zunächst, dass $B_{\frac{1}{n}} (K)$ für ausreichend großes $n$ kompakt ist. □

4.45 Satz(von Lusin). Sei $μ$ ein Radon-Maß auf $Ω$ . Sei ferner $u : Ω \to 𝕂$ $μ$ -messbar. Dann gilt:

(a)

Ist

A \subseteq Ω

μ

-messbar mit

μ (A) < \infty

, so existiert zu jedem

𝜀 > 0

eine kompakte Teilmenge

K \subseteq A

mit

μ (A \ K) < 𝜀

und derart, dass

u |_{K}

stetig ist.

(b)

Ist

Ω

lokal kompakt und

μ ({x \in Ω | u (x) \neq 0}) < \infty

, so existiert zu jedem

𝜀 > 0

eine Funktion

u_{𝜀} \in C_{c} (Ω)

mit

μ ({x \in Ω | u (x) \neq u_{𝜀} (x)}) < 𝜀 und \sup_{x \in Ω} | u_{𝜀} (x) | \leq \sup_{x \in Ω} | u (x) | .

Beweis. (a) Ohne Einschränkung sei $u \equiv 0$ in $Ω \ A$ (sonst betrachte $u 1_{A}$ anstelle von $u$ ). 1. Spezialfall: $u$ ist eine Elementarfunktion, d.h. $u = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} 1_{B_{k}}$ mit $μ$ -messbaren disjunkten Teilmengen $B_{k} \subseteq A$ und $a_{k} \in 𝕂 \ {0}$ , $k = 1, \dots, n$ . Sei ferner $B_{0} : = {x \in A | u (x) = 0}$ . Wegen $μ (B_{k}) \leq μ (A) < \infty$ und der inneren Regularität von $μ$ existieren dann kompakte Teilmengen $C_{k} \subseteq B_{k}$ mit $μ (B_{k} \ C_{k}) < \frac{𝜀}{n + 1}$ für $k = 0, \dots, n$ . Dabei gilt $\min_{k \neq j} dist (C_{k}, C_{j}) > 0$ , da es sich um disjunkte kompakte Mengen handelt. Sei nun $K : = ⋃_{k = 0}^{n} C_{k} \subseteq A$ . Dann ist $K$ kompakt. Ferner ist $u$ lokal konstant und somit stetig auf $K$ . Schließlich ist $A \ K$ die disjunkte Vereinigung der Mengen $B_{k} \ C_{k}$ und somit

μ (A \ K) = \sum_{k = 0}^{n} μ (B_{k} \ C_{k}) < 𝜀 .

2. Allgemeiner Fall: Gemäß Satz 4.17 existiert eine Folge von Elementarfunktionen $u_{n}$ mit $| u_{n} | \leq | u |$ für alle $n$ und $u_{n} \to u$ punktweise in $Ω$ für $n \to \infty$ . Nach dem Spezialfall existieren ferner kompakte Teilmengen $K_{n} \subseteq A$ mit $μ (A \ K_{n}) < 𝜀 2^{- n - 1}$ und derart, dass $u_{n} |_{K_{n}}$ stetig ist. Ferner existiert gemäß Satz 4.33 eine $μ$ -messbare Teilmenge $L \subseteq A$ mit $μ (A \ L) < \frac{𝜀}{4}$ und $u_{n} \to u$ gleichmäßig auf $L$ für $n \to \infty$ . Schließlich existiert aufgrund der inneren Regularität von $μ$ eine kompakte Teilmenge $K_{0} \subseteq L$ mit $μ (L \ K_{0}) < \frac{𝜀}{4}$ , also

μ (A \ K_{0}) \leq μ (A \ L) + μ (L \ K_{0}) < \frac{𝜀}{2} .

Sei nun $K : = ⋂_{n = 0}^{\infty} K_{n}$ . Dann ist $K \subseteq A$ kompakt und

μ (A \ K) \leq \sum_{n = 0}^{\infty} μ (A \ K_{n}) < 𝜀 \sum_{n = 0}^{\infty} 2^{- n - 1} = 𝜀 .

In $K$ sind ferner alle Funktionen $u_{n}$ , $n \in ℕ$ stetig; ferner gilt $u_{n} \to u$ gleichmäßig auf $K$ . Es folgt, dass $u |_{K}$ stetig ist.

(b) Anwendung von (a) auf $A : = {x \in Ω | u (x) \neq 0}$ liefert eine kompakte Teilmenge $K \subseteq A$ mit $μ (A \ K) < \frac{𝜀}{2}$ und derart, dass $u |_{K}$ stetig ist. Der Fortsetzungssatz von Tietze (aus der mengentheoretischen Topologie) besagt, dass sich $u |_{K}$ zu einer stetigen Funktion $ũ : Ω \to 𝕂$ fortsetzen lässt mit $∥ ũ ∥_{\infty} \leq \sup_{x \in K} | u (x) |$ . Gemäß Hilfssatz 4.44 existiert ferner eine kompakte Umgebung $L$ von $K$ mit $μ (L \ K) < \frac{𝜀}{2}$ . Sei nun

ξ \in C_{c} (Ω, [0, 1]) deﬁniert durch ξ (x) = \frac{dist (x, Ω \ L)}{dist (x, K) + dist (x, Ω \ L)},

und sei $u_{𝜀} : = ξ ũ \in C_{c} (Ω)$ . Dann ist $ξ \equiv 1$ auf $K$ und $ξ \equiv 0$ auf $Ω \ L$ . Nach Konstruktion ist also

{x \in Ω | u (x) \neq u_{𝜀} (x)} \subseteq (A \cup L) \ K = (A \ K) \cup (L \ K)

und somit

μ ({x \in Ω | u (x) \neq u_{𝜀} (x)}) \leq \frac{𝜀}{2} + \frac{𝜀}{2} = 𝜀 .

Ferner ist

\sup_{x \in Ω} | u_{𝜀} (x) | \leq ∥ ũ ∥_{\infty} \leq \sup_{x \in K} | u (x) | \leq \sup_{x \in Ω} | u (x) |,

wie gewünscht. □

_________________________ Ende des Inhalts für 2022-11-29 __________________________________

4.46 Beispiel. Sei $Ω = [0, 1] \subseteq ℝ$ , versehen mit der Betragsmetrik. Das Lebesguemaß $λ$ auf $Ω$ erfüllt dann die Voraussetzungen des Satzes von Lusin. Wir betrachten die Dirichletfunktion

u : [0, 1] \to ℝ, u (x) = {\begin{matrix} 1, & x \in ℚ, \\ 0, & x \notin ℚ, \end{matrix}

geben uns $𝜀 > 0$ vor und konstruieren eine kompakte Menge $K \subseteq [0, 1]$ mit $λ ([0, 1] \ K) < 𝜀$ so, dass $u |_{K}$ stetig ist: Sei ${q_{n} | n \in ℕ}$ eine Abzählung von $ℚ \cap [0, 1]$ und $U_{n} : = U_{𝜀 2^{- n - 2}} (q_{n})$ für $n \in ℕ$ . Sei ferner

K : = [0, 1] \ ⋃_{n \in ℕ} U_{n} .

Dann ist $K$ kompakt, $u \equiv 0$ auf $K$ (und somit dort stetig) sowie

λ ([0, 1] \ K) \leq \sum_{n \in ℕ} λ (U_{n}) = 𝜀 \sum_{n \in ℕ} 2^{- n - 1} = \frac{𝜀}{2} < 𝜀 .

4.47 Satz. Seien $Ω$ ein lokal kompakter metrischer Raum und $μ$ ein Radon-Maß auf $Ω$ . Sei ferner $1 \leq p < \infty$ . Dann gilt:

(a): $C_{c} (Ω) \subseteq L^{p} (Ω)$ ist dicht.
(b): Ist $Ω$ ferner $σ$ -kompakt, so ist $L^{p} (Ω)$ separabel.

Beweis. (a) Sei $u \in L^{p} (Ω)$ und $𝜀 > 0$ gegeben. Nach Satz 4.32 existiert $v \in E (Ω)$ mit $| v | \leq | u |$ in $Ω$ , $μ ({v \neq 0}) < \infty$ und $∥ u - v ∥_{p} < \frac{𝜀}{2}$ . Ohne Einschränkung sei dabei $v \neq 0$ , d.h. $∥ v ∥_{\infty} > 0$ . Nach dem Satz von Lusin (Satz 4.45 (b)) existiert nun $w \in C_{c} (Ω)$ mit $∥ w ∥_{\infty} \leq ∥ v ∥_{\infty}$ und $μ ({w \neq v}) \leq {(\frac{𝜀}{4 ∥ v ∥_{\infty}})}^{p}$ , also

∥ w - v ∥_{p}^{p} = \int_{Ω} | w - v |^{p} d μ \leq μ ({w \neq v}) 2^{p} ∥ v ∥_{\infty}^{p} \leq {(\frac{𝜀}{2})}^{p} .

Es folgt $∥ v - w ∥_{p} \leq \frac{𝜀}{2}$ und somit $∥ u - w ∥_{p} \leq ∥ u - v ∥_{p} + ∥ v - w ∥_{p} < 𝜀$ .

(b) Gemäß Satz 4.37 (a) existieren kompakte Mengen $M_{j} \subseteq Ω$ , $j \in ℕ$ mit $Ω = ⋃_{j = 1}^{\infty} M_{j}$ und derart, dass jede kompakte Menge $K \subseteq Ω$ in einer der Mengen $M_{j}$ enthalten ist. Wie im Beweis von Satz 4.37 (b) setzen wir

C_{j} : = {f \in C_{c} (Ω) | supp f \subseteq M_{j}} \subseteq C (M_{j}) für j \in ℕ .

Gemäß Korollar 4.13 ist $C (M_{j})$ und somit auch $C_{j}$ separabel bzgl. $∥ \cdot ∥_{\infty}$ . Daher existieren abzählbare und dichte Teilmengen $A_{j} \subseteq C_{j}$ für $j \in ℕ$ . Wir zeigen: Die abzählbare Menge $A : = ⋃_{j \in ℕ} A_{j}$ liegt dicht in $L^{p} (Ω)$ . Sei dazu $u \in L^{p} (Ω)$ und $𝜀 > 0$ beliebig. Gemäß (a) existiert $v \in C_{c} (Ω)$ mit $∥ u - v ∥_{p} < \frac{𝜀}{2}$ ; dabei ist $v \in C_{j}$ für ein $j \in ℕ$ . Somit existiert $w \in A_{j}$ mit $μ {(M_{j})}^{\frac{1}{p}} ∥ v - w ∥_{\infty} \leq \frac{𝜀}{2}$ . Dann ist

∥ w - v ∥_{p}^{p} = \int_{Ω} | w - v |^{p} d μ \leq μ (M_{j}) ∥ v - w ∥_{\infty}^{p} \leq {(\frac{𝜀}{2})}^{p}

und somit $∥ w - v ∥_{p} \leq \frac{𝜀}{2}$ . Es folgt $∥ u - w ∥_{p} \leq ∥ u - v ∥_{p} + ∥ v - w ∥_{p} < 𝜀$ . Also ist $A$ dicht in $L^{p} (Ω)$ , wie behauptet. □

4.48 Bemerkung. Ist $Ω \subseteq ℝ^{N}$ Lebesgue-messbar, so ist $L^{p} (Ω)$ nach Satz 2.18 separabel, da man $L^{p} (Ω)$ als eine Teilmenge des gemäß Satz 4.47 separablen Raums $L^{p} (ℝ^{N})$ auﬀassen kann (vermöge trivialer Fortsetzung).

4.49 Satz. Ist $Ω \subseteq ℝ^{N}$ Lebesgue-messbar mit $λ (Ω) > 0$ , so ist $L^{\infty} (Ω)$ (deﬁniert bzgl. des Lebesgue-Maßes) nicht separabel.

Beweisskizze. Für $r \geq 0$ sei $Ω_{r} : = B_{r} (0) \cap Ω$ . Mit dem Satz von Lebesgue (siehe Satz 4.21) sieht man, dass die monoton wachsende Funktion

g : [0, \infty) \to [0, \infty), g (r) = λ (Ω_{r})

stetig ist. Ferner ist $g (0) = 0$ und $\lim_{r \to \infty} g (r) = λ (Ω)$ nach dem Satz von der monotonen Konvergenz (siehe Satz 4.19). Für $s \in (0, λ (Ω))$ existiert nach dem Zwischenwertsatz also ein $r_{s} \in [0, \infty)$ mit $g (r_{s}) = s$ . Betrachte nun die Menge

M : = {1_{Ω_{r_{s}}} | 0 < s < λ (Ω)} \subseteq L^{\infty} (Ω) .

Für $0 < s < t < λ (Ω)$ ist dann $r_{s} < r_{t}$ , also $Ω_{r_{s}} \subseteq Ω_{r_{t}}$ sowie $λ (Ω_{r_{t}} \ Ω_{r_{s}}) = t - s > 0$ ; somit also $∥ 1_{Ω_{r_{s}}} - 1_{Ω_{r_{t}}} ∥_{\infty} = 1$ . Daher besteht $U_{1 ∕ 3} (M)$ aus überabzählbar vielen paarweise disjunkten oﬀenen Teilmengen von $L^{\infty} (Ω)$ . Es folgt, dass $L^{\infty} (Ω)$ nicht separabel ist. □

4.50 Deﬁnition und Satz. Sei $Ω \subseteq ℝ^{N}$ oﬀen und

C_{c}^{\infty} (Ω) : = {f \in C^{\infty} (Ω, 𝕂) | supp f \subseteq Ω kompakt} .

Dann liegt $C_{c}^{\infty} (Ω)$ dicht in $L^{p} (Ω)$ für $1 \leq p < \infty$ , aber (oﬀensichtlich) nicht dicht in $L^{\infty} (Ω)$ . Hierbei sei das Lebesguemaß auf $Ω$ zugrunde gelegt.

Beweisskizze. Sei $u \in L^{p} (Ω)$ , $𝜀 > 0$ . Nach Satz 4.47 existiert $v \in C_{c} (Ω)$ mit $∥ u - v ∥_{p} < \frac{𝜀}{2}$ . Wir setzen $v$ trivial auf $ℝ^{N}$ fort. Wir betrachten ferner den Glättungskern

ρ \in C_{c}^{\infty} (ℝ^{N}), ρ (x) : = {\begin{matrix} c \exp (\frac{1}{| x |^{2} - 1}), & | x | < 1 \\ 0, & | x | \geq 1, \end{matrix}

wobei $c > 0$ so gewählt sei, dass $\int_{ℝ^{N}} ρ = 1$ gilt. Für $h > 0$ sei ferner

ρ_{h} \in C_{c}^{\infty} (ℝ^{N}), ρ_{h} (x) = \frac{1}{h^{N}} ρ (\frac{x}{h}) .

Dann ist $supp ρ_{h} = B_{h} (0)$ und es gilt ebenfalls $\int_{ℝ^{N}} ρ_{h} = 1$ für $h > 0$ . Nun deﬁnieren wir

v_{h} : ℝ^{N} \to ℝ, v_{h} (x) : = \int_{ℝ^{N}} ρ_{h} (x - y) v (y) d y,

für $0 < h < dist (supp v, \partial Ω)$ . Dann ist $v_{h} \in C_{c}^{\infty} (ℝ^{N})$ mit $supp v_{h} \subseteq B_{h} (supp v) \subseteq Ω$ . Ferner gilt mit

𝜀_{h} : = \sup {| v (x) - v (y) | | x, y \in Ω, | x - y | \leq h}

die Abschätzung

| v_{h} (x) - v (x) | \leq \int_{ℝ^{N}} ρ_{h} (x - y) | v (y) - v (x) | d y \leq 𝜀_{h} \int_{ℝ^{N}} ρ_{h} (x - y) d y = 𝜀_{h} für x \in Ω .

Da $v$ gleichmäßig stetig ist, gilt $\lim_{h \to 0} 𝜀_{h} = 0$ . Es folgt $v_{h} \to v$ bzgl. $∥ \cdot ∥_{\infty}$ in $Ω$ und somit auch $∥ v_{h} - v ∥_{L^{p} (Ω)} \to 0$ für $h \to 0$ , da $supp v_{h}$ für $h \leq 1$ in der kompakten Menge $B_{1} (supp v)$ enthalten ist (vgl. Bemerkung und Beispiel 4.26 (b)). Die Einschränkung $w_{h} : = v_{h} |_{Ω} \in C_{c}^{\infty} (Ω)$ erfüllt also $∥ w_{h} - u ∥_{p} \leq ∥ w_{h} - v ∥_{p} + ∥ v - u ∥_{p} < \frac{𝜀}{2} + \frac{𝜀}{2} = 𝜀$ für $0 < h < dist (supp v, \partial Ω)$ genügend klein gewählt. □

_________________________ Ende des Inhalts für 2022-12-02 __________________________________

5 Hilberträume

5.1 Orthogonalität

Stets sei $H$ ein Hilbertraum über $𝕂$ mit Skalarprodukt $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ und induzierter Norm $∥ \cdot ∥$ .

5.1 Satz und Deﬁnition. Sei $C \subseteq H$ konvex, abgeschlossen und nichtleer. Dann existiert zu jedem $x \in H$ genau ein $y \in C$ mit $∥ x - y ∥ = dist (x, C)$ . Wir setzen $y = P (x)$ und nennen $P : H \to H$ die(abstandsminimierende) Projektion auf $C$ .

Beweis.Zur Existenz: Sei $x \in H$ und $α : = dist (x, C)$ . Sei ferner ${(y_{n})}_{n} \subseteq C$ eine Folge mit

∥ x - y_{n} ∥ \to α für n \to \infty .

(5.1)

Für $n, m \in ℕ$ gilt $\frac{y_{n} + y_{m}}{2} \in C$ aufgrund der Konvexität von $C$ , also

\begin{matrix} 4 α^{2} \leq 4 {‖ x - \frac{y_{n} + y_{m}}{2} ‖}^{2} = ∥ x - y_{m} + x - y_{n} ∥^{2} \\ = 2 (∥ x - y_{m} ∥^{2} + ∥ x - y_{n} ∥^{2}) - ∥ \underset{y_{n} - y_{m}}{\underset{︸}{x - y_{m} - (x - y_{n})}} ∥^{2} \end{matrix}

und somit wegen (5.1)

\sup_{m \geq n} ∥ y_{m} - y_{n} ∥^{2} \leq 2 \sup_{m \geq n} (∥ x - y_{m} ∥^{2} + ∥ x - y_{n} ∥^{2}) - 4 α^{2} \to 0 für n \to \infty .

Es folgt, dass ${(y_{n})}_{n} \subseteq C$ eine Cauchyfolge ist. Ferner ist $C$ als abgeschlossene Teilmenge des Hilbertraums $H$ nach Satz 2.32 vollständig, also existiert $y : = \lim_{n} y_{n} \in C$ . Ferner gilt $∥ x - y ∥ = \lim_{n \to \infty} ∥ x - y_{n} ∥ = α$ .

Zur Eindeutigkeit: Sei $y^{'} \in C$ mit $∥ x - y^{'} ∥ = α = ∥ x - y ∥$ . Dann erfüllt die Folge $(y, y^{'}, y, y^{'}, \dots)$ Bedingung (5.1) und ist daher nach obigem Argument eine Cauchyfolge. Dies liefert $y = y^{'}$ . □

5.2 Satz. Sind $C \subseteq H$ und $P : H \to H$ wie in Satz und Deﬁnition 5.1 und $Q : = i d - P : H \to H$ , so gilt:

(a): $P |_{C} = i d C$ .
(b): Für alle $x \in H$ , $y \in C$ ist $Re ⟨ Q (x), P (x) - y ⟩ \geq 0$ .
(c): $∥ P (x_{1}) - P (x_{2}) ∥ \leq ∥ x_{1} - x_{2} ∥$ für alle $x_{1}, x_{2} \in H$ , insbesondere ist $P$ Lipschitz-stetig.

Beweis. (a) ist klar nach Deﬁnition.

(b) Für $𝜀 \in (0, 1)$ ist $z_{𝜀} : = P (x) + 𝜀 (y - P (x)) \in C$ (da $C$ konvex), also

\begin{matrix} 0 \leq ∥ x - z_{𝜀} ∥^{2} - dist {(x, C)}^{2} = ∥ Q (x) + 𝜀 (P (x) - y) ∥^{2} - ∥ Q (x) ∥^{2} \\ = 2 𝜀 Re ⟨ Q (x), P (x) - y ⟩ + 𝜀^{2} ∥ P (x) - y ∥^{2} = : t (𝜀) \end{matrix}

und somit

0 \leq \lim_{𝜀 \to 0^{+}} \frac{t (𝜀)}{2 𝜀} = Re ⟨ Q (x), P (x) - y ⟩ .

\begin{matrix} ∥ x_{1} - x_{2} ∥^{2} \\ \begin{aligned} = ∥ Q (x_{1}) - Q (x_{2}) + P (x_{1}) - P (x_{2}) ∥^{2} \\ = ∥ Q (x_{1}) - Q (x_{2}) ∥^{2} + ∥ P (x_{1}) - P (x_{2}) ∥^{2} + 2 Re ⟨ Q (x_{1}) - Q (x_{2}), P (x_{1}) - P (x_{2}) ⟩ \\ \geq ∥ P (x_{1}) - P (x_{2}) ∥^{2} + 2 Re ⟨ Q (x_{1}), P (x_{1}) - P (x_{2}) ⟩ + 2 Re ⟨ Q (x_{2}), P (x_{2}) - P (x_{1}) ⟩ \\ \geq ∥ P (x_{1}) - P (x_{2}) ∥^{2} . \end{aligned} \end{matrix}

□

5.3 Bemerkung. Satz und Deﬁnition 5.1 und Satz 5.2 gelten auch, wenn $(H, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ ein Prähilbertraum und $C \subseteq H$ nichtleer, konvex und vollständig ist, insbesondere also dann, wenn die abgeschlossene, nichtleere und konvexe Teilmenge $C$ in einem endlichdimensionalen Teilraum des Prähilbertraums $H$ enthalten ist.

5.4 Beispiel. Sei $Ω \subseteq ℝ^{N}$ Lebesgue-messbar, $H = L^{2} (Ω, ℝ)$ sowie $C : = {u \in L^{2} (Ω) | u \geq 0 f.ü. auf Ω}$ . Man sieht leicht, dass $C$ eine nichtleere, abgeschlossene und konvexe Teilmenge von $H$ ist. Wir zeigen nun, dass die Projektion $P$ von $H$ auf $C$ gegeben ist durch $P (u) = u^{+} = \max {0, u}$ für $u \in H$ . Tatsächlich ist $u^{+} \in C$ für alle $u \in H$ , und für $v \in C$ gilt

\begin{matrix} ∥ v - u ∥_{2}^{2} = \int_{Ω} {(v - u)}^{2} \geq \int_{{u < 0}} {(v - u)}^{2} \\ \geq \int_{{u < 0}} u^{2} = \int_{Ω} {(u^{+} - u)}^{2} = ∥ u^{+} - u ∥_{2}^{2} . \end{matrix}

Also ist $u^{+}$ das zu $u$ abstandsminimierende Element in $C$ , d.h. $P (u) = u^{+}$ gemäß Satz und Deﬁnition 5.1.

5.5 Deﬁnition und Satz. Für $M \subseteq H$ sei $M^{⊥} : = {x \in H | ⟨ x, y ⟩ = 0 für alle y \in M}$ . Dann gilt:

(a): $M^{⊥}$ ist ein abgeschlossener Unterraum von $H$
(b): $M^{⊥} = {(\bar{span M})}^{⊥}$

Beweis. (a) folgt direkt aus der Linearität und Stetigkeit des Skalarprodukts in der ersten Komponente.

Zu (b): Oﬀensichtlich gilt für Teilmengen $A \subseteq B \subseteq H$ die Inklusionsumkehrung $B^{⊥} \subseteq A^{⊥}$ . Wegen $M \subseteq \bar{span M}$ folgt also ${(\bar{span M})}^{⊥} \subseteq M^{⊥}$ . Sei umgekehrt $x \in M^{⊥}$ , und sei zunächst $y = α_{1} y_{1} + \dots + α_{n} y_{n} \in span M$ mit $y_{i} \in M$ , $α_{i} \in K$ gegeben. Dann ist

⟨ x, y ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} {\bar{α}}_{i} ⟨ x, y_{i} ⟩ = 0 .

Ist schließlich $y \in \bar{span M}$ und ${(y^{n})}_{n}$ eine Folge in $span M$ mit $\lim_{n \to \infty} y^{n} = y$ , so folgt $⟨ x, y ⟩ = \lim_{n \to \infty} ⟨ x, y^{n} ⟩ = 0$ . Somit ist $x \in {(\bar{span M})}^{⊥}$ , und insgesamt folgt $M^{⊥} = {(\bar{span M})}^{⊥}$ . □

5.6 Satz und Deﬁnition. Sind $V, W \subseteq H$ Unterräume mit $H = V + W$ und $⟨ v, w ⟩ = 0$ für alle $v \in V$ , $w \in W$ , so gilt:

(a): $∥ v + w ∥^{2} = ∥ v ∥^{2} + ∥ w ∥^{2}$ für alle $v \in V$ , $w \in W$ („Satz des Pythagoras“).
(b): $W = V^{⊥}$ und $V = W^{⊥}$ . Insbesondere sind $V, W$ abgeschlossen in $H$ nach Deﬁnition und Satz 5.5 (a).
(c): $H = V \oplus_{t o p} W$ .

Wir schreiben dann $H = V \oplus_{⊥} W$ , nennen diese Zerlegungorthogonal und die Räume $V$ und $W$ orthogonale Komplementärräume.

Beweis. (a) Für alle $v \in V, w \in W$ ist

∥ v + w ∥^{2} = ∥ v ∥^{2} + ∥ w ∥^{2} + 2 Re \underset{= 0}{\underset{︸}{⟨ v, w ⟩}} = ∥ v ∥^{2} + ∥ w ∥^{2} .

(b) Nach Voraussetzung ist $W \subseteq V^{⊥}$ und $V \subseteq W^{⊥}$ . Sei nun $w \in V^{⊥}$ . Da $H = V + W$ ist, existieren $v \in V$ und $\tilde{w} \in W$ mit $w = v + \tilde{w}$ , also

∥ v ∥^{2} = ⟨ v, v ⟩ = ⟨ \underset{\in V^{⊥}}{\underset{︸}{w - \tilde{w}}}, v ⟩ = 0 .

Es folgt $w = \tilde{w} \in W$ . Dies zeigt $W = V^{⊥}$ . Genauso folgt $V = W^{⊥}$ .

(c) Es gilt $V \cap W = {0}$ , da $∥ x ∥^{2} = ⟨ x, x ⟩ = 0$ für alle $x \in V \cap W$ . Also gilt: $H = V \oplus W$ . Da $V, W$ gemäß (b) in $H$ abgeschlossen sind, folgt $H = V \oplus_{t o p} W$ nach Satz 3.24 (b). □

5.7 Satz und Deﬁnition. Sei $V$ ein abgeschlossener Unterraum von $H$ . Dann gilt $H = V \oplus_{⊥} V^{⊥}$ , und die (abstandsminimierende) Projektion $P$ auf $V$ aus Satz und Deﬁnition 5.1 erfüllt:

(a): $P \in L (H)$ , $P^{2} = P$ und Bild $P = V$ , Kern $P = V^{⊥}$
(b): $∥ P ∥ = 1$ falls $V \neq {0}$

Man nennt $P$ dieorthogonale Projektion auf $V$ .

Beweis.Wir zeigen zunächst: Für $x \in H$ ist

Q (x) : = x - P (x) \in V^{⊥} .

(5.2)

Nach Satz 5.2 (b) gilt für alle $y \in V$ , $α \in 𝕂$ :

0 \leq Re ⟨ Q (x), P (x) - (\underset{\in V}{\underset{︸}{- \bar{α} y + P (x))}} ⟩ = Re ⟨ Q (x), \bar{α} y ⟩ = Re (α ⟨ Q (x), y ⟩) .

Durch Wahl von $α = 1$ und $α = - 1$ folgt $Re ⟨ Q (x), y ⟩ = 0$ für alle $y \in V$ . Ist $𝕂 = ℂ$ , so folgt durch Wahl von $α = \pm i$ auch

0 \leq Re (\pm i ⟨ Q (x), y ⟩) = \mp Im ⟨ Q (x), y ⟩, also Im ⟨ Q (x), y ⟩ = 0 für alle y \in V .

Insgesamt folgt $⟨ Q (x), y ⟩ = 0$ für alle $y \in V$ , und somit ist $Q (x) \in V^{⊥}$ , wie behauptet. Aus (5.2) folgt nun $x = P (x) + Q (x) \in V + V^{⊥}$ für alle $x \in H$ , also $H = V + V^{⊥}$ . Nach Satz und Deﬁnition 5.6 ist also $H = V \oplus_{⊥} V^{⊥}$ . Sei nun $\tilde{P} \in L (H)$ die Projektion auf $V$ längs $V^{⊥}$ im Sinne von Deﬁnition 3.22. Dann gilt für alle $x \in H$ :

\begin{matrix} dist {(x, V)}^{2} = ∥ x - P (x) ∥^{2} = ∥ \underset{\in V^{⊥}}{\underset{︸}{x - \tilde{P} (x)}} + \underset{\in V}{\underset{︸}{\tilde{P} (x) - P (x)}} ∥^{2} \\ \overset{Satz und Deﬁnition 5.6 (a)}{=} ∥ x - \tilde{P} (x) ∥^{2} + ∥ \tilde{P} (x) - P (x) ∥^{2} \geq ∥ x - \tilde{P} (x) ∥^{2} \geq dist {(x, V)}^{2} . \end{matrix}

Dies erzwingt $∥ \tilde{P} (x) - P (x) ∥^{2} = 0$ , also $\tilde{P} (x) = P (x)$ für alle $x \in H$ . Insbesondere ist $P \in L (H)$ , $P^{2} = P$ sowie $Bild P = V$ und $Kern P = V^{⊥}$ . Weiterhin ist $∥ P x ∥ \leq ∥ x ∥$ für $x \in H$ nach Satz 5.2 (c) und $∥ P x ∥ = ∥ x ∥$ für $x \in V$ . Dies liefert $∥ P ∥ = 1$ , falls $V \neq {0}$ . □

5.8 Korollar. Für $M \subseteq H$ gelten:

(a): $M^{⊥ ⊥} = \bar{span M}$ .
(b): $M$ total in $H$ $\Leftrightarrow M^{⊥} = {0}$ .

Beweis. (a) Setze $V = \bar{span M}$ . Dann ist $H = V \oplus_{⊥} V^{⊥}$ nach Satz und Deﬁnition 5.7, also $V = V^{⊥ ⊥} = M^{⊥ ⊥}$ wegen Deﬁnition und Satz 5.5 (b).

(b) Ist $M$ total, so ist $M^{⊥} = {\bar{span M}}^{⊥} = H^{⊥} = {0}$ wegen Deﬁnition und Satz 5.5 (b). Ist umgekehrt $M^{⊥} = {0}$ , so ist $H = {0}^{⊥} = M^{⊥ ⊥} \overset{(a)}{=} \bar{span M}$ . Also ist $M$ total. □

5.9 Deﬁnition und Bemerkung. Für $x \in H$ sei

φ_{x} \in H^{'} = L (H, 𝕂) deﬁniert durch φ_{x} (y) : = ⟨ y, x ⟩ für y \in H .

Die Linearität von $φ_{x}$ ist oﬀensichtlich. Da ferner

| φ_{x} (y) | = | ⟨ y, x ⟩ | \leq ∥ y ∥ ∥ x ∥ für alle y \in H und | φ_{x} (x) | = ∥ x ∥^{2},

ist $φ_{x}$ in der Tat auch stetig mit

∥ φ_{x} ∥ = ∥ x ∥ .

(5.3)

Es folgt, dass die Abbildung $J : H \to H^{'}$ , $x \mapsto J (x) : = φ_{x}$ eine Isometrie ist und damit insbesondere injektiv. Man beachte ferner: $J$ ist antilinear, d.h. es gilt

J (x_{1} + x_{2}) = J (x_{1}) + J (x_{2}) und J (λ x) = \bar{λ} J (x) für alle x, x_{1}, x_{2} \in H, λ \in 𝕂 .

5.10 Satz(Rieszscher Darstellungssatz).

(a)

Für alle

φ \in H^{'}

existiert

x \in H

mit

φ = φ_{x}

. Die Abbildung

J : H \to H^{'}

aus Deﬁnition und Bemerkung 5.9 ist also bijektiv.

(b)

Die Operatornorm auf

H^{'}

wird induziert von einem Skalarprodukt

{⟨ \cdot, \cdot ⟩}_{*}

, gegeben durch

{⟨ φ, ψ ⟩}_{*} : = ⟨ J^{- 1} (ψ), J^{- 1} (φ) ⟩ für alle φ, ψ \in H^{'} .

Insbesondere ist $(H^{'}, {⟨ \cdot, \cdot ⟩}_{*})$ ein Hilbertraum.

Beweis. (a) Sei $φ \in H^{'} \ {0}$ . Dann ist $V : = Kern φ$ ein abgeschlossener Unterraum von $H$ . Nach Satz und Deﬁnition 5.7 ist also $H = V \oplus_{⊥} V^{⊥}$ , und $φ |_{V^{⊥}} : V^{⊥} \to 𝕂$ ist linear, injektiv, hat $Bild (φ |_{V^{⊥}}) = Bild φ \neq {0}$ . Daher gilt $\dim Bild (φ |_{V^{⊥}}) = 1$ , $φ |_{V^{⊥}}$ ist bijektiv und daher $\dim V^{⊥} = 1$ . Es existiert also $x_{0} \in V^{⊥} \ {0}$ mit $V^{⊥} = span {x_{0}}$ . Setze $x : = \frac{\bar{φ (x_{0})}}{∥ x_{0} ∥^{2}} x_{0}$ . Dann gilt für alle $y = v + λ x \in H$ mit $v \in V$ :

\begin{matrix} φ_{x} (y) = ⟨ y, x ⟩ = ⟨ v, x ⟩ + λ ∥ x ∥^{2} = λ ∥ x ∥^{2} \\ und φ (y) = λ φ (x) = λ \frac{| φ (x_{0}) |^{2}}{∥ x_{0} ∥^{2}} = λ ∥ x ∥^{2} . \end{matrix}

Es folgt $φ = φ_{x}$ .

(b) Die Skalarprodukt-Eigenschaften von ${⟨ \cdot, \cdot ⟩}_{*}$ folgen direkt aus denen von $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ . Ferner gilt für $φ \in H^{'}$ mit $x = J^{- 1} (φ)$ :

{⟨ φ, φ ⟩}_{*} \overset{Def.}{=} ⟨ x, x ⟩ = ∥ x ∥^{2} \overset{(5.3)}{=} ∥ φ ∥^{2} .

Somit induziert ${⟨ \cdot, \cdot ⟩}_{*}$ also die Operatornorm auf $H^{'}$ . □

_________________________ Ende des Inhalts für 2022-12-06 __________________________________

5.2 Anwendung auf ein Neumann-Randwertproblem

Wir betrachten stets $𝕂 = ℝ$ und $Ω = (- 1, 1) \subseteq ℝ$ . Gegeben seien Funktionen $a \in L^{\infty} (Ω)$ , $f \in L^{2} (Ω)$ , wobei ${essinf}_{Ω} a > 0$ sei. Wir suchen eine Lösung des Neumann-Randwertproblems

{\begin{aligned} - u^{″} + a (x) u & = f (x), x \in Ω, \\ u^{'} (1) = u^{'} (- 1) & = 0 . \end{aligned}

(NP)

Dazu benötigen wir einige Vorbereitungen.

5.11 Deﬁnition.

(a)

Sei

u \in L^{2} (Ω)

. Wir nennen

v \in L^{2} (Ω)

eine schwache Ableitung von

u

, wenn gilt:

\int_{Ω} v w = - \int_{Ω} u w^{'} für alle w \in C_{c}^{1} (Ω) .

(5.4)

Dadurch ist $v$ eindeutig bestimmt, denn gilt (5.4) auch für $ṽ \in L^{2} (Ω)$ , so ist

{⟨ v - ṽ, w ⟩}_{L^{2} (Ω)} = \int_{Ω} (v - ṽ) w = - \int_{Ω} (u - u) w^{'} = 0 für alle w \in C_{c}^{1} (Ω) .

Da $C_{c}^{1} (Ω)$ in $L^{2} (Ω)$ dicht liegt, folgt $v - ṽ \in C_{c}^{1} {(Ω)}^{⊥} = {0}$ . Wir schreiben $u^{'}$ anstelle von $v$ .

(b)

Wir setzen

H^{1} (Ω) : = {u \in L^{2} (Ω) | u besitzt eine schwache Ableitung u^{'} \in L^{2} (Ω)}

und versehen $H^{1} (Ω)$ mit dem Skalarprodukt

{⟨ u_{1}, u_{2} ⟩}_{H^{1}} : = {⟨ u_{1}, u_{2} ⟩}_{L^{2} (Ω)} + {⟨ u_{1}^{'}, u_{2}^{'} ⟩}_{L^{2} (Ω)} .

Die induzierte Norm sei mit $∥ \cdot ∥_{H^{1}}$ bezeichnet. $H^{1}$ gehört zu der Klasse der sogenannten Sobolevräume.

5.12 Bemerkung und Beispiel.

(a)

Ist

u \in C^{1} (Ω) \cap L^{2} (Ω)

mit klassischer Ableitung

u^{'} \in L^{2} (Ω)

, so ist

u^{'}

auch die schwache Ableitung von

u

. Dies folgt aus der gewöhnlichen Regel zur partiellen Integration. Dies gilt insbesondere dann, wenn

u \in C^{1} (\bar{Ω})

ist.

(b)

Sei

u \in L^{2} (Ω)

deﬁniert durch

u (x) = | x |^{α}

für ein

α > \frac{1}{2}

. Dann ist

u \in H^{1} (Ω)

mit schwacher Ableitung

v = u^{'} \in L^{2} (Ω), v (x) = α | x |^{α - 2} x für x \neq 0 .

In der Tat ist $v \in L^{2} (Ω)$ , denn wegen $2 (α - 1) > - 1$ ist

\int_{Ω} | v |^{2} = α^{2} \int_{Ω} | x |^{2 (α - 1)} d x < \infty .

Ferner ist $v (x) = u^{'} (x)$ im klassischen Sinne für $x \neq 0$ , und es folgt für $w \in C_{c}^{1} (Ω)$ mit dem Satz von Lebesgue (Satz 4.21) wegen $v w, u w^{'} \in L^{1} (Ω)$ :

\begin{array}{l} \int_{Ω} v w & = \lim_{𝜀 \to 0^{+}} (\int_{- 1}^{- 𝜀} u^{'} w + \int_{𝜀}^{1} u^{'} w) \\ = \lim_{𝜀 \to 0^{+}} ((u w) (- 𝜀) - \int_{- 1}^{- 𝜀} u w^{'} - (u w) (𝜀) - \int_{𝜀}^{1} u w^{'}) \\ = - \lim_{𝜀 \to 0^{+}} (\int_{- 1}^{- 𝜀} u w^{'} + \int_{𝜀}^{1} u w^{'}) = - \int_{Ω} u w^{'} . \end{array}

Dies zeigt $u^{'} = v$ im schwachen Sinne. Wir werden weiter unten in Satz 5.14 sehen, dass die oben deﬁnierte Funktion im Fall $α < \frac{1}{2}$ nicht mehr in $H^{1} (Ω)$ liegt.

5.13 Satz. $H^{1} (Ω)$ ist ein Hilbertraum.

Beweis.Die Skalarprodukteigenschaften sind klar. Sei ${(u_{k})}_{k}$ eine Cauchyfolge in $H^{1} (Ω)$ . Nach Deﬁnition des Skalarprodukts ist ${(u_{k})}_{k}$ dann eine Cauchyfolge in $L^{2} (Ω)$ und ${(u_{k}^{'})}_{k}$ ist eine Cauchyfolge in $L^{2} (Ω)$ . Somit gilt

u_{k} \to u \in L^{2} (Ω) und u_{k}^{'} \to v \in L^{2} (Ω) für k \to \infty .

Ferner gilt für alle $w \in C_{c}^{1} (Ω)$ :

\int_{Ω} v w = \lim_{k \to \infty} \int_{Ω} u_{k}^{'} w = - \lim_{k \to \infty} \int_{Ω} u_{k} w^{'} = - \int_{Ω} u w^{'} .

Somit ist also $u \in H^{1} (Ω)$ mit $u^{'} = v$ , und

∥ u_{k} - u ∥_{H^{1}}^{2} = ∥ u_{k} - u ∥_{2}^{2} + ∥ u_{k}^{'} - v ∥_{2}^{2} \to 0 für n \to \infty .

Dies zeigt die Vollständigkeit von $H^{1} (Ω)$ . □

5.14 Satz. Sei $u \in H^{1} (Ω)$ . Dann gilt:

(a)

Ist

u^{'} \equiv 0

, so besitzt

u

einen konstanten Repräsentanten.

(b)

Die Funktion

u

lässt sich (nach Wahl eines geeigneten Repräsentanten) zu einer stetigen Funktion auf

\bar{Ω}

fortsetzen, welche

u (y) - u (x) = \int_{x}^{y} u^{'} für alle x, y \in \bar{Ω}

(5.5)

erfüllt.

(c)

Es gilt

| u (x) - u (y) | \leq ∥ u^{'} ∥_{2} | x - y |^{\frac{1}{2}}

für

x, y \in \bar{Ω}

und

∥ u ∥_{\infty} \leq \sqrt{2} ∥ u ∥_{H^{1}}

Beweis.Zu (a): Sei $ψ \in C_{c} (Ω)$ mit $\int_{Ω} ψ = 1$ fest gewählt. Sei ferner $w \in C_{c} (Ω)$ beliebig, und sei

f_{w} : = w - (\int_{Ω} w) ψ \in C_{c} (Ω) .

Diese Funktion besitzt eine Stammfunktion gegeben durch

F_{w} \in C_{c}^{1} (Ω), F_{w} (x) = \int_{- 1}^{x} f_{w},

und somit gilt (nach Voraussetzung und Deﬁnition der schwachen Ableitung)

\begin{matrix} 0 = - \int_{Ω} u^{'} F_{w} = \int_{Ω} u f_{w} = \int_{Ω} u w - (\int_{Ω} w) (\int_{Ω} u ψ) \\ = \int_{Ω} (u - c_{u}) w mit c_{u} : = \int_{Ω} u ψ . \end{matrix}

Da $w \in C_{c} (Ω)$ beliebig gewählt war, folgt $u - c_{u} \in {(C_{c} (Ω))}^{⊥}$ bzgl. des $L^{2}$ -Skalarprodukts, also $u - c_{u} = 0$ in $L^{2} (Ω)$ aufgrund der Dichtheit von $C_{c} (Ω)$ in $L^{2} (Ω)$ . Somit gilt $u \equiv c_{u}$ f.ü. in $Ω$ .

(b): Sei $u \in H^{1} (Ω)$ , und sei $v : Ω \to ℝ$ deﬁniert durch $v (x) = \int_{0}^{x} u^{'}$ . Für $x, y \in Ω$ gilt dann

| v (x) - v (y) | = | \int_{y}^{x} u^{'} | \leq | x - y |^{\frac{1}{2}} {(\int_{\min {x, y}}^{\max {x, y}} {(u^{'})}^{2})}^{\frac{1}{2}} \leq | x - y |^{\frac{1}{2}} ∥ u^{'} ∥_{2} .

(5.6)

Insbesondere ist $v$ gleichmäßig stetig und lässt sich somit zu einer stetigen Funktion auf $\bar{Ω}$ fortsetzen, welche dann (5.6) sogar für $x, y \in \bar{Ω}$ erfüllt. Insbesondere ist $v \in L^{2} (Ω)$ . Wir zeigen nun, dass $v$ die schwache Ableitung $u^{'}$ besitzt. Sei dazu $φ \in C_{c}^{1} (Ω)$ . Dann gilt mit dem Satz von Fubini

\begin{array}{l} \int_{Ω} φ^{'} v & = \int_{- 1}^{1} φ^{'} (x) \int_{0}^{x} u^{'} (t) d t d x \\ = - \int_{- 1}^{0} φ^{'} (x) \int_{x}^{0} u^{'} (t) d t d x + \int_{0}^{1} φ^{'} (x) \int_{0}^{x} u^{'} (t) d t d x \\ = - \int_{- 1}^{0} u^{'} (t) \int_{- 1}^{t} φ^{'} (x) d x d t + \int_{0}^{1} u^{'} (t) \int_{t}^{1} φ^{'} (x) d x d t \\ = - \int_{- 1}^{0} u^{'} φ - \int_{0}^{1} u^{'} φ = - \int_{- 1}^{1} u^{'} φ . \end{array}

Dies zeigt $v^{'} = u^{'}$ im schwachen Sinne. Somit ist die Funktion $u - v$ gemäß (a) nach Übergang zu einem geeigneten Repräsentanten konstant, und dies liefert die Behauptung; insbesondere ist

u (y) - u (x) = v (y) - v (x) = \int_{x}^{y} u^{'} für alle x, y \in \bar{Ω} .

Zu (c): Sei $u$ der stetige Repräsentant nach (b), also $u \in C (\bar{Ω})$ . Die erste Ungleichung folgt direkt aus (5.6). Ist zudem $y \in \bar{Ω}$ mit $| u (y) | = \min_{\bar{Ω}} | u |$ gewählt, so folgt mit (b):

| u (x) | \leq | u (x) - u (y) | + | u (y) | \leq | x - y |^{\frac{1}{2}} ∥ u^{'} ∥_{2} + | u (y) | \leq \sqrt{2} ∥ u^{'} ∥_{2} + \min_{\bar{Ω}} | u |,

wobei

{(\min_{\bar{Ω}} | u |)}^{2} \leq \frac{1}{2} \int_{Ω} | u |^{2} = \frac{∥ u ∥_{2}^{2}}{2}

gilt. Es folgt $∥ u ∥_{\infty} \leq \sqrt{2} ∥ u^{'} ∥_{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} ∥ u ∥_{2} \leq \sqrt{2} ∥ u ∥_{H^{1}}$ , wie behauptet. □

5.15 Bemerkung.

(a)

Aus Satz 5.14 (c) folgt, dass

H^{1} (Ω)

stetig in

C (\bar{Ω})

eingebettet ist. Wegen der Faktorisierung

H^{1} (Ω) ↪ C^{\frac{1}{2}} (\bar{Ω}) ↪ C (\bar{Ω})

mit stetigen Einbettungen, wobei hier $C^{\frac{1}{2}} (\bar{Ω})$ den Raum der $\frac{1}{2}$ -Hölder-stetigen Funktionen auf $\bar{Ω}$ bezeichne, gilt sogar, dass jede beschränkte Folge in $H^{1} (Ω)$ eine in $C (\bar{Ω})$ konvergente Teilfolge besitzt (Übung).

(b)

Besitzt

u \in H^{1} (Ω)

eine schwache Ableitung

u^{'} \in C (\bar{Ω})

, so ist

u \in C^{1} (\bar{Ω})

(nach Wahl eines geeigneten Repräsentanten). Dies folgt unmittelbar aus (5.5) und dem klassischen Hauptsatz der Integral- und Diﬀerentialrechnung.

5.16 Deﬁnition und Satz. Seien Funktionen $a \in L^{\infty} (Ω)$ , $f \in L^{2} (Ω)$ gegeben.

(a)

Wir nennen

u \in H^{1} (Ω)

eine schwache Lösung des Randwertproblems (NP), wenn

{⟨ u, w ⟩}_{*} = \int_{Ω} f w für alle w \in H^{1} (Ω)

gilt, wobei

{⟨ u, w ⟩}_{*} : = \int_{Ω} (u^{'} w^{'} + a u w)

sei.

(b)

Ist

a_{0} : = {essinf}_{Ω} a > 0

, so ist durch

(u, w) \mapsto {⟨ u, w ⟩}_{*}

ein Skalarprodukt deﬁniert mit der Eigenschaft, dass die induzierte Norm $∥ \cdot ∥_{*}$ äquivalent zur Norm $∥ \cdot ∥_{H^{1}}$ ist. Insbesondere ist $(H^{1} (Ω), {⟨ \cdot, \cdot ⟩}_{*})$ ebenfalls ein Hilbertraum.

Beweis von (b). Oﬀensichtlich ist ${⟨ \cdot, \cdot ⟩}_{*}$ eine symmetrische Bilinearform auf $H^{1} (Ω)$ , und für $u \in H^{1} (Ω)$ gilt

a_{0} ∥ u ∥_{2}^{2} \leq \int_{Ω} a u^{2} \leq ∥ a ∥_{\infty} ∥ u ∥_{2}^{2},

also

\min {a_{0}, 1} ∥ u ∥_{H^{1}}^{2} \leq {⟨ u, u ⟩}_{*} \leq \max {∥ a ∥_{\infty}, 1} ∥ u ∥_{H^{1}}^{2} .

Somit ist ${⟨ \cdot, \cdot ⟩}_{*}$ ein Skalarprodukt derart, dass die induzierte Norm $∥ \cdot ∥_{*}$ äquivalent zur Norm $∥ \cdot ∥_{H^{1}}$ ist. □

5.17 Satz. Sind $a \in L^{\infty} (Ω)$ , $f \in L^{2} (Ω)$ mit $a_{0} : = {essinf}_{Ω} a > 0$ gegeben, so besitzt das Randwertproblem (NP) genau eine schwache Lösung.

Beweis.Sei $H : = H^{1} (Ω)$ , versehen mit dem Skalarprodukt ${⟨ \cdot, \cdot ⟩}_{*}$ , und sei $φ \in H^{'}$ deﬁniert durch $φ (w) : = \int_{Ω} f w$ . Die Stetigkeit von $φ$ folgt aus der Abschätzung

| φ (w) | = | {⟨ f, w ⟩}_{L^{2} (Ω)} | \leq ∥ f ∥_{2} ∥ w ∥_{2} \leq ∥ f ∥_{2} {(\frac{1}{a_{0}} \int_{Ω} a w^{2})}^{\frac{1}{2}} \leq \frac{1}{\sqrt{a_{0}}} ∥ f ∥_{2} ∥ w ∥_{*} .

Nach dem Rieszschen Darstellungssatz (Satz 5.10) existiert nun genau ein $u \in H^{1} (Ω)$ mit

{⟨ u, w ⟩}_{*} = φ (w) = \int_{Ω} f w für alle w \in H^{1} (Ω) .

Also ist $u \in H^{1} (Ω)$ die gesuchte eindeutige schwache Lösung von (NP). □

5.18 Bemerkung. Seien Funktionen $a \in L^{\infty} (Ω)$ , $f \in L^{2} (Ω)$ gegeben.

(a)

Ist

u

eine schwache Lösung von (NP), so folgt

\int_{Ω} u^{'} w^{'} = - \int_{Ω} (a u - f) w für alle w \in C^{1} (\bar{Ω}) \subseteq H^{1} (Ω),

(5.7)

also insbesondere für $w \in C_{c}^{1} (Ω)$ . Somit ist

u^{'} \in H^{1} (Ω) mit schwacher Ableitung u^{″} = a u - f .

Insbesondere folgt mit Bemerkung 5.15 (a) (nach Wahl eines geeigneten Repräsentanten) $u^{'} \in C (\bar{Ω})$ , und mit Bemerkung 5.15 (b) folgt $u \in C^{1} (\bar{Ω})$ .

(b)

Sind sogar

a, f \in C (\bar{Ω})

, so folgt

u^{″} = a u - f \in C (\bar{Ω})

für die schwache Ableitung von

u^{'}

, d.h.

u^{'} \in C^{1} (\bar{Ω})

gemäß Bemerkung 5.15 (b). In diesem Fall ist also

u \in C^{2} (\bar{Ω})

, und die Diﬀerentialgleichung

u^{″} = a u - f

ist im klassischen Sinne in

Ω

erfüllt. Aus (5.7) folgt dann durch partielle Integration für alle

w \in C^{1} (\bar{Ω})

die Gleichung

u^{'} (1) w (1) - u^{'} (- 1) w (- 1) = \int_{Ω} {(u^{'} w)}^{'} = \int_{Ω} (u^{'} w^{'} + u^{″} w) \overset{(5.7)}{=} 0,

und dies liefert die Neumann-Randbedingungen

u^{'} (1) = u^{'} (- 1) = 0 .

(NR)

(c)

Die Bedingungen (NR) sind auch ohne die Zusatzvoraussetzung

a, f \in C (\bar{Ω})

erfüllt. Tatsächlich gilt (Übung): Ist

ũ \in L^{2} (Ω)

und existiert

C > 0

mit

| \int_{Ω} ũ w^{'} | \leq C ∥ w ∥_{2} für alle w \in C^{1} (\bar{Ω}),

so ist $ũ \in H^{1} (Ω)$ , und für den Repräsentanten $ũ \in C (\bar{Ω})$ gilt $ũ (1) = ũ (- 1) = 0$ .

_________________________ Ende des Inhalts für 2022-12-09 __________________________________

5.3 Orthonormalsysteme und abstrakte Fourierreihen

Nun sei wieder $(H, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ ein beliebiger Hilbertraum.

5.19 Deﬁnition.

(a)

Eine Menge

A \subseteq H

heißt Orthonormalsystem(kurz: ONS) falls gilt:

⟨ x, y ⟩ = {\begin{matrix} 0, & x \neq y, \\ 1, & x = y, \end{matrix} für alle x, y \in A .

(b)

Ein totales Orthonormalsystem

A

heißt Orthonormalbasis(kurz: ONB) oder Hilbertbasis. Man beachte, dass dies nicht bedeutet, dass

A

eine Basis im Sinne der Linearen Algebra ist.

5.20 Satz. Sei $A = {e_{1}, e_{2}, \dots}$ ein abzählbar unendliches ONS in $H$ . Dann gelten:

(a): Sind $c_{n} \in 𝕂$ , $n \in ℕ$ derart, dass $x = \sum_{n = 1}^{\infty} c_{n} e_{n} \in H$ existiert, so gilt $c_{n} = ⟨ x, e_{n} ⟩$ für alle $n \in ℕ$ .
(b): Ist ${(c_{n})}_{n} \in ℓ^{2}$ gegeben, so konvergiert $\sum_{n = 1}^{\infty} c_{n} e_{n}$ in $H$ .

Beweis. (a) Aus der Stetigkeit und Linearität des Skalarprodukts im ersten Argument folgt

⟨ x, e_{n} ⟩ = ⟨ \lim_{k \to \infty} \sum_{j = 1}^{k} c_{j} e_{j}, e_{n} ⟩ = \lim_{k \to \infty} \sum_{j = 1}^{k} c_{j} \underset{= δ_{j n}}{\underset{︸}{⟨ e_{j}, e_{n} ⟩}} = c_{n} .

(b) Sei $s_{n} : = \sum_{k = 1}^{n} c_{k} e_{k}$ . Dann gilt

∥ s_{m} - s_{n} ∥^{2} = {∥ \sum_{k = n + 1}^{m} c_{k} e_{k} ∥}^{2} = \sum_{i, j = n + 1}^{m} c_{i} \bar{c_{j}} ⟨ \underset{δ_{i j}}{\underset{︸}{e_{i}, e_{j}}} ⟩ = \sum_{k = n + 1}^{m} | c_{k} |^{2}

für alle $n, m \in ℕ$ , $m > n$ . Da ferner ${(c_{k})}_{k} \in ℓ^{2}$ ist, folgt

\sup_{m \geq n} ∥ s_{m} - s_{n} ∥^{2} \leq \sum_{k = n + 1}^{\infty} | c_{k} |^{2} \to 0 für n \to \infty .

Also ist ${(s_{n})}_{n}$ eine Cauchyfolge in $H$ und die Behauptung folgt. □

5.21 Satz. Sei $A = {e_{1}, \dots, e_{n}}$ ein endliches ONS, $V = span A$ und $P \in L (H)$ die orthogonale Projektion auf $V$ . Dann gelten für alle $x, y \in H$ :

(a): $P x = \sum_{k = 1}^{n} ⟨ x, e_{k} ⟩ e_{k}$ .
(b): $⟨ P x, P y ⟩ = \sum_{k = 1}^{n} ⟨ x, e_{k} ⟩ \bar{⟨ y, e_{k} ⟩}$ .

Beweis. (a) Sei $z : = \sum_{k = 1}^{n} ⟨ x, e_{k} ⟩ e_{k}$ . Dann ist

⟨ x - z, e_{j} ⟩ = ⟨ x, e_{j} ⟩ - \sum_{k = 1}^{n} ⟨ x, e_{k} ⟩ ⟨ e_{k}, e_{j} ⟩ = ⟨ x, e_{j} ⟩ - ⟨ x, e_{j} ⟩ = 0

für alle $j \in {1, \dots, n}$ . Also gilt $x - z \in A^{⊥} = V^{⊥} = Kern P$ . Es folgt

P x = P z + P (x - z) = P z = z,

da $z$ in $V$ liegt.

(b) Es ist

\begin{array}{l} ⟨ P x, P y ⟩ & = ⟨ \sum_{k = 1}^{n} ⟨ x, e_{k} ⟩ e_{k}, \sum_{j = 1}^{n} ⟨ y, e_{j} ⟩ e_{j} ⟩ \\ = \sum_{k, j = 1}^{n} ⟨ x, e_{k} ⟩ \bar{⟨ y, e_{j} ⟩} ⟨ e_{k}, e_{j} ⟩ = \sum_{k = 1}^{n} ⟨ x, e_{k} ⟩ \bar{⟨ y, e_{k} ⟩} . & □ \end{array}

5.22 Deﬁnition. Für ein fest gewähltes, abzählbares ONS $A = {e_{1}, e_{2}, \dots}$ in $H$ und $x \in H$ nennen wir

(a): $\hat{x} (n) : = ⟨ x, e_{n} ⟩$ den $n$ -ten Fourierkoeﬃzienten von $x$ (bzgl. $A$ ),
(b): $\sum_{n} \hat{x} (n) e_{n}$ die (abstrakte) Fourierreihe von $x$ (bzgl. $A$ ).

5.23 Satz. Sei $A = {e_{1}, e_{2}, \dots}$ ein abzählbar unendliches ONS in $H$ . Sei ferner $V : = \bar{span A}$ und $P \in L (H)$ die orthogonale Projektion auf $V$ . Dann gelten für alle $x, y \in H$ :

(a): $P x = \sum_{n = 1}^{\infty} \hat{x} (n) e_{n}$ ,
(b): $⟨ P x, P y ⟩ = \sum_{n = 1}^{\infty} \hat{x} (n) \bar{ŷ (n)}$ ,
(c): $\sum_{n = 1}^{\infty} | \hat{x} (n) |^{2} \leq ∥ x ∥^{2}$ (Besselsche Ungleichung).

Beweis.Für $n \in ℕ$ sei $P_{n} \in L (H)$ die orthogonale Projektion auf $span {e_{1}, \dots, e_{n}}$ . Dann gilt

\sum_{k = 1}^{n} | \hat{x} (k) |^{2} \overset{Satz 5.21 (b)}{=} ∥ P_{n} x ∥^{2} \overset{Satz und Deﬁnition 5.7 (b)}{\leq} ∥ x ∥^{2} für alle n \in ℕ .

Es folgt (c) und ${(\hat{x} (n))}_{n} \in ℓ^{2}$ . Gemäß Satz 5.20 (b) existiert somit $z : = \sum_{n = 1}^{\infty} \hat{x} (n) e_{n} \in H$ (d.h. die Reihe konvergiert). Aus der Stetigkeit des Skalarprodukts folgt

⟨ x - z, e_{j} ⟩ = \hat{x} (j) - \sum_{n = 1}^{\infty} \hat{x} (n) ⟨ e_{n}, e_{j} ⟩ = \hat{x} (j) - \hat{x} (j) = 0 für alle j \in ℕ,

also $x - z \in A^{⊥} = V^{⊥}$ und somit $P x = P z + P (x - z) = P z = z$ . Dies liefert (a).

Zu (b):

⟨ P x, P y ⟩ = ⟨ \sum_{n = 1}^{\infty} \hat{x} (n) e_{n}, \sum_{k = 1}^{\infty} ŷ (k) e_{k} ⟩ = \sum_{n, k = 1}^{\infty} \hat{x} (n) \bar{ŷ (k)} ⟨ e_{n}, e_{k} ⟩ = \sum_{n = 1}^{\infty} \hat{x} (n) \bar{ŷ (n)} .

Hier haben wir wieder die Stetigkeit des Skalarprodukts verwendet. □

5.24 Korollar. Sei $A = {e_{1}, e_{2}, \dots}$ ein abzählbar unendliches ONS in $H$ . Dann sind äquivalent:

(i): $A$ ist eine ONB.
(ii): Für alle $x \in H$ gilt $x = \sum_{k = 1}^{\infty} \hat{x} (k) e_{k}$ .
(iii): Für alle $x \in H$ gilt $∥ x ∥^{2} = \sum_{k = 1}^{\infty} | \hat{x} (k) |^{2}$ .
(iv): Für alle $x, y \in H$ gilt $⟨ x, y ⟩ = \sum_{k = 1}^{\infty} \hat{x} (k) \bar{ŷ (k)}$ (Parsevalsche Gleichung).

Beweis.Sei $V : = \bar{span A}$ und $P \in L (H)$ die orthogonale Projektion auf $V$ . Dann gilt:

A total \Leftrightarrow V = H \Leftrightarrow P = I .

Somit erhalten wir die Implikationen:

(i) \overset{Satz 5.23}{\Rightarrow} (ii) \overset{Stet. d. SKP}{\Rightarrow} (iv) \overset{trivial}{\Rightarrow} (iii) .

Gilt (iii), so folgt für alle $x \in H$ :

∥ P x ∥^{2} + ∥ x - P x ∥^{2} \overset{Satz und Deﬁnition 5.6 (a)}{=} ∥ x ∥^{2} = \sum_{k = 1}^{\infty} | \hat{x} (k) |^{2} \overset{Satz 5.23 (b)}{=} ∥ P x ∥^{2},

also $x = P x \in V$ . Also ist $H = V$ und somit $A$ total, d.h. (i) gilt. □

5.25 Bemerkung. Ist $A$ ein abzählbar unendliches ONS und existiert eine totale Teilmenge $M \subseteq H$ mit

∥ x ∥^{2} = \sum_{k = 1}^{\infty} | \hat{x} (k) |^{2} für alle x \in M,

(5.8)

so ist $A$ bereits eine ONB.

Beweis.Sei wieder $V : = \bar{span A}$ . Wie im Beweisschritt (iii) auf (i) in Korollar 5.24 erhält man mit (5.8) die Implikation: $x \in M \Rightarrow x \in V$ . Somit gilt $M \subseteq V$ und damit $H = \bar{span M} \subseteq V$ . Es folgt, dass $A$ eine ONB ist. □

5.26 Satz. Äquivalent sind:

(i): $H$ ist unendlich-dimensional und separabel.
(ii): $H$ besitzt eine abzählbar unendliche ONB.
(iii): $H$ ist isometrisch isomorph zu $ℓ^{2}$ .

Man beachte: Die Aussagen gelten insbesondere im Fall $H = L^{2} (Ω)$ , wobei $Ω \subseteq ℝ^{N}$ eine Lebesgue- messbare Menge mit $λ (Ω) > 0$ sei (vgl. Bemerkung 4.48).

Beweis.Aus (ii) folgt (iii): Wir betrachten die lineare Abbildung $F : H \to ℓ^{2}$ , $F x : = {(\hat{x} (k))}_{k}$ . Aus Korollar 5.24 (iii) folgt

∥ F x ∥_{2} = ∥ x ∥_{H} für alle x \in H .

Die Surjektivität von $F$ folgt aus Satz 5.20 (b). Somit ist $F$ ein isometrischer Isomorphismus.

Aus (iii) folgt (i), da $ℓ^{2}$ separabel ist. Noch zu zeigen: (i) $\Rightarrow$ (ii). Sei dazu $M = {a_{1}, a_{2}, \dots} \subseteq H$ eine abzählbar unendliche totale Menge. Wir erzeugen hieraus eine ONB mittels des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens: Ohne Einschränkung gelte $a_{1} \neq 0$ und $a_{k + 1} \notin W_{k} : = span {a_{1}, \dots, a_{k}}$ für $k \in ℕ$ . Sei $P_{k} \in L (H)$ die orthogonale Projektion auf $W_{k}$ für $k \in ℕ$ . Wir setzen $e_{1} : = \frac{a_{1}}{∥ a_{1} ∥}$ und

e_{k} : = \frac{a_{k} - P_{k - 1} a_{k}}{∥ a_{k} - P_{k - 1} a_{k} ∥} \in W_{k} \cap W_{k - 1}^{⊥} für k \geq 2 .

Nach Konstruktion ist $A : = {e_{1}, e_{2}, \dots}$ ein ONS in $H$ . Per Induktion sieht man ferner: $W_{k} = span {e_{1}, \dots, e_{k}}$ für alle $k \in ℕ$ . Es folgt

span M = ⋃_{k \in ℕ} W_{k} = span A,

also ist $A$ total und somit eine ONB. Es folgt (ii). □

5.4 Klassische Fourierreihen

Im Folgenden betrachten wir den Hilbertraum $H : = L^{2} [0, 2 π] = L^{2} ([0, 2 π], ℂ)$ (bezüglich des Lebesguemaßes) mit Skalarprodukt $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ deﬁniert durch

⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{2 π} f \bar{g} für f, g \in H .

5.27 Deﬁnition und Satz. Für $k \in ℤ$ sei $e_{k} \in H$ deﬁniert durch $e_{k} (t) : = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e i k t$ . Dann ist $A : = {e_{k} | k \in ℤ}$ eine ONB von $H$ . Die Fourierkoeﬃzienten von $f \in H$ bzgl. $A$ sind dann gegeben durch

\hat{f} (k) : = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{2 π} f (t) e - i k t d t, für k \in ℤ .

Beweis.Es ist

⟨ e_{k}, e_{k} ⟩ = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \underset{- i k t}{\underset{i k t}{e}} = 1 d t = 1 für alle k \in ℤ,

und

⟨ e_{k}, e_{j} ⟩ = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} e i (k - j) t d t = {\frac{1}{2 π} \frac{1}{i (k - j)} e i (k - j) t |}_{0}^{2 π} = 0 für k \neq j .

Es folgt, dass $A$ ein ONS in $H = L^{2} ([0, 2 π])$ ist. Ferner ist $A$ total in $H$ , da die Menge der trigonometrischen Polynome dicht in $H$ liegt. Die letzte Aussage ist eine leichte Folgerung aus Deﬁnition und Korollar 4.12 und Satz 4.47 (Übung). □

5.28 Bemerkung. Aus Deﬁnition und Satz 5.27 folgt, dass für jedes $f \in H$ die Fourierreihe $\sum_{k \in ℤ} \hat{f} (k) e_{k}$ bzgl. $∥ \cdot ∥_{2}$ gegen $f$ konvergiert. Weiterhin gelten:

(a): Die Fourierreihe konvergiert punktweise f.ü. gegen $f$ (Satz von Carleson, 1966).
(b): Ist ${(\hat{f} (k))}_{k} \in ℓ^{1} (ℤ)$ , so konvergiert die Fourierreihe in $(C_{2 π} (ℝ, ℂ), ∥ \cdot ∥_{\infty})$ , also gleichmäßig. Es folgt dann, dass $f$ (nach Wahl eines geeigneten Repräsentanten) zu einem Element in $C_{2 π} (ℝ, ℂ)$ fortgesetzt werden kann.
(c): Ist $f \in C_{2 π} (ℝ, ℂ)$ , so muss die Fourierreihe i.A. trotzdem nicht punktweise gegen $f$ konvergieren.

Beweis. (b) Weil die Folge ${(\hat{f} (k))}_{k}$ in $ℓ^{1} (ℤ)$ liegt, gilt für alle $t \in [0, 2 π]$ :

\sum_{k \in ℤ} | \hat{f} (k) e_{k} (t) | = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \sum_{k \in ℤ} | \hat{f} (k) | < \infty,

d.h. die Funktionenreihe $\tilde{f} : = \sum_{k} \hat{f} (k) e_{k}$ konvergiert nach dem Majorantenkriterium absolut und gleichmäßig. Zudem liegen alle Funktionen $e_{k}$ in $C_{2 π} (ℝ, ℂ)$ ; dies gilt also auch für $\tilde{f}$ . Wegen (a) ist dann $\tilde{f}$ ein Repräsentant von $f$ in $C_{2 π} (ℝ, ℂ)$ .

Skizze des Beweises von (c): Sei $t_{0} \in [0, 2 π]$ , und sei im Folgenden $C_{2 π} : = C_{2 π} (ℝ, ℂ)$ . Wir zeigen, dass ein $f \in C_{2 π}$ existiert derart, dass die Fourierreihe von $f$ in $t_{0}$ nicht gegen $f$ konvergiert. Wir verwenden den Satz von der gleichmäßigen Beschränktheit. Dazu deﬁnieren wir die Operatoren

S_{n} \in L (C_{2 π}), S_{n} f : = \sum_{k = - n}^{n} \hat{f} (k) e_{k}

mit $e_{k}$ wie in Deﬁnition und Satz 5.27. Dann gilt für alle $t \in [0, 2 π]$ :

(S_{n} f) (t) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (s) (\sum_{k = - n}^{n} e i k (t - s)) d s = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} d_{n} (t - s) f (s) d s

mit dem $n$ -ten Dirichletkern

τ \mapsto d_{n} (τ) : = \sum_{k = - n}^{n} e i k τ = {\begin{matrix} \frac{\sin ((n + \frac{1}{2}) τ)}{\sin \frac{τ}{2}}, & τ \in ℝ \ {2 k π | k \in ℤ}; \\ 2 n + 1, & τ \in {2 k π | k \in ℤ} . \end{matrix}

(5.9)

Die letztere Darstellung des Kerns kann man dabei z.B. mit der geometrischen Summenformel herleiten (Übung). Wir betrachten nun die stetigen Linearformen

T_{n} \in C_{2 π}^{'}, T_{n} (f) : = (S_{n} f) (t_{0}) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} d_{n} (t_{0} - s) f (s) d s .

Ähnlich wie in Beispiel 2.29 (c) sieht man, dass für die zugehörige Operatornorm dann

∥ T_{n} ∥ = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} | d_{n} |

gilt (Übung). Allerdings gilt wegen (5.9) auch

\int_{0}^{2 π} | d_{n} | \to \infty für n \to \infty

(Übung). Somit ist die Folge der Linearformen $T_{n}$ , $n \in ℕ$ , nicht beschränkt. Nach Hauptsatz 3.8 ist sie damit auch nicht punktweise beschränkt, d.h. es existiert ein $f \in C_{2 π}$ derart, dass die im Punkt $t_{0}$ ausgewerteten Partialsummen

T_{n} f = (S_{n} f) (t_{0}), n \in ℕ,

der Fourierreihe von $f$ eine unbeschränkte Folge in $ℂ$ bilden und somit nicht konvergieren. □

_________________________ Ende des Inhalts für 2022-12-13 __________________________________

5.5 Der Satz von Lax-Milgram mit Anwendungen

Stets sei $(H, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ ein Hilbertraum über $𝕂$ .

5.29 Deﬁnition. Eine Abbildung $a : H \times H \to 𝕂$ heißt sesquilinear, falls gilt:

(i): $a (\cdot, y) : H \to 𝕂$ ist linear für alle $y \in H$ .
(ii): $a (x, \cdot) : H \to 𝕂$ ist antilinear für alle $x \in H$ , d.h. $a (x, λ y + z) = \bar{λ} a (x, y) + a (x, z)$ für alle $x, y, z \in H$ , $λ \in 𝕂$ .

Wir setzen $S q l (H) : = {a : H \times H \to 𝕂 | a sesquilinear}$ .

5.30 Satz und Deﬁnition. Zu $T \in L (H)$ sei $a_{T} \in S q l (H)$ deﬁniert durch $a_{T} (x, y) : = ⟨ x, T y ⟩$ für alle $x, y \in H$ . Dann gelten:

(a): $| a_{T} (x, y) | \leq ∥ T ∥ ∥ x ∥ ∥ y ∥$ für alle $x, y \in H$ .
(b): Existiert $c_{1} > 0$ mit $| a_{T} (x, x) | \geq c_{1} ∥ x ∥^{2}$ für alle $x \in H$ , so ist $T$ ein topologischer Isomorphismus.

Beweis. (a) $| a_{T} (x, y) | = | ⟨ x, T y ⟩ | \leq ∥ x ∥ ∥ T y ∥ \leq ∥ x ∥ ∥ T ∥ ∥ y ∥$ für alle $x, y \in H$ .

(b) Für alle $x \in H$ ist $c_{1} ∥ x ∥^{2} \leq | ⟨ x, T x ⟩ | \leq ∥ T x ∥ ∥ x ∥$ , also

∥ x ∥ \leq \frac{1}{c_{1}} ∥ T x ∥ .

(5.10)

Somit ist $T$ injektiv. Sei $V : = Bild T$ . Wir behaupten, dass $V$ abgeschlossen ist. Um das zu zeigen, seien ${(x_{n})}_{n} \subseteq H$ und $y \in H$ mit $T x_{n} \to y$ für $n \to \infty$ . Dann gilt

\sup_{m \geq n} ∥ x_{m} - x_{n} ∥ \overset{(5.10)}{\leq} \frac{1}{c_{1}} \sup_{m \geq n} ∥ T x_{m} - T x_{n} ∥ \to 0 für n \to \infty .

Also ist ${(x_{n})}_{n}$ eine Cauchyfolge, und somit existiert $x : = \lim_{n \to \infty} x_{n} \in H$ . Da $T$ stetig ist, gilt $y = T x \in V$ . Es folgt die Behauptung. Für $y \in V^{⊥}$ gilt nun $c_{1} ∥ y ∥^{2} \leq | ⟨ y, T y ⟩ | = 0$ , also $V^{⊥} = {0}$ . Es folgt $V = \bar{V} = V^{⊥ ⊥} = {0}^{⊥} = H$ , d.h. $T$ ist surjektiv. Schließlich gilt wegen (5.10) $∥ T^{- 1} y ∥ \leq \frac{1}{c_{1}} ∥ T (T^{- 1} y) ∥ = \frac{1}{c_{1}} ∥ y ∥$ für alle $y \in H$ $\Rightarrow$ , d.h. $T^{- 1} \in L (H)$ und $∥ T^{- 1} ∥ \leq \frac{1}{c_{1}}$ . □

5.31 Satz(von Lax-Milgram). Seien $a \in S q l (H)$ und $c_{0} > 0$ mit

| a (x, y) | \leq c_{0} ∥ x ∥ ∥ y ∥ für alle x, y \in H

(5.11)

gegeben. Dann gelten:

(a)

Es existiert genau ein

T \in L (H)

mit

a = a_{T}

, d.h. mit

a (x, y) = ⟨ x, T y ⟩

für alle

x, y \in H

(b)

Existiert ferner eine Konstante

c_{1} > 0

mit

| a (x, x) | \geq c_{1} ∥ x ∥^{2} für alle x \in H,

(5.12)

so ist $T$ ein topologischer Isomorphismus.

(c)

Sind (5.11) und (5.12) erfüllt, so existiert zu jedem

f \in H

genau ein

y \in H

mit

a (x, y) = ⟨ x, f ⟩ für alle x \in H .

(5.13)

(d)

Sind (5.11) und (5.12) erfüllt, so existiert zu jedem

φ \in H^{'}

genau ein

y \in H

mit

a (x, y) = φ (x) für alle x \in H .

Beweis. (a) Sei $J : H \to H^{'}$ die antilineare isometrische Bijektion aus dem Rieszschen Darstellungssatz (Satz 5.10). Für $y \in H$ sei ferner $ψ_{y} : H \to 𝕂$ deﬁniert durch $ψ_{y} (x) : = a (x, y)$ . Dann ist $ψ_{y}$ linear und stetig mit $∥ ψ_{y} ∥ \leq c_{0} ∥ y ∥$ , denn wegen (5.11) gilt $| ψ_{y} (x) | \leq c_{0} ∥ x ∥ ∥ y ∥$ für alle $x \in H$ . Gilt $a = a_{T}$ für ein $T \in L (H)$ , so folgt

⟨ x, T y ⟩ = a_{T} (x, y) = ψ_{y} (x) für alle y, x \in H,

also notwendigerweise

T y = J^{- 1} ψ_{y} für alle y \in H .

(5.14)

Insbesondere ist $T$ eindeutig bestimmt. Ist $T$ durch (5.14) deﬁniert, so gilt für $y_{1}, y_{2} \in H$ , $λ \in 𝕂$ :

\begin{matrix} T (λ y_{1} + y_{2}) = J^{- 1} ψ_{λ y_{1} + y_{2}} \overset{a \in S q l (H)}{=} J^{- 1} (\bar{λ} ψ_{y_{1}} + ψ_{y_{2}}) \\ = λ J^{- 1} ψ_{y_{1}} + J^{- 1} ψ_{y_{2}} = λ T y_{1} + T y_{2} . \end{matrix}

Also ist $T$ ist linear. Ferner gilt

∥ T y ∥ = ∥ J^{- 1} ψ_{y} ∥ \overset{Satz 5.10}{=} ∥ ψ_{y} ∥ \leq c_{0} ∥ y ∥ für alle y \in H,

also $T \in L (H)$ .

(b) Dies folgt direkt aus (a) und Satz und Deﬁnition 5.30 (b).

⟨ x, T y ⟩ = ⟨ x, f ⟩ für alle x \in H,

(5.15)

wobei $T$ gemäß (b) ein topologischer Isomorphismus ist. Also existiert genau ein $y \in H$ , welches (5.15) erfüllt, und dieses ist gegeben durch $y : = T^{- 1} f$ .

(d) folgt aus (c) und dem Darstellungssatz von Riesz, Satz 5.10. □

5.32 Bemerkung. Der Vorteil der Aussage Satz 5.31 (d) gegenüber dem Rieszschen Darstellungssatz (wo die betrachtete Sesquilinearform $a$ das Skalarprodukt ist) liegt darin, dass hier keine Symmetrie von $a$ verlangt wird.

5.33 Beispiel. Seien $𝕂 = ℝ$ und $Ω = (- 1, 1) \subseteq ℝ$ . Gegeben seien Funktionen $h, b \in L^{\infty} (Ω)$ , $f \in L^{2} (Ω)$ , wobei ${essinf}_{Ω} h > 0$ und

\frac{∥ b ∥_{\infty}}{2} < \min {1, \underset{Ω}{essinf} h}

(5.16)

sei. Wir suchen eine Lösung des Neumann-Randwertproblems

{\begin{aligned} - u^{″} + b (x) u^{'} + h (x) u & = f (x), x \in Ω, \\ u^{'} (1) = u^{'} (- 1) & = 0 . \end{aligned}

(5.17)

Ähnlich wie in Deﬁnition und Satz 5.16 nennen wir $u \in H^{1} (Ω)$ eine schwache Lösung von (5.17), wenn gilt:

a (w, u) : = \int_{Ω} (u^{'} w^{'} + b u^{'} w + h u w) = \int_{Ω} f w für alle w \in H^{1} (Ω) .

Dabei ist $a : H^{1} (Ω) \times H^{1} (Ω) \to ℝ$ eine Bilinearform (wegen $𝕂 = ℝ$ also auch eine Sesquilinearform) mit

\begin{matrix} | a (u, w) | \leq ∥ u^{'} ∥_{2} ∥ w ∥_{2} + ∥ b ∥_{\infty} ∥ u^{'} ∥_{2} ∥ w ∥_{2} + ∥ h ∥_{\infty} ∥ u ∥_{2} ∥ w ∥_{2} \\ \leq (1 + ∥ b ∥_{\infty} + ∥ h ∥_{\infty}) ∥ u ∥_{H^{1}} ∥ w ∥_{H^{1}} \end{matrix}

für alle $u, w \in H^{1} (Ω)$ . Umgekehrt haben wir

\begin{matrix} | a (u, u) | \geq ∥ u^{'} ∥_{2}^{2} - ∥ b ∥_{\infty} ∥ u^{'} ∥_{2} ∥ u ∥_{2} + (\underset{Ω}{essinf} h) ∥ u ∥_{2}^{2} \\ \geq (1 - \frac{∥ b ∥_{\infty}}{2}) ∥ u^{'} ∥_{2}^{2} + (\underset{Ω}{essinf} h - \frac{∥ b ∥_{\infty}}{2}) ∥ u ∥_{2}^{2} \geq c_{1} ∥ u ∥_{H^{1}}^{2} \end{matrix}

für $u \in H^{1} (Ω)$ mit $c_{1} : = \min {1, {essinf}_{Ω} h} - \frac{∥ b ∥_{\infty}}{2} > 0$ wegen (5.16). Somit erfüllt die Bilinearform $a$ auf $H^{1} (Ω)$ die Voraussetzungen des Satzes von Lax-Milgram. Ähnlich wie im Beweis von Satz 5.17 betrachten wir nun die Linearform

φ \in H^{1} {(Ω)}^{'}, φ (w) : = \int_{Ω} f w .

Nach Satz 5.31 (d) existiert genau ein $u \in H^{1} (Ω)$ mit $a (w, u) = φ (w)$ für alle $w \in H^{1} (Ω)$ , d.h. genau eine schwache Lösung $u \in H^{1} (Ω)$ von (5.17). Für diese schwache Lösung kann man analoge Regularitätsaussagen wie in Bemerkung 5.18 erhalten. Man beachte: Die hier deﬁnierte Bilinearform $a$ ist nicht symmetrisch; man kann die (eindeutige) Existenz schwacher Lösungen daher nicht allein aus dem Rieszschen Darstellungssatz folgern.

5.34 Bemerkung. Selbst das einfachere Problem

{\begin{aligned} - u^{″} + h (x) u & = f (x), x \in Ω, \\ u^{'} (1) = u^{'} (- 1) & = 0 . \end{aligned}

(5.18)

(vgl. Abschnitt 5.2) ohne den Term erster Ordnung kann auf eine nicht symmetrische Bilinearform führen, wenn man eine komplexwertige Funktion $x \mapsto h (x)$ betrachtet. Analog wie in Satz 5.17 kann man dann die Existenz genau einer schwachen Lösung aus dem Satz von Lax-Milgram folgern, wenn ${essinf}_{Ω} Re h > 0$ gilt. Hierzu betrachtet man $L^{2} (Ω) = L^{2} (Ω, ℂ)$ und einen analog deﬁnierten komplexwertigen Sobolevraum $H^{1} (Ω) = H^{1} (Ω, ℂ)$ .

5.35 Beispiel. Seien $h, f \in C ([0, 1], ℂ)$ Funktionen mit $Re h > 0$ auf $[0, 1]$ . Wir zeigen, dass das Dirichletproblem

- u^{″} + h u = f in (0, 1), u (0) = u (1) = 0,

(5.19)

eine Lösung $u \in C^{2} ([0, 1], ℂ)$ besitzt. Man kann diese Gleichung ähnlich wie das Neumannsche Randwertproblem lösen, muss dann aber im Abschluss des Raumes $C_{c}^{\infty} (Ω)$ in $H^{1} (Ω)$ statt in $H^{1} (Ω)$ (wie in Abschnitt 5.2) arbeiten, um die Randbedingungen zu erfüllen.

Wir beschreiten hier einen anderen Weg. Dazu setzen wir $H : = L^{2} ([0, 1], ℂ)$ und schreiben das Problem in der Form

u = K (f - h u) \Leftrightarrow K ũ + \frac{ũ}{h} = K f, ũ = h u,

(5.20)

mit dem Integraloperator

K : H \to H, (K v) (t) : = \int_{0}^{1} G (t, s) v (s) d s für t \in [0, 1]

zur Greenfunktion

G \in C ({[0, 1]}^{2}), G (t, s) = {\begin{matrix} (1 - s) t, & t \leq s; \\ (1 - t) s, & t > s \end{matrix}

aus Kapitel 1. Da $G$ beschränkt ist, liegt $K$ in $L (H)$ . Ferner deﬁnieren wir $a \in S q l (H)$ durch

a (w, v) : = \int_{0}^{1} w \bar{(K v + \frac{v}{h})} für v, w \in H .

Aufgrund der Beschränktheit der Funktionen $G$ und $\frac{1}{h}$ sieht man leicht, dass dann die Voraussetzung (5.11) aus Satz 5.31 erfüllt ist. Betrachtet man ferner $v \in C_{c} (0, 1)$ und setzt $w : = K v$ , so ist $w \in C^{2} [0, 1]$ eine Lösung von

- w^{″} = v in (0, 1), w (0) = w (1) = 0,

(Übung) und somit folgt mit partieller Integration

\int_{0}^{1} v \bar{(K v)} = - \int_{0}^{1} w^{″} \bar{w} = \int_{0}^{1} w^{'} {\bar{w}}^{'} = \int_{0}^{1} | w^{'} |^{2} \geq 0,

also

Re a (v, v) \geq Re \int_{0}^{1} v \bar{(\frac{v}{h})} \geq c_{1} \int_{0}^{1} | v |^{2} = c_{1} ∥ v ∥_{2}^{2}

mit

c_{1} : = \min_{t \in [0, 1]} Re \frac{1}{h (t)} > 0

nach Voraussetzung. Da $C_{c} (0, 1)$ gemäß Satz 4.47 in $H$ dicht liegt, erhält man durch Approximation auch

| a (v, v) | \geq Re a (v, v) \geq c_{1} ∥ v ∥_{2}^{2} für alle v \in H .

Also erfüllt $a$ die Voraussetzungen (5.11) und (5.12) von Satz 5.31, und somit existiert gemäß Satz 5.31 (c) zu $K f \in H$ genau ein $ũ \in H$ mit

a (w, ũ) = ⟨ w, K f ⟩ für alle w \in H,

d.h.

\int_{0}^{1} w \bar{(K ũ + \frac{ũ}{h} - K f)} = 0 für w \in H .

Dies liefert $K ũ + \frac{ũ}{h} - K f \in H^{⊥} = {0}$ , d.h. $u : = \frac{ũ}{h}$ erfüllt (5.20). Aus Eigenschaften der Greenfunktion $G$ (Übung) erhält man dann, dass $u \in C^{2} ([0, 1])$ eine Lösung von (5.19) ist.

_________________________ Ende des Inhalts für 2022-12-16 __________________________________

5.6 Der Adjungierte Operator

5.36 Satz und Deﬁnition. Zu jedem $T \in L (H)$ existiert genau ein $T^{*} \in L (H)$ mit $⟨ T x, y ⟩ = ⟨ x, T^{*} y ⟩$ für alle $x, y \in H$ . Man nennt $T^{*}$ denzu $T$ adjungierten Operator.

Beweis.Deﬁniere $a \in S q l (H)$ durch $a (x, y) = ⟨ T x, y ⟩$ . Dann ist

| a (x, y) | \leq ∥ T x ∥ ∥ y ∥ \leq ∥ T ∥ ∥ x ∥ ∥ y ∥ für x, y \in H,

also gilt (5.11) von Satz 5.31 mit $c_{0} : = ∥ T ∥$ . Somit existiert genau ein $T^{*} \in L (H)$ mit

⟨ T x, y ⟩ = a (x, y) = ⟨ x, T^{*} y ⟩ für alle x, y \in H . □

5.37 Satz. Für alle $S, T \in L (H)$ gilt:

(a): $T^{* *} = T$
(b): ${(λ S + μ T)}^{*} = \bar{λ} S^{*} + \bar{μ} T^{*}$ für $λ, μ \in 𝕂$ .
(c): ${(S T)}^{*} = T^{*} S^{*}$
(d): Ist $T$ ein topologischer Isomorphismus, so auch $T^{*}$ ; und dann gilt ${(T^{*})}^{- 1} = {(T^{- 1})}^{*}$ .
(e): $∥ T^{*} ∥ = ∥ T ∥$
(f): $∥ T^{*} T ∥ = ∥ T ∥^{2}$

Beweis. (a)–(c): Leichte Übung, z.B. (c): Für alle $x, y \in H$ ist $⟨ S T x, y ⟩ = ⟨ T x, S^{*} y ⟩ = ⟨ x, T^{*} S^{*} y ⟩$ , und mit Satz und Deﬁnition 5.36 (Eindeutigkeit) folgt ${(S T)}^{*} = T^{*} S^{*}$ .

Zu (d): Gemäß (c) ist ${(T^{- 1})}^{*} T^{*} = {(T T^{- 1})}^{*} = I^{*} = I$ und analog $T^{*} {(T^{- 1})}^{*} = I$ . Somit folgt die Behauptung.

Zu (e) und (f): Für alle $x \in H$ ist

∥ T x ∥^{2} = ⟨ x, T^{*} T x ⟩ \leq ∥ T^{*} T x ∥ ∥ x ∥ \leq ∥ T^{*} T ∥ ∥ x ∥^{2},

also

∥ T ∥^{2} = {(\sup_{∥ x ∥ \leq 1} ∥ T x ∥)}^{2} = \sup_{∥ x ∥ \leq 1} ∥ T x ∥^{2} \leq ∥ T^{*} T ∥ \leq ∥ T^{*} ∥ ∥ T ∥ .

(5.21)

Es folgt $∥ T ∥ \leq ∥ T^{*} ∥$ , und dann auch $∥ T^{*} ∥ \leq ∥ T^{* *} ∥ = ∥ T ∥$ . Somit ist $∥ T ∥ = ∥ T^{*} ∥$ , und aus (5.21) folgt nun $∥ T^{*} T ∥ = ∥ T ∥^{2}$ . □

5.38 Deﬁnition. $T \in L (H)$ heißt

normal, falls $T T^{*} = T^{*} T$ gilt.
hermiteschoder selbstadjungiert, falls $T = T^{*}$ gilt.
unitär, falls $T T^{*} = I = T^{*} T$ , also $T^{*} = T^{- 1}$ gilt.

5.39 Beispiel(Multiplikationsoperatoren). Seien $Ω \subseteq ℝ^{N}$ (Lebesgue-)messbar, $H : = L^{2} (Ω)$ , $q \in L^{\infty} (Ω)$ und $T \in L (H)$ deﬁniert durch $(T f) (x) : = q (x) f (x)$ für $f \in H$ und $x \in Ω$ . Wegen

∥ T f ∥_{2}^{2} = \int_{Ω} | q f |^{2} \leq ∥ q ∥_{\infty}^{2} ∥ f ∥_{2}^{2} für alle f \in H

ist $T$ tatsächlich stetig mit $∥ T ∥ \leq ∥ q ∥_{\infty}$ . Dabei gilt:

⟨ f, T^{*} g ⟩ = ⟨ T f, g ⟩ = \int_{Ω} q f \bar{g} = \int_{Ω} f \bar{\bar{q} g} = ⟨ f, \bar{q} g ⟩ .

Also ist $T^{*} \in L (H)$ gegeben durch $T^{*} g = \bar{q} g$ . Beachte: $T$ ist normal, denn $T T^{*} g = T^{*} T g = | q |^{2} g$ für alle $g \in H$ . Ferner gilt:

$T$ unitär $\Leftrightarrow$ $| q | = 1$ f.ü. auf $Ω$ ;
$T$ selbstadjungiert $\Leftrightarrow$ $q$ f.ü. auf $Ω$ reellwertig.

Randbemerkung: $T$ deﬁniert ebenfalls einen stetigen Operator $L^{p} (Ω) \to L^{p} (Ω)$ für $1 \leq p \leq \infty$ , wobei auch dann $∥ T ∥ \leq ∥ q ∥_{\infty}$ gilt.

5.40 Beispiel(Integraloperatoren). Sei $Ω \subseteq ℝ^{N}$ (Lebesgue-)messbar und $H : = L^{2} (Ω)$ . Sei ferner $k \in L^{2} (Ω \times Ω)$ . Der Integraloperator $K \in L (H)$ zur Kernfunktion $k$ ist deﬁniert durch

(K f) (x) : = \int_{Ω} k (x, y) f (y) d y für f \in H und x \in Ω (f.ü.).

$K$ ist wohldeﬁniert, denn: Da $\int_{Ω \times Ω} | k (x, y) |^{2} d (x, y) < \infty$ ist, gilt nach dem Satz von Fubini:

$\int_{Ω} | k (x, y) |^{2} d y < \infty$ für fast alle $x \in Ω$ ;
$x \mapsto \int_{Ω} | k (x, y) |^{2} d y$ ist integrierbar.

Aufgrund der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist somit $(K f) (x)$ für $f \in H$ und fast alle $x \in Ω$ wohldeﬁniert, und es gilt

| (K f) (x) |^{2} = {| \int_{Ω} k (x, y) f (y) d y |}^{2} \leq ∥ f ∥_{2}^{2} \int_{Ω} | k (x, y) |^{2} d y .

Es folgt

∥ K f ∥_{2}^{2} = \int_{Ω} | (K f) (x) |^{2} d x \leq ∥ f ∥_{2}^{2} \int_{Ω} \int_{Ω} | k (x, y) |^{2} d y d x = ∥ f ∥_{2}^{2} ∥ k ∥_{L^{2} (Ω \times Ω)}^{2},

also $K \in L (H)$ mit $∥ K ∥ \leq ∥ k ∥_{L^{2} (Ω \times Ω)}$ .

Es gilt dann: $K^{*} \in L (H)$ ist der Integraloperator zur Kernfunktion

k^{*} \in L^{2} (Ω \times Ω), k^{*} (x, y) : = \bar{k (y, x)},

denn für $f, g \in H$ gilt nach Tonelli und Fubini:

\begin{array}{l} ⟨ K f, g ⟩ & = \int_{Ω} (\int_{Ω} k (x, y) f (y) d y) \bar{g (x)} d x = \int_{Ω} f (y) \bar{(\int_{Ω} \bar{k (x, y)} g (x) d x)} d y \\ = \int_{Ω} f (y) \bar{(\int_{Ω} k^{*} (y, x) g (x) d x)} d y = ⟨ f, K^{*} g ⟩ . \end{array}

5.41 Satz. Für alle $T \in L (H)$ gilt $Kern T^{*} = {(Bild T)}^{⊥}$ und $\bar{Bild T^{*}} = {(Kern T)}^{⊥}$ .

Beweis.Für $y \in H$ gilt

\begin{array}{l} y \in Kern T^{*} & \Leftrightarrow ⟨ x, T^{*} y ⟩ = 0 für alle x \in H \\ \Leftrightarrow ⟨ T x, y ⟩ = 0 für alle x \in H \Leftrightarrow y \in {(Bild T)}^{⊥} . \end{array}

Damit folgt $Kern T^{*} = {(Bild T)}^{⊥}$ . Weiterhin gilt

Kern T = Kern T^{* *} = {(Bild T^{*})}^{⊥}, also {(Kern T)}^{⊥} = {(Bild T^{*})}^{⊥ ⊥} = \bar{Bild T^{*}} . □

5.42 Satz. $P \in L (H)$ ist eine orthogonale Projektion genau dann, wenn $P^{2} = P = P^{*}$ gilt.

Beweis.„ $\Leftarrow =$ “: Da $P^{2} = P$ gilt, ist $P$ eine Projektion. Ferner ist $Bild P = Kern (I - P)$ abgeschlossen, da $P$ stetig ist. Da schließlich $P^{*} = P$ ist, folgt aus Satz 5.41 $Kern P = Kern P^{*} = {(Bild P)}^{⊥}$ . Somit ist $P$ eine orthogonale Projektion.

„ $\Rightarrow$ “: Nach Satz und Deﬁnition 5.7 gilt $P^{2} = P$ , und für $Q = I - P$ gilt Bild $Q = {(Bild P)}^{⊥}$ . Also gilt für alle $x, y \in H$ :

⟨ P x, y ⟩ = ⟨ P x, P y + Q y ⟩ = ⟨ P x, P y ⟩ = ⟨ P x + Q x, P y ⟩ = ⟨ x, P y ⟩

Mit Satz und Deﬁnition 5.36 folgt $P = P^{*}$ . □

5.43 Bemerkung. Für $T \in L (H)$ ist $T$ genau dann unitär, wenn $T$ eine surjektive Isometrie ist.

Beweis.Es gilt

\begin{array}{l} T surjektive Isometrie \Leftrightarrow \\ T surjektiv und ∥ T x ∥ = ∥ x ∥ für alle x \in H \Leftrightarrow \\ T bijektiv und ⟨ T x, T y ⟩ = ⟨ x, y ⟩ für alle x, y \in H \Leftrightarrow \\ T bijektiv und T^{*} T = I, also T^{- 1} = T^{*} \Leftrightarrow \\ T unitär. \end{array}

Bei der zweiten Äquivalenz haben wir die Polarisationsgleichungen

\begin{array}{l} ⟨ x, y ⟩ = \frac{1}{2} (∥ x + y ∥^{2} - ∥ x ∥^{2} - ∥ y ∥^{2}) falls 𝕂 = ℝ, \\ ⟨ x, y ⟩ = \frac{1}{2} (∥ x + y ∥^{2} - ∥ x ∥^{2} - ∥ y ∥^{2}) + \frac{i}{2} (∥ x + i y ∥^{2} - ∥ x ∥^{2} - ∥ y ∥^{2}) falls 𝕂 = ℂ \end{array}

(Übung) verwendet. □

5.44 Bemerkung. Ist $𝕂 = ℂ$ und $T \in L (H)$ , so ist $T^{*}$ bereits durch

⟨ T x, x ⟩ = ⟨ x, T^{*} x ⟩ für alle x \in H

(5.22)

eindeutig festgelegt.

Beweis.Seien $x, y \in H$ . Anwendung von (5.22) auf $x + i y$ und $x + y$ liefert die Gleichung $⟨ T x, y ⟩ = ⟨ x, T^{*} y ⟩$ (Übung!). □

6 Konvexität

6.1 Der Satz von Hahn-Banach

Zur Motivation halten wir ein Ergebnis über die stetige Fortsetzbarkeit von auf dichten Teilmengen deﬁnierten Abbildungen fest:

6.1 Satz.

(a): Seien $X$ und $Y$ metrische Räume. Ist $Y$ vollständig, $D \subseteq X$ dicht und $f_{0} : D \to Y$ gleichmäßig stetig, so hat $f_{0}$ genau eine stetige Fortsetzung $f : X \to Y$ . Ist ferner $f_{0}$ eine Isometrie, so ist $f$ ebenfalls eine Isometrie.
(b): Seien $E$ und $G$ normierte Räume über $𝕂$ , $G$ vollständig, $F \subseteq E$ ein dichter linearer Teilraum und $T_{0} \in L (F, G)$ gegeben. Dann existiert genau eine Fortsetzung $T \in L (E, G)$ von $T_{0}$ , d.h. es existiert genau ein $T \in L (E, G)$ mit $T |_{F} = T_{0}$ . Dabei gilt $∥ T ∥ = ∥ T_{0} ∥$ .

Beweis. (a) Ist $x \in X$ und ${(x_{n})}_{n}$ eine Folge in $D$ mit $x_{n} \to x$ für $n \to \infty$ , so ist ${(f_{0} (x_{n}))}_{n}$ eine Cauchyfolge in $Y$ , da $f$ gleichmäßig stetig ist. Da $Y$ vollständig ist, existiert somit $f (x) : = \lim_{n \to \infty} f_{0} (x_{n}) \in Y$ . Diese Deﬁnition ist auch unabhängig von der Wahl der Folge ${(x_{n})}_{n}$ , wie ein Folgenmischverfahren zeigt. Ferner ist die so deﬁnierte Funktion $f : X \to Y$ oﬀensichtlich die einzig stetige Funktion mit $f |_{D} = f_{0}$ (da $D \subseteq X$ dicht liegt). Man sieht leicht, dass $f$ eine Isometrie ist, falls dies für $f_{0}$ gilt.

(b) Übung (man verwende (a)). □

Seien $(E, ∥ \cdot ∥)$ ein normierter Raum, $F \subseteq E$ ein Unterraum und $φ \in F^{'}$ eine stetige Linearform auf $F$ bzgl. $∥ \cdot ∥$ . Ein Ziel dieses Kapitels ist es, die Existenz einer stetigen Fortsetzung $ψ \in E^{'}$ von $φ$ auf $E$ mit $∥ ψ ∥ = ∥ φ ∥$ nachzuweisen. Unter den folgenden Zusatzvoraussetzungen können wir dies bereits:

(1): $F \subseteq E$ ist dicht. Dann existiert genau eine solche Fortsetzung $ψ$ gemäß Satz 6.1.
(2): $E$ ist ein Hilbertraum. Dann kann man mit Satz 6.1 zunächst $φ$ auf $\bar{F} \subseteq E$ fortsetzen und dann $ψ : = φ \circ P \in E^{'}$ betrachten, wobei $P$ die orthogonale Projektion auf $\bar{F}$ sei. Dann hat $ψ$ die gewünschten Eigenschaften.
(3): In einem beliebigen normierten Raum $E$ reicht es, mit demselben Argument wie in (2), dass $\bar{F}$ in $E$ stetig projiziert ist.

Im Folgenden betrachten wir nun einen allgemeinen Rahmen für die skalarwertige Version dieses Problems, zunächst ohne die Stetigkeit zu berücksichtigen, aber stattdessen mit einer (absolut) konvexen dominierenden Funktion. Die Existenz einer dominierten Fortsetzung wird noch eine wichtige Rolle spielen. Speziell in normierten Räumen liefert sie stetige Fortsetzungen.

6.2 Satz(von Hahn-Banach, 1. Version). Seien $V$ ein $ℝ$ -Vektorraum, $U \subseteq V$ ein linearer Teilraum, $p : V \to ℝ$ konvex und $φ : U \to ℝ$ eine $ℝ$ -lineare Abbildung mit $φ (x) \leq p (x)$ für alle $x \in U$ . Dann existiert eine $ℝ$ -lineare Fortsetzung $ψ : V \to ℝ$ von $φ$ mit $ψ (x) \leq p (x)$ für alle $x \in V$ .

Beweis.1. Fall: $V = U \oplus span {z}$ für ein $z \in V \ U$ . Dann ist jede lineare Fortsetzung $ψ$ von $φ$ auf $V$ durch $ψ (z)$ bereits festgelegt, da dann

ψ (x + μ z) = φ (x) + μ ψ (z) für alle x \in U und μ \in ℝ gilt.

(6.1)

Seien $x, y \in U$ und $α, β > 0$ , und sei $λ : = \frac{β}{β + α}$ . Dann ist $0 < λ < 1$ und $1 - λ = \frac{α}{β + α}$ , also

\begin{array}{l} β φ (x) + α φ (y) & = φ (β x + α y) = (α + β) φ (λ x + (1 - λ) y) \\ \leq (α + β) p (λ (x - α z) + (1 - λ) (y + β z)) \\ \leq β p (x - α z) + α p (y + β z) \end{array}

und somit

\frac{1}{α} (φ (x) - p (x - α z)) \leq \frac{1}{β} (p (y + β z) - φ (y)) .

Also existiert $c \in ℝ$ mit

\sup_{\overset{x \in U}{α > 0}} \frac{1}{α} (φ (x) - p (x - α z)) \leq c \leq \inf_{\overset{x \in U}{α > 0}} \frac{1}{α} (p (x + α z) - φ (x))

Deﬁniere $ψ$ nun durch (6.1) mit $ψ (z) : = c$ . Dann gilt

ψ (x \pm α z) = φ (x) \pm α c \leq p (x \pm α z) für x \in U und α > 0,

und für $α = 0$ gilt dies nach Voraussetzung. Also hat $ψ$ die gewünschten Eigenschaften.

2. Allgemeiner Fall: Sei $Z$ die Menge aller Paare $(W, ψ)$ , wobei $W \subseteq V$ ein Unterraum mit $U \subseteq W$ und $ψ : W \to ℝ$ eine lineare Abbildung ist mit

ψ |_{U} = φ und ψ (x) \leq p (x) für alle x \in W .

Dann ist eine Halbordnung auf $≺$ auf $Z$ deﬁniert durch

(W_{1}, ψ_{1}) ≺ (W_{2}, ψ_{2}) : \Leftrightarrow W_{1} \subseteq W_{2} und ψ_{2} |_{W_{1}} = ψ_{1} .

Dabei besitzt jede Kette (d.h. totalgeordnete Teilmenge) $N \subseteq Z$ eine obere Schranke gegeben durch $(W_{0}, ψ_{0})$ mit

W_{0} : = {x \in V | es gibt (W, ψ) \in N mit x \in W}

und $ψ_{0} : W_{0} \to ℝ$ deﬁniert durch $ψ_{0} (x) : = ψ (x)$ falls $(W, ψ) \in N$ und $x \in W$ . Aus der Ketteneigenschaft erhält man, dass $W_{0} \subseteq V$ ein Unterraum und $ψ_{0}$ eine wohldeﬁnierte lineare Abbildung mit $ψ |_{U} = φ$ und $ψ (x) \leq p (x)$ für alle $x \in W$ ist. Das Zornsche Lemma besagt nun, dass die Menge $Z$ ein maximales Element $(W, ψ)$ bezüglich der Halbordnung $≺$ besitzt. Dabei muss $W = V$ sein, denn sonst könnte man $z \in V \ W$ wählen und $ψ$ entsprechend dem ersten Fall unter Erhalt der Abschätzung $ψ \leq p$ auf $W \oplus span {z}$ fortsetzen, was der Maximalität von $(W, ψ)$ widerspräche. Es folgt, dass $ψ : V \to ℝ$ die gewünschten Eigenschaften hat. □

_________________________ Ende des Inhalts für 2022-12-20 __________________________________

6.3 Satz(von Hahn-Banach, 2. Version). Seien $V$ ein $𝕂$ -Vektorraum, $U \subseteq V$ ein linearer Teilraum, $p : V \to ℝ$ absolut konvex und $φ : U \to 𝕂$ eine $𝕂$ -lineare Abbildung mit $| φ (x) | \leq p (x)$ für alle $x \in U$ . Dann existiert eine $𝕂$ -lineare Fortsetzung $ψ : V \to 𝕂$ von $φ$ mit $| ψ (x) | \leq p (x)$ für alle $x \in V$ .

Beweis.Für $𝕂 = ℝ$ folgt dies aus Satz 6.2: Hat man nämlich eine $ℝ$ -lineare Fortsetzung $ψ : V \to ℝ$ gefunden mit $ψ (x) \leq p (x)$ für alle $x \in V$ , so gilt auch

- ψ (x) = ψ (- x) \leq p (- x) = p (x) für alle x \in V

und damit $| ψ | \leq p$ . Sei daher im Folgenden $𝕂 = ℂ$ angenommen. Wir betrachten $γ : = Re φ : U \to ℝ$ . Dann ist $γ$ $ℝ$ -linear und es gilt:

γ (i x) = Re (i φ (x)) = - Im φ (x), also φ (x) = γ (x) - i γ (i x) für alle x \in U .

Ferner gilt $γ (x) \leq | φ (x) | \leq p (x)$ für alle $x \in U$ , und nach Satz 6.2 besitzt $γ$ eine $ℝ$ -lineare Fortsetzung $Γ : V \to ℝ$ mit $Γ (x) \leq p (x)$ für alle $x \in V$ . Sei nun $ψ : V \to ℂ$ deﬁniert durch $ψ (x) : = Γ (x) - i Γ (i x)$ . Dann ist $ψ$ eine $ℝ$ -lineare Fortsetzung von $φ$ . Ferner gilt $ψ (i x) = Γ (i x) - i Γ (- x) = i (Γ (x) - i Γ (i x)) = i ψ (x)$ , d.h. $ψ$ ist sogar $ℂ$ -linear. Schließlich existiert für jedes $x \in V$ ein $a \in ℂ$ , $| a | = 1$ mit $| ψ (x) | = a ψ (x) = ψ (a x) \in ℝ$ und somit

| ψ (x) | = Γ (a x) \leq p (a x) = p (x) .

Damit ist alles gezeigt. □

Sei im Folgenden $(E, ∥ \cdot ∥)$ ein normierter $𝕂$ -Vektorraum.

6.4 Satz(von Hahn-Banach, 3. Version). Sind ein linearer Teilraum $F$ von $E$ und $φ \in F^{'}$ gegeben, so existiert eine Fortsetzung $ψ \in E^{'}$ von $φ$ auf $E$ mit $∥ ψ ∥ = ∥ φ ∥$ .

Beweis.Sei $p : E \to ℝ$ deﬁniert durch $p (x) : = ∥ φ ∥ ∥ x ∥$ . Dann ist $p$ absolut konvex und $| φ | \leq p$ auf $F$ . Nach Satz 6.3 existiert eine $𝕂$ -lineare Fortsetzung $ψ : E \to 𝕂$ von $φ$ mit $| ψ (x) | \leq p (x) = ∥ φ ∥ ∥ x ∥$ für alle $x \in E$ , also $ψ \in E^{'}$ und $∥ ψ ∥ \leq ∥ φ ∥$ . Da ferner $ψ |_{F} = φ$ gilt, folgt $∥ ψ ∥ = ∥ φ ∥$ . □

Bemerkung: Ist $E$ separabel, so kann man Satz 6.4 auch ohne Verwendung des Zornschen Lemmas beweisen.

6.5 Korollar. Zu $x \in E \ {0}$ existiert ein $ψ \in E^{'}$ mit $ψ (x) = ∥ x ∥$ und $∥ ψ ∥ = 1$ .

Beweis.Seien $F : = span {x} \subseteq E$ und $φ \in F^{'}$ deﬁniert durch $φ (λ x) : = λ ∥ x ∥$ für $λ \in 𝕂$ . Nach Satz 6.4 existiert $ψ \in E^{'}$ mit $ψ |_{F} = φ$ und $∥ ψ ∥ = ∥ φ ∥ = 1$ . □

6.2 Dualität

Sei wieder $(E, ∥ \cdot ∥)$ ein normierter Raum.

6.6 Deﬁnition. Wir setzen $E^{″} : = {(E^{'})}^{'} = L (E^{'}, 𝕂)$ und deﬁnieren die Abbildung $i_{E} : E \to E^{″}$ durch

i_{E} (x) (φ) : = φ (x) für x \in E und φ \in E^{'} .

6.7 Satz. $i_{E} : E \to E^{″}$ ist eine lineare Isometrie.

Beweis.Die Linearität von $i_{E}$ ist einfach zu sehen. Ferner gilt für $x \in E$ und $φ \in E^{'}$ :

| i_{E} (x) (φ) | = | φ (x) | \leq ∥ φ ∥ ∥ x ∥, also ∥ i_{E} (x) ∥ \leq ∥ x ∥ .

Sei nun $x \in E \ {0}$ . Nach Korollar 6.5 existiert $ψ \in E^{'}$ mit $∥ ψ ∥ = 1$ und $ψ (x) = ∥ x ∥$ , also $| i_{E} (x) (ψ) | = | ψ (x) | = ∥ x ∥ ∥ ψ ∥$ . Es folgt $∥ i_{E} (x) ∥ \geq ∥ x ∥$ , und insgesamt folgt Gleichheit. Also ist $i_{E}$ eine Isometrie. □

6.8 Korollar. Jeder normierte Raum $(E, ∥ \cdot ∥)$ ist isometrisch und dicht in einem Banachraum $Ê$ eingebettet, welcher bis auf isometrische Isomorphie eindeutig bestimmt ist. Man nennt $Ê$ dieVervollständigung von $E$ .

Beweis.Wähle $Ê : = \bar{Bild i_{E}} \subseteq E^{″}$ . Da $E^{″}$ ein Banachraum ist, ist $Ê$ dies auch. Ferner ist $i_{E} : E \to E^{″}$ eine Isometrie und $Bild i_{E}$ dicht in $Ê$ , wie gewünscht. Die Eindeutigkeit von $Ê$ bis auf Isomorphie folgt mit einem einfachen Folgenargument aus der Voraussetzung, dass die Einbettungen lineare Isometrien sind. □

Im Folgenden sei $(F, ∥ \cdot ∥)$ stets ein weiterer normierter $𝕂$ -Vektorraum.

6.9 Deﬁnition und Satz. Für $T \in L (E, F)$ ist der duale Operator $T^{'} \in L (F^{'}, E^{'})$ wohldeﬁniert durch

(T^{'} φ) (x) : = φ (T x) für φ \in F^{'} und x \in E .

Ferner sei $T^{″} : = {(T^{'})}^{'} \in L (E^{″}, F^{″})$

Beweis der Wohldeﬁniertheit und Stetigkeit von $T^{'}$ . Für $φ \in F^{'}$ und $x \in E$ ist

| (T^{'} φ) (x) | = | φ (T x) | \leq ∥ φ ∥ ∥ T ∥ ∥ x ∥,

also $T^{'} φ \in E^{'}$ mit $∥ T^{'} φ ∥ \leq ∥ T ∥ ∥ φ ∥$ . Da $T^{'}$ oﬀensichtlich linear ist, folgt $T^{'} \in L (F^{'}, E^{'})$ mit $∥ T^{'} ∥ \leq ∥ T ∥$ . □

6.10 Satz. Für $T \in L (E, F)$ gilt

(a): $∥ T ∥ = ∥ T^{'} ∥$
(b): Das Diagramm $\begin{matrix} E & \overset{T}{\to} & F \\ i_{E} ↓ & i_{F} ↓ \\ E^{″} & \overset{T^{″}}{\to} & F^{″} \end{matrix}$ kommutiert, d.h. es gilt $i_{F} \circ T = T^{″} \circ i_{E}$ .

Beweis.Zuerst zu (b): Für $x \in E$ und $φ \in F^{'}$ gilt

i_{F} (T x) (φ) = φ (T x) = (T^{'} φ) (x) = i_{E} (x) (T^{'} φ) = (T^{″} i_{E} (x)) (φ),

also $(i_{F} \circ T) (x) = (T^{″} \circ i_{E}) (x)$ . Dies zeigt (b).

Nun zu (a): Der Beweis von Deﬁnition und Satz 6.9 zeigt direkt: $∥ T ∥ \geq ∥ T^{'} ∥ \geq ∥ T^{″} ∥$ . Da $i_{E}$ und $i_{F}$ Isometrien sind, ist andererseits

∥ T^{″} ∥ \geq ∥ T^{″} \circ i_{E} ∥ \overset{(b)}{=} ∥ i_{F} \circ T ∥ = ∥ T ∥ .

Es folgt: $∥ T^{″} ∥ = ∥ T ∥ = ∥ T^{'} ∥$ . □

6.11 Satz. Sei $T \in L (E, F)$ .

(a): Ist $(G, ∥ \cdot ∥)$ ein weiterer normierter $𝕂$ -Vektorraum und $S \in L (F, G)$ , so gilt ${(S T)}^{'} = T^{'} S^{'} \in L (G^{'}, E^{'})$ .
(b): Ist $T$ ein topologischer Isomorphismus, so auch $T^{'}$ , und es gilt ${(T^{'})}^{- 1} = {(T^{- 1})}^{'} \in L (E^{'}, F^{'})$ .

Beweis. (a) Für $φ \in G^{'}$ und $x \in E$ ist

({(S T)}^{'} (φ)) (x) = φ (S T x) = (S^{'} φ) (T x) = (T^{'} S^{'} φ) (x),

also ${(S T)}^{'} (φ) = T^{'} S^{'} φ$ für $φ \in G^{'}$ und somit ${(S T)}^{'} = T^{'} S^{'} \in L (G^{'}, E^{'})$ . (b) folgt direkt aus (a). □

6.12 Deﬁnition. Für $M \subseteq E$ und $N \subseteq E^{'}$ sei

\begin{array}{l} M^{⊥} & : = {φ \in E^{'} | φ (x) = 0 für alle x \in M}, \\ N^{⊥} & : = {x \in E | φ (x) = 0 für alle φ \in N} . \end{array}

6.13 Bemerkung.

(a): Die Notation in Deﬁnition 6.12 kann für Teilmengen von $E^{'}$ doppeldeutig sein: Es muss aus dem Zusammenhang klar werden, ob man das duale Paar $(E, E^{'})$ oder das duale Paar $(E^{'}, E^{″})$ betrachtet. Falls nicht extra erwähnt, meinen wir hier immer das Paar $(E, E^{'})$ .
(b): Ist $E$ ein Hilbertraum und identiﬁziert man $E^{'}$ mit $E$ mittels des Rieszschen Darstellungssatzes, d.h. vermöge der Abbildung $E \to E^{'}, x \mapsto ⟨ \cdot, x ⟩$ , so stimmt die obige Deﬁnition der „Orthogonalkomplemente“ mit der in Kapitel 5 überein.

6.14 Satz. Für $M \subseteq E$ gilt:

(a): $M^{⊥}$ ist ein abgeschlossener Unterraum von $E^{'}$ .
(b): $M^{⊥} = {(\bar{span M})}^{⊥}$ .

Für $N \subseteq E^{'}$ gelten analoge Aussagen.

Beweis.Leichte Übung. □

6.15 Satz.

(a): Für $M \subseteq E$ gilt $M^{⊥ ⊥} = \bar{span M}$ .
(b): Für $N \subseteq E^{'}$ gilt $\bar{span N} \subseteq N^{⊥ ⊥}$ .
(c): Ist $T \in L (E, F)$ , so gilt $Kern T^{'} = {(Bild T)}^{⊥}$ und $Kern T = {(Bild T^{'})}^{⊥}$ .

6.16 Bemerkung. In (b) gilt im Allgemeinen keine Gleichheit, siehe Beispiele 6.17 (d). Wählt man in (c) insbesondere $E = F$ und $T = I$ , so erhält man ${0_{E^{'}}} = E^{⊥}$ und ${0_{E}} = {(E^{'})}^{⊥}$ .

Beweis von Satz 6.15. (a) „ $\supseteq$ “: Wegen Satz 6.14 ist $M^{⊥} = {(\bar{span M})}^{⊥}$ ; für $x \in \bar{span M}$ und $φ \in M^{⊥}$ gilt also $φ (x) = 0$ . Es folgt $\bar{span M} \subseteq M^{⊥ ⊥}$ . „ $\subseteq$ “: Sei $x \notin F : = \bar{span M}$ . Dann ist die Projektion $P : F \oplus span {x} \to span {x}$ mit $Kern P = F$ stetig nach Satz 3.24 (a). Sei nun $φ \in {(F \oplus span {x})}^{'}$ deﬁniert durch $φ : = h \circ P$ , wobei die lineare Abbildung $h : span {x} \to 𝕂$ deﬁniert sei durch $h (x) : = 1$ . Nach Satz 6.4 existiert eine Fortsetzung $ψ \in E^{'}$ von $φ$ , d.h. insbesondere ist $ψ |_{M} = φ |_{M} = 0$ und $ψ (x) = φ (x) = 1$ . Also ist $ψ \in M^{⊥}$ und $x \notin M^{⊥ ⊥}$ .

(b) Wegen Satz 6.14 ist $N^{⊥} = {(\bar{span N})}^{⊥}$ ; für $φ \in \bar{span N}$ und $x \in N^{⊥}$ gilt also $φ (x) = 0$ . Es folgt $\bar{span N} \subseteq N^{⊥ ⊥}$ .

Kern T^{'} = {φ \in F^{'} | 0 = (T^{'} φ) (x) = φ (T x) für alle x \in E} = {(Bild T)}^{⊥} .

Ist ferner $x \in Kern T$ , d.h. $T x = 0$ , so gilt $0 = φ (T x) = (T^{'} φ) (x)$ für alle $φ \in F^{'}$ , also $x \in {(Bild T^{'})}^{⊥}$ . Ist anderseits $x \notin Kern T$ , d.h. $T x \neq 0$ , so existiert nach Korollar 6.5 ein $ψ \in F^{'}$ mit $0 \neq ψ (T x) = (T^{'} ψ) (x)$ , also $x \notin {(Bild T^{'})}^{⊥}$ . □

6.17 Beispiele.

(a)

Seien

U \subseteq E

ein Unterraum und

j : U \to E

die Inklusion. Dann ist

R : = j^{'} : E^{'} \to U^{'}

die Restriktion, deﬁniert durch

R φ : = φ |_{U}

für

φ \in E^{'}

, da gilt:

(R φ) (x) = φ (j (x)) für x \in U, φ \in E^{'} .

Dabei ist $R$ surjektiv nach Satz 6.4. Ferner gilt

Kern R = {(Bild j)}^{⊥} = U^{⊥} .

(b)

Sei

E : = ℓ^{1}

. Für

x = {(x_{k})}_{k} \in ℓ^{\infty}

ist dann eine stetige Linearform

φ_{x} \in {(ℓ^{1})}^{'}

deﬁniert durch

φ_{x} (y) : = \sum_{k = 1}^{\infty} x_{k} y_{k} für y = {(y_{k})}_{k} \in ℓ^{1} .

Wir zeigen, dass die Abbildung

ℓ^{\infty} \to {(ℓ^{1})}^{'}, x \mapsto φ_{x}

ein isometrische Isomorphismus ist: Sei dazu zunächst $x \in ℓ^{\infty}$ . Wegen $| φ_{x} (y) | \leq ∥ x ∥_{\infty} ∥ y ∥_{1}$ für $y \in ℓ^{1}$ ist dann $∥ φ_{x} ∥ \leq ∥ x ∥_{\infty}$ . Für beliebiges $k \in ℕ$ und $y : = {\bar{x}}_{k} e_{k}$ gilt

| x_{k} |^{2} = φ_{x} (y) \leq ∥ φ_{x} ∥ ∥ y ∥_{1} = ∥ φ_{x} ∥ | x_{k} |, also ∥ φ_{x} ∥ \geq | x_{k} | .

Somit folgt $∥ φ_{x} ∥ \geq \sup_{k \in ℕ} | x_{k} | = ∥ x ∥_{\infty}$ und insgesamt $∥ φ_{x} ∥ = ∥ x ∥_{\infty}$ . Es bleibt noch die Surjektivität der Abbildung zu zeigen. Sei dazu $φ \in {(ℓ^{1})}^{'}$ beliebig und $x_{k} : = φ (e_{k})$ für $k \in ℕ$ . Wie oben folgt dann

| x_{k} |^{2} = φ ({\bar{x}}_{k} e_{k}) \leq ∥ φ ∥ | x_{k} |, also | x_{k} | \leq ∥ φ ∥

und somit $∥ x ∥_{\infty} \leq ∥ φ ∥$ für $x = {(x_{k})}_{k}$ . Also ist $x \in ℓ^{\infty}$ , und für $y \in ℓ^{1}$ gilt

φ_{x} (y) = \sum_{k = 1}^{\infty} x_{k} y_{k} = \sum_{k = 1}^{\infty} y_{k} φ (e_{k}) = φ (\sum_{k = 1}^{\infty} y_{k} e_{k}) = φ (y),

d.h. $φ = φ_{x}$ .

(c)

Die Abbildung

x \mapsto φ_{x}

aus (b) deﬁniert im Fall

p \in (1, \infty)

auch einen isometrischen Isomorphismus

ℓ^{p^{'}} \to {(ℓ^{p})}^{'}

(Übung). Hier ist

p^{'} = \frac{p}{p - 1}

wie üblich der konjugierte Exponent zu

p

. Im Fall

p = \infty

ist die Abbildung

ℓ^{1} \to {(ℓ^{\infty})}^{'}, x \mapsto φ_{x}

zwar immer noch eine Isometrie, aber nicht mehr surjektiv (Übung).

(d)

Wir zeigen, dass für

N \subseteq E^{'}

im Allgemeinen nicht

\bar{span N} = N^{⊥ ⊥}

gilt. Sei dazu

E = ℓ^{1}

und

ℓ^{\infty} \to {(ℓ^{1})}^{'}, x \mapsto φ_{x}

der isometrische Isomorphismus aus (b). Sei ferner

N : = {φ_{e_{k}} | k \in ℕ} \subseteq {(ℓ^{1})}^{'} .

Für $y = {(y_{k})}_{k} \in N^{⊥} \subseteq ℓ^{1}$ gilt dann

y_{k} = φ_{e_{k}} (y) = 0 für alle k,

also $y = 0$ . Somit ist $N^{⊥} = {0}$ , also $N^{⊥ ⊥} = {(ℓ^{1})}^{'}$ . Andererseits ist

span N = {φ_{x} | x \in F},

wobei $F$ wie bisher den Raum der ﬁniten Folgen bezeichne. Dies liefert wegen (b) dann

\bar{span N} = {φ_{x} | x \in {\bar{F}}^{ℓ^{\infty}}} = {φ_{x} | x ist Nullfolge} ⊊ {φ_{x} | x \in ℓ^{\infty}} = {(ℓ^{1})}^{'} .

Somit folgt $\bar{span N} ⊊ N^{⊥ ⊥}$ .

_________________________ Ende des Inhalts für 2022-12-23 __________________________________

6.3 Trennungssätze

Sei wieder $(E, ∥ \cdot ∥)$ ein normierter Raum.

6.18 Deﬁnition und Satz. Sei $C \subseteq E$ konvex mit $0 \in \ddot{C}$ , und sei $γ_{C} : E \to ℝ$ die Eichfunktion, deﬁniert durch

γ_{C} (x) = \inf {t > 0 | x \in t C} = \inf {t > 0 | \frac{x}{t} \in C} .

Dann ist $γ_{C}$ sublinear, d.h. für $x, y \in E$ und $λ \geq 0$ gilt

γ_{C} (λ x) = λ γ_{C} (x) und γ_{C} (x + y) \leq γ_{C} (x) + γ_{C} (y) .

Insbesondere ist $γ_{C}$ also konvex, wie man leicht sieht.

Beweis.Komplett analog zum Beweis von Satz 2.6. □

6.19 Satz(Trennungssatz von Mazur). Sei $C \subseteq E$ konvex und oﬀen, und sei $W \subseteq E$ ein Unterraum. Sei ferner $x_{0} \in E$ mit $C \cap (x_{0} + W) = \emptyset$ gegeben. Dann existieren $ψ \in E^{'}$ und $α \in ℝ$ mit

Re ψ (x) < α für x \in C und Re ψ |_{x_{0} + W} \equiv α .

(6.2)

Beweis.Zuerst beweisen wir den Fall $𝕂 = ℝ$ .

1. Fall: $0 \in C$ . Dann ist $0 \notin x_{0} + W$ und somit $x_{0} \notin W$ . Setze $U : = W \oplus span {x_{0}}$ und deﬁniere die lineare Abbildung $φ : U \to ℝ$ durch $φ (w + λ x_{0}) : = λ$ für $w \in W$ , $λ \in ℝ$ . Für $w \in W$ und $λ > 0$ gilt nun $\frac{1}{λ} w + x_{0} \notin C$ , also $w + λ x_{0} \notin λ C$ und somit (da $0$ in $C$ liegt und $C$ konvex ist)

w + λ x_{0} \notin t C für t \in [0, λ] .

Es folgt

γ_{C} (w + λ x_{0}) = \inf {t > 0 | w + λ x_{0} \in t C} \geq λ = φ (w + λ x_{0})

Dies gilt oﬀensichtlich auch für $λ \leq 0$ , und somit ist $φ \leq γ_{C}$ auf ganz $U$ . Nach Satz 6.2 und Deﬁnition und Satz 6.18 existiert also eine lineare Fortsetzung $ψ : E \to ℝ$ mit $ψ \leq γ_{C}$ auf $E$ . Insbesondere ist dann $ψ \equiv 1$ auf $x_{0} + W$ und $ψ \leq γ_{C} < 1$ auf $C$ nach Deﬁnition von $γ_{C}$ , da $C$ oﬀen ist. Ferner ist $ψ$ stetig, denn nach Voraussetzung existiert $𝜀 > 0$ mit $B_{𝜀} (0) \subseteq C$ , und somit ist

ψ \leq γ_{C} \leq 1 auf B_{𝜀} (0) .

Aufgrund der Linearität folgt dann $| ψ | \leq 1$ auf $B_{𝜀} (0)$ und somit $\sup_{B_{1} (0)} | ψ | \leq \frac{1}{𝜀}$ ; und dies liefert die Stetigkeit von $ψ$ . Insgesamt folgt also die Behauptung für $ψ$ mit $α = 1$ .

2. Fall: $0 \notin C$ . Wähle dann $x_{1} \in C$ und betrachte $C^{'} : = C - x_{1}$ sowie $x_{0}^{'} : = x_{0} - x_{1}$ . Der erste Fall liefert dann $ψ \in E^{'}$ mit $ψ |_{C^{'}} < 1$ und $ψ |_{x_{0}^{'} + W} \equiv 1$ . Mit $α : = 1 + ψ (x_{1})$ folgt also

ψ |_{C} < α und ψ |_{x_{0} + W} \equiv α,

wie gewünscht.

Falls $𝕂 = ℂ$ gilt, dann ist $E$ auch ein $ℝ$ -Vektorraum, und $W$ ist ein reell-linearer Teilraum von $E$ . Mit dem Ergebnis von oben erhalten wir $α \in ℝ$ und ein stetiges reell lineares Funktional $\tilde{ψ} : E \to ℝ$ , so dass (6.2) erfüllt ist. Wir erhalten das gesuchte $ψ \in E^{'}$ , indem wir für $x \in E$ setzen: $ψ (x) : = \tilde{ψ} (x) - i \tilde{ψ} (i x)$ ; siehe auch den Beweis von Satz 6.3. □

6.20 Korollar. Seien $C_{1}, C_{2} \subseteq E$ nichtleer und konvex mit $C_{1} \cap C_{2} = \emptyset$ .

(a)

Ist

C_{1}

oﬀen, so existieren

ψ \in E^{'}

und

α \in ℝ

mit

Re ψ (x) < α für x \in C_{1} und Re ψ (x) \geq α für x \in C_{2} .

Ist zusätzlich $C_{2}$ oﬀen, so ist die zweite Ungleichung ebenfalls strikt.

(b)

Ist

C_{1}

kompakt und

C_{2}

abgeschlossen, so existieren

ψ \in E^{'}

und

α_{1}, α_{2} \in ℝ

mit

Re ψ (x) < α_{1} < α_{2} < Re ψ (y) für x \in C_{1}, y \in C_{2} .

Beweis. (a) Wir setzen $C : = C_{1} - C_{2}$ . Dann ist $C$ oﬀen, konvex und $0 \notin C$ , da $C_{1} \cap C_{2} = \emptyset$ gilt. Anwendung von Satz 6.19 auf $C$ , $W = {0}$ und $x_{0} = 0$ liefert $ψ \in E^{'}$ mit

Re ψ (z) < Re ψ (0) = 0 für alle z \in C,

also

Re ψ (x) < Re ψ (y) für alle x \in C_{1}, y \in C_{2} .

Für alle $x \in C_{1}$ ist somit $Re ψ (x) \leq α : = \inf_{C_{2}} Re ψ$ . Da $C_{1}$ oﬀen ist, folgt $Re ψ (x) < α$ (Übung, dieser Beweisschritt wird später ergänzt). Ist $C_{2}$ ebenfalls oﬀen, so folgt genauso auch $Re ψ (x) > α$ für alle $x \in C_{2}$ .

(b) Nach Voraussetzung existiert $𝜀 > 0$ mit

U_{𝜀} (C_{1}) \cap C_{2} = \emptyset .

Anwendung von (a) auf die konvexen Mengen $U_{𝜀} (C_{1})$ und $C_{2}$ liefert $ψ \in E^{'}$ mit

Re ψ (C_{1}) \subseteq Re ψ (U_{𝜀} (C_{1})) \subseteq (- \infty, α) und Re ψ (C_{2}) \subseteq [α, \infty) .

da $Re ψ (C_{1})$ kompakt ist, folgt die Behauptung. □

6.21 Bemerkung. Auf die Voraussetzung der Oﬀenheit kann man in Korollar 6.20 im Allgemeinen nicht verzichten (Übung).

6.4 Schwache Konvergenz und schwach $^{*}$ -Konvergenz

Seien im Folgenden stets $E, F$ normierte Räume über $𝕂$ .

6.22 Deﬁnition. Eine Folge ${(x_{n})}_{n} \subseteq E$ heißt schwach konvergent gegen $x \in E$ , wenn gilt:

\lim_{n \to \infty} ψ (x_{n}) = ψ (x) für alle ψ \in E^{'} .

Wir schreiben dann $x_{n} ⇀ x$ und $x = {w-lim}_{n \to \infty} x_{n}$ .

6.23 Bemerkungen und Beispiele.

(a)

Der schwache Grenzwert

x

einer schwach konvergenten Folge

{(x_{n})}_{n} \subseteq E

ist eindeutig bestimmt, denn gilt auch

x_{n} ⇀ y \in E

, so folgt

ψ (y - x) = ψ (y) - ψ (x) = \lim_{n \to \infty} (ψ (x_{n}) - ψ (x_{n})) = 0 für alle ψ \in E^{'}

und somit $y - x = 0$ gemäß Korollar 6.5.

(b)

Konvergenz in

E

impliziert schwache Konvergenz.

(c)

Die schwach konvergenten Folgen bilden einen Unterraum des

𝕂

-Vektorraums aller Folgen in

E

, und die schwache Grenzwertbildung ist

𝕂

-linear.

(d)

Seien

p, q > 1

zueinander konjugierte Exponenten. Nach Beispiele 6.17 (c) gilt dann

{(ℓ^{p})}^{'} = ℓ^{q}

. Es folgt mit dem dort deﬁnierten isometrischen Isomorphismus

ℓ^{q} \to {(ℓ^{p})}^{'}

x \mapsto φ_{x}

\lim_{n \to \infty} φ_{x} (e_{n}) = \lim_{n \to \infty} x_{n} = 0 für alle x \in ℓ^{q},

also $e_{n} ⇀ 0$ in $ℓ^{p}$ .

(e)

Ist

{(x_{n})}_{n} \subseteq ℓ^{1}

eine Folge mit

x_{n} ⇀ x

ℓ^{1}

so folgt

x_{n} \to x

(Für einen Beweis siehe Schröder, Funktionalanalysis) .

(f)

Sei

H

ein Hilbertraum. Dann ist

H^{'}

isometrisch (antilinear) isomorph zu

H

vermöge der Abbildung

H \to H^{'}, y \mapsto ⟨ \cdot, y ⟩

. Somit gilt für eine Folge

{(x_{n})}_{n} \subseteq H

und

x \in H

x_{n} ⇀ x \Leftrightarrow ⟨ x_{n}, y ⟩ \to ⟨ x, y ⟩ für alle y \in H .

(6.3)

Ist ${e_{n} | n \in ℕ}$ ein Orthonormalsystem in $H$ , so gilt $e_{n} ⇀ 0$ , denn für alle $y \in H$ bilden die Fourierkoeﬃzienten $\bar{⟨ e_{n}, y ⟩} = ⟨ y, e_{n} ⟩$ gemäß der Besselschen Ungleichung (Satz 5.23) eine Folge in $ℓ^{2}$ , also eine Nullfolge.

(g)

Sei

H = L^{2} (ℝ)

(bzgl. des Lebesgue-Maßes), sei

u \in H \ {0}

gegeben und sei

u_{n} \in H

deﬁniert durch

u_{n} (x) : = u (x - n)

. Dann gilt

∥ u_{n} ∥ = ∥ u ∥ > 0

für alle

n \in ℕ

, und somit

u_{n} \to̸ 0

für

n \to \infty

. Behauptung:

u_{n} ⇀ 0

für

n \to \infty

. Zum Beweis verwenden wir (6.3). Sei dazu

v \in H

beliebig. Dann ist

⟨ u_{n}, v ⟩ = \int_{ℝ} u (x - n) \bar{v (x)} d x für alle n \in ℕ .

(6.4)

Weil $C_{c} (ℝ)$ in $H$ dicht liegt, existieren zu beliebigem $𝜀 \in (0, 1)$ Funktionen $ũ, ṽ \in C_{c} (ℝ)$ mit $∥ v - ṽ ∥ < 𝜀$ und $∥ u - ũ ∥ < 𝜀$ , also auch $∥ u_{n} - ũ_{n} ∥ < 𝜀$ für $ũ_{n} \in H$ , deﬁniert durch $ũ_{n} (x) : = ũ (x - n)$ , $n \in ℕ$ . Ferner gibt es $n_{0} \in ℕ$ , so dass für alle $n \geq n_{0}$ gilt: $⟨ ũ_{n}, ṽ ⟩ = 0$ , wegen (6.4) und weil für große $n$ $supp (ũ_{n})$ und $supp (ṽ)$ disjunkt sind. Somit folgt für $n \geq n_{0}$ :

\begin{matrix} | ⟨ u_{n}, v ⟩ | = | ⟨ u_{n}, v ⟩ - ⟨ ũ_{n}, ṽ ⟩ | \leq ∥ u_{n} ∥ ∥ v - ṽ ∥ + ∥ u_{n} - ũ_{n} ∥ ∥ ṽ ∥ \\ \leq 𝜀 (∥ u ∥ + ∥ v ∥ + 1) . \end{matrix}

Die Behauptung folgt.

6.24 Satz. Sei ${(x_{n})}_{n} \subseteq E$ eine Folge und $x \in E$ . Dann gilt:

(a)

x_{n} ⇀ x

\Rightarrow

{(x_{n})}_{n}

ist beschränkt in

E

(b)

Ist

{(x_{n})}_{n} \subseteq E

beschränkt und

M \subseteq E^{'}

eine totale Menge mit

\lim_{n \to \infty} φ (x_{n}) = φ (x) für alle φ \in M,

so gilt $x_{n} ⇀ x$ .

Beweis. (a) Sei $i_{E} : E \to E^{″}$ der isometrische Homomorphismus aus Deﬁnition 6.6. Dann ist für jedes $ψ \in E^{'}$ die Menge ${(i_{E} x_{n}) (ψ) = ψ (x_{n}) | n \in ℕ} \subseteq 𝕂$ beschränkt. Weil $E^{'}$ ein Banachraum ist ist, folgt aus dem Satz von der gleichmäßigen Beschränktheit (Hauptsatz 3.8), dass die Menge ${i_{E} x_{n} | n \in ℕ}$ in $E^{″}$ und somit auch die Menge ${x_{n} | n \in ℕ}$ in $E$ beschränkt ist, da $i_{E}$ eine Isometrie ist.

(b) Oﬀensichtlich gilt

φ (x) = \lim_{n \to \infty} φ (x_{n}) für alle φ \in G : = span M \subseteq E^{'} .

Weil sowohl $E^{'}$ als auch $E^{″}$ Banachräume sind und $(i_{E} x_{n})$ in $E^{″}$ beschränkt ist, liefert uns Korollar 3.9 (c) ein $Λ \in E^{″}$ , so dass $i_{E} x_{n} \to Λ$ punktweise auf ganz $E^{'}$ gilt. Wegen

Λ φ = \lim_{n \to \infty} (i_{E} x_{n}) (φ) = (i_{E} x) (φ) für alle φ \in span M,

weil $span M$ dicht in $E^{'}$ liegt und weil $Λ$ und $i_{E} x$ auf $E^{'}$ stetig sind, folgt $Λ = i_{E} x$ und somit die Behauptung. □

6.25 Satz. Sei $C \subseteq E$ abgeschlossen und konvex, und sei ${(x_{n})}_{n}$ eine Folge in $C$ mit $x_{n} ⇀ x \in E$ . Dann ist $x \in C$ .

Beweis.Wäre $x \notin C$ , so würden nach Korollar 6.20 (b) ein $ψ \in E^{'}$ und $α \in ℝ$ existieren mit $Re ψ |_{C} > α > Re ψ (x)$ , also

Re ψ (x) = \lim_{n \to \infty} Re ψ (x_{n}) \geq α > Re ψ (x),

ein Widerspruch. □

6.26 Korollar. Sei ${(x_{n})}_{n} \subseteq E$ eine Folge mit $x_{n} ⇀ x \in E$ . Dann gilt $∥ x ∥ \leq {liminf}_{n \in ℕ} ∥ x_{n} ∥$ .

Beweis.Sei $r : = {liminf}_{n \to \infty} ∥ x_{n} ∥$ . Nach Übergang zu einer Teilfolge können wir annehmen, dass $\lim_{n \to \infty} ∥ x_{n} ∥ = r$ gilt. Wir geben nun zwei alternative Argumente zum Abschluss des Beweises: 1. Seien $𝜀 > 0$ und $C_{𝜀} : = B_{r + 𝜀} (0) \subseteq E$ . Dann ist $C_{𝜀} \subseteq E$ abgeschlossen und konvex, und es existiert $n_{0} \in ℕ$ mit $x_{n} \in C_{𝜀}$ für $n \geq n_{0}$ . Mit Satz 6.25 folgt $x \in C_{𝜀}$ , also $∥ x ∥ \leq r + 𝜀$ . Es folgt $∥ x ∥ \leq r$ , da $𝜀 > 0$ beliebig gewählt war. 2. Für alle $φ \in E^{'}$ gilt

| (i_{E} x) (φ) | = | φ (x) | = \lim_{n \to \infty} | φ (x_{n}) | \leq ∥ φ ∥ \lim_{n \to \infty} ∥ x_{n} ∥ = r ∥ φ ∥,

also $∥ i_{E} x ∥ \leq r$ . Da $i_{E}$ eine Isometrie ist, folgt $∥ x ∥ \leq r$ . □

6.27 Satz. Sei ${(x_{n})}_{n} \subseteq E$ eine Folge mit $x_{n} ⇀ x \in E$ .

(a)

Ist

B \subseteq E^{'}

präkompakt, so ist die Konvergenz

φ (x_{n}) \to φ (x)

gleichmäßig in

φ \in B

, d.h.

σ_{n} : = \sup_{φ \in B} | φ (x_{n}) - φ (x) | \to 0 für n \to \infty .

(b)

Ist

{(φ_{n})}_{n} \subseteq E^{'}

eine Folge mit

φ_{n} \to φ

, so folgt

φ_{n} (x_{n}) \to φ (x)

Beweis. (a) Sei $y_{n} : = x_{n} - x$ für $n \in ℕ$ , dann gilt $y_{n} ⇀ 0$ . Sei ferner $𝜀 > 0$ . Wegen Satz 6.24 ist $M : = \sup_{n \in ℕ} ∥ y_{n} ∥ < \infty$ . Da $B$ präkompakt ist, existieren $φ_{1}, \dots, φ_{k} \in B$ mit $B \subseteq ⋃_{i = 1}^{k} B_{\frac{𝜀}{2 M}} (φ_{i})$ . Ferner existiert $n_{0} \in ℕ$ mit $| φ_{i} (y_{n}) | \leq \frac{𝜀}{2}$ für $i = 1, \dots, k$ und $n \geq n_{0}$ . Zu beliebigen $φ \in B$ existiert nun $i \in {1, \dots, k}$ mit $∥ φ - φ_{i} ∥ \leq \frac{𝜀}{2 M}$ . Für $n \geq n_{0}$ ist also

| φ (y_{n}) | \leq | (φ - φ_{i}) (y_{n}) | + | φ_{i} (y_{n}) | \leq \frac{𝜀}{2 M} ∥ y_{n} ∥ + \frac{𝜀}{2} \leq 𝜀

und somit $σ_{n} = \sup_{φ \in B} | φ (y_{n}) | \leq 𝜀$ .

(b) Nach Voraussetzung ist $B : = {φ_{k} | k \in ℕ} \subseteq E^{'}$ relativ kompakt, also präkompakt. Ferner gilt

σ_{n} = \sup_{k \in ℕ} | φ_{k} (x_{n}) - φ_{k} (x) | \to 0 für n \to \infty,

also

| φ_{n} (x_{n}) - φ (x) | \leq \underset{\leq σ_{n}}{\underset{︸}{| φ_{n} (x_{n}) - φ_{n} (x) |}} + | φ_{n} (x) - φ (x) | \to 0 für n \to \infty . □

6.28 Bemerkung. Sei $T \in L (E, F)$ . Dann ist $T$ auch „schwach folgenstetig“: Ist ${(x_{n})}_{n} \subseteq E$ eine Folge mit $x_{n} ⇀ x \in E$ , dann gilt $T x_{n} ⇀ T x$ in $F$ . Für alle $ψ \in F^{'}$ haben wir nämlich mit $φ : = ψ \circ T \in E^{'}$ :

\lim_{n \to \infty} ψ (T x_{n}) = \lim_{n \to \infty} φ (x_{n}) = φ (x) = ψ (T x) .

_________________________ Ende des Inhalts für 2023-01-10 __________________________________

6.29 Deﬁnition. Eine Folge ${(ψ_{n})}_{n} \subseteq E^{'}$ heißt schwach $^{*}$ -konvergent gegen $ψ \in E^{'}$ , wenn sie auf $E$ punktweise gegen $ψ$ konvergiert, d.h. wenn gilt:

\lim_{n \to \infty} ψ_{n} (x) = ψ (x) für alle x \in E .

Wir schreiben dann $ψ_{n} \overset{w *}{⇀} ψ$ und $ψ = {w*-lim}_{n \to \infty} ψ_{n}$ .

6.30 Bemerkung und Beispiel.

(a)

Vermöge der Abbildung

ℓ^{\infty} \to {(ℓ^{1})}^{'}, x \mapsto φ_{x}

aus Beispiele 6.17 können wir

ℓ^{\infty}

mit

{(ℓ^{1})}^{'}

identiﬁzieren. Sei

x^{n} = {(x_{k}^{n})}_{k} \in ℓ^{\infty}

für

n \in ℕ

deﬁniert durch

x_{k}^{n} = 0

für

k \leq n

und

x_{k}^{n} = 1

für

k > n

. Dann gilt

{w*-lim}_{n \to \infty} x^{n} = 0

, denn

φ_{x^{n}} (y) = \sum_{k = n + 1}^{\infty} y_{k} \to 0 für alle y \in ℓ^{1} .

Allerdings gilt $x^{n} ⇀̸ 0$ in $ℓ^{\infty}$ (Übung).

(b)

Satz 6.25 gilt i.A. nicht für die schwach

^{*}

-Konvergenz in

E^{'}

. Um dies zu sehen, betrachten wir die konvexe und abgeschlossene Teilmenge

C \subseteq ℓ^{\infty}

der gegen

1

konvergierenden Folgen. Für die Folge

(x^{n}) \subseteq C

aus (a) haben wir dann

{w*-lim}_{n \to \infty} x^{n} = 0

, aber

0 \notin C

(c)

Korollar 6.26 gilt analog auch für die schwach

^{*}

-Konvergenz: Sei

{(ψ_{n})}_{n} \subseteq E^{'}

eine Folge mit

ψ_{n} \overset{w *}{⇀} ψ \in E^{'}

. Dann gilt

| ψ (x) | = \lim_{n \to \infty} | ψ_{n} (x) | \leq \underset{n \to \infty}{liminf} ∥ ψ_{n} ∥ ∥ x ∥ für x \in E

und somit $∥ ψ ∥ \leq {liminf}_{n \to \infty} ∥ ψ_{n} ∥$ .

6.31 Hauptsatz. Ist $E$ separabel, so hat jede beschränkte Folge in $E^{'}$ eine schwach $^{*}$ -konvergente Teilfolge.

Beweis.Sei ${(x_{k})}_{k} \subseteq E$ eine dichte Folge in $E$ , und sei ${(φ_{n})}_{n}$ eine beschränkte Folge in $E^{'}$ . Dann sind auch die Folgen ${(φ_{n} (x_{k}))}_{n} \subseteq 𝕂$ , $k \in ℕ$ beschränkt. Insbesondere existiert eine Teilfolge ${(φ_{n}^{1})}_{n}$ von ${(φ_{n})}_{n}$ und $λ_{1} \in 𝕂$ mit

\lim_{n \to \infty} φ_{n}^{1} (x_{1}) = λ_{1} .

Ferner existiert eine Teilfolge ${(φ_{n}^{2})}_{n}$ von ${(φ_{n}^{1})}_{n}$ und $λ_{2} \in 𝕂$ mit

\lim_{n \to \infty} φ_{n}^{2} (x_{2}) = λ_{2} .

Sukzessive ﬁndet man für alle $k \in ℕ$ , $k \geq 2$ eine Teilfolge ${(φ_{n}^{k})}_{n}$ von ${(φ_{n}^{k - 1})}_{n}$ und $λ_{k} \in 𝕂$ mit

\lim_{n \to \infty} φ_{n}^{k} (x_{k}) = λ_{k} .

Wir betrachten nun die Diagonalfolge ${(ψ_{n})}_{n}$ gegeben durch $ψ_{n} : = φ_{n}^{n}$ . Für diese Folge gilt oﬀensichtlich

\lim_{n \to \infty} ψ_{n} (x_{k}) = λ_{k} für alle k \in ℕ .

Weil $E^{'}$ ein Banachraum ist, $(ψ_{n})$ in $E^{'}$ beschränkt ist und ${x_{k} | k \in ℕ}$ in $E$ dicht liegt, liefern Korollar 3.9 (c) und (b) ein $ψ \in E^{'}$ mit ${w*-lim}_{n \to \infty} ψ_{n} = ψ$ . Man beachte, dass die Vollständigkeit von $E$ im Beweis von Korollar 3.9 nur verwendet wird, um die Beschränktheit der Operatorenfolge zu zeigen. Diese ist aber in der vorliegenden Aussage schon vorausgesetzt. □

6.5 Reﬂexivität und gleichmäßige Konvexität

Sei stets $(E, ∥ \cdot ∥)$ ein normierter Raum über $𝕂$ .

6.32 Notation. In Analogie zum Skalarprodukt in einem reellen Vektorraum führen wir für $x \in E$ und $φ \in E^{'}$ die Schreibweise

⟨ ⟨ x, φ ⟩ ⟩ : = φ (x)

ein. Diese Form ist im ersten und zweiten Argument linear, im Gegensatz zum Skalarprodukt in einem komplexen Vektorraum. Einige Rechnungen in diesem Abschnitt fallen in dieser Schreibweise übersichtlicher aus.

Wie in vielen Texten üblich werden wir ab jetzt häuﬁg Argumente linearer Abbildungen nicht mehr in Klammern setzen und die Komposition linearer Abbildungen ohne das Symbol „ $\circ$ “ schreiben.

Für einen weiteren normierten Raum $F$ , $T \in L (E, F)$ , $x \in E$ , $φ \in E^{'}$ , $ψ \in F^{'}$ und die lineare Isometrie $i_{E}$ aus Deﬁnition 6.6 gelten dann

⟨ ⟨ T x, ψ ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ x, T^{'} ψ ⟩ ⟩ und ⟨ ⟨ x, φ ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ φ, i_{E} x ⟩ ⟩ .

6.33 Deﬁnition. Der Raum $(E, ∥ \cdot ∥)$ heißt reﬂexiv, wenn die lineare Isometrie $i_{E}$ surjektiv, also ein isometrischer Isomorphismus ist.

6.34 Bemerkungen und Beispiele.

(a)

Ist

H

ein Hilbertraum über

𝕂

, so ist

H

reﬂexiv. Genauer gilt

i_{H} = J_{H^{'}} J_{H} : H \to H^{'} \to H^{″},

wobei $J_{H} : H \to H^{'}$ und $J_{H^{'}} : H^{'} \to H^{″}$ die (antilinearen) isometrischen Isomorphismen aus dem Rieszschen Darstellungssatz (Satz 5.10) bzgl. der Hilberträume $H$ und $H^{'}$ (mit dem Skalarprodukt aus Satz 5.10 (b)) sind.

(b)

Ist

E

reﬂexiv und

F

topologisch isomorph zu

E

, so ist auch

F

reﬂexiv. Dies folgt direkt aus Satz 6.10 (b) und Satz 6.11 (b). Insbesondere ist jeder endlichdimensionale normierte Raum reﬂexiv, da jeder solche Raum topologisch isomorph zu einem Hilbertraum ist.

(c)

Seien

p, q

konjugierte Exponenten in

[1, \infty]

. Die Abbildungen

S \in L (ℓ^{p}, {(ℓ^{q})}^{'})

und

T \in L (ℓ^{q}, {(ℓ^{p})}^{'})

, deﬁniert durch

(S x) y : = \sum_{k \in ℕ} x_{k} y_{k} = : (T y) x, x = {(x_{k})}_{k} \in ℓ^{p}, y = {(y_{k})}_{k} \in ℓ^{q},

sind Isometrien (Übung). Mit $E : = ℓ^{p}$ gilt dabei $T^{'} i_{E} = S : ℓ^{p} \to {(ℓ^{q})}^{'}$ , denn für $x \in ℓ^{p}$ und $y \in ℓ^{q}$ ist

⟨ ⟨ y, T^{'} i_{E} x ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ T y, i_{E} x ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ x, T y ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ y, S x ⟩ ⟩ .

Sind nun speziell $p, q \in (1, \infty)$ , so sind $S$ und $T$ Isomorphismen (Übung), also ist auch $T^{'}$ ein Isomorphismus nach Satz 6.11. In diesem Fall ist also $i_{E} = {(T^{'})}^{- 1} S$ ein Isomorphismus, und somit ist der Raum $ℓ^{p}$ reﬂexiv.

(d)

Jeder reﬂexive normierte Raum ist isometrisch isomorph zu

E^{″}

und somit ein Banachraum, da

E^{″}

stets ein Banachraum ist. Allerdings ist nicht jeder Banachraum

E

, welcher isometrisch isomorph zu

E^{″}

ist, auch reﬂexiv. Der sogenannte James-Raum

E

ist isometrisch isomorph zu

E^{″}

, aber nicht vermöge der Abbildung

i_{E}

. Genauer hat

Bild i_{E}

Kodimension

1

E^{″}

. Zur Deﬁnition von

E

und dem Nachweis der genannten Eigenschaften siehe Robert James, A non-reﬂexive Banach space isometric with its second conjugate space, Proceedings National Academy of Sciences, Bd.37, 1951, S.174-177.

6.35 Hilfssatz.

(a): Ist $E^{'}$ separabel, so auch $E$ .
(b): Ist $E$ reﬂexiv und separabel, so ist auch $E^{'}$ separabel.

Beweis. (a) Sei $S : = {φ \in E^{'} | ∥ φ ∥ = 1}$ . Dann ist $S$ ebenfalls separabel, d.h. es existiert eine dichte Folge ${(φ_{k})}_{k} \subseteq S$ . Ferner existiert für jedes $k \in ℕ$ ein $x_{k} \in E$ mit $∥ x_{k} ∥ \leq 1$ und $⟨ ⟨ x_{k}, φ_{k} ⟩ ⟩ \geq \frac{1}{2}$ (insbesondere reellwertig). Wir zeigen nun, dass die Menge $M : = {x_{k} | k \in ℕ}$ in $E$ total ist. Wäre $M^{⊥} \neq {0}$ und $φ \in S \cap M^{⊥}$ , so würde $k \in ℕ$ existieren mit $∥ φ - φ_{k} ∥ < \frac{1}{2}$ und somit

\frac{1}{2} \leq ⟨ ⟨ x_{k}, φ_{k} ⟩ ⟩ = | ⟨ ⟨ x_{k}, φ_{k} - φ ⟩ ⟩ | \leq ∥ x_{k} ∥ ∥ φ_{k} - φ ∥ < \frac{1}{2},

ein Widerspruch. Es folgt also $M^{⊥} = {0}$ und somit $\bar{span M} = M^{⊥ ⊥} = E$ nach Satz 6.15 und Bemerkung 6.16.

(b) Da $E$ reﬂexiv ist, ist mit $E$ auch $E^{″}$ separabel, also auch $E^{'}$ gemäß (a). □

6.36 Bemerkungen und Beispiele.

(a): Aus der Separabilität von $E$ folgt im Allgemeinen nicht die Separabilität von $E^{'}$ . Zum Beispiel ist $ℓ^{1}$ separabel, aber ${(ℓ^{1})}^{'} ≅ ℓ^{\infty}$ ist nicht separabel (Übung). Insbesondere folgt mit Hilfssatz 6.35 (b), dass $ℓ^{1}$ nicht reﬂexiv ist.
(b): Ist $K$ ein überabzählbarer kompakter metrischer Raum, so ist $C (K)$ separabel nach Korollar 4.13. Allerdings ist der Dualraum $C {(K)}^{'}$ nicht separabel, da die Diracmaße $δ_{x} \in C {(K)}^{'}$ , $x \in K$ , deﬁniert durch $δ_{x} (f) : = f (x)$ für $f \in C (K)$ , eine überabzählbare diskrete Teilmenge von $C {(K)}^{'}$ bilden (Übung). Es folgt wiederum mit Hilfssatz 6.35 (b), dass $C (K)$ nicht reﬂexiv ist.

6.37 Satz. Seien $E$ reﬂexiv und $F \subseteq E$ ein abgeschlossener Teilraum. Dann ist auch $F$ reﬂexiv.

Beweis.Sei $j : F \to E$ die Inklusion. Nach Satz 6.10 ist das Diagramm

\begin{matrix} F & \overset{j}{\to} & E \\ i_{F} ↓ & i_{E} ↓ \\ F^{″} & \overset{j^{″}}{\to} & E^{″} \end{matrix}

kommutativ. Wir bemerken zunächst:

Kern j^{″} = {0} .

(6.5)

Ist nämlich $Φ \in Kern j^{″} \subseteq F^{″}$ , so gilt

0 = ⟨ ⟨ τ, j^{″} Φ ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ j^{'} τ, Φ ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ τ |_{F}, Φ ⟩ ⟩ für alle τ \in E^{'} .

Nach Satz 6.4 ist die Restriktion $j^{'} : E^{'} \to F^{'}$ stetiger linearer Funktionale auf $F$ surjektiv. Es folgt $Φ = 0$ . Zum Beweis der Surjektivität von $i_{F}$ sei nun $Ψ \in F^{″}$ beliebig. Nach Voraussetzung existiert ein $x \in E$ mit $i_{E} x = j^{″} Ψ$ . Wir zeigen zunächst: $x \in F^{⊥ ⊥}$ . Für $φ \in F^{⊥} \subseteq E^{'}$ ist nämlich $j^{'} φ = φ |_{F} \in F^{'}$ die Nullabbildung und somit

0 = ⟨ ⟨ j^{'} φ, Ψ ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ φ, j^{″} Ψ ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ φ, i_{E} x ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ x, φ ⟩ ⟩ .

Es folgt $x \in F^{⊥ ⊥} = \bar{F} = F$ nach Satz 6.15 (a), also $x = j x$ . Für beliebiges $φ \in E^{'}$ gilt

⟨ ⟨ φ, i_{E} j x ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ j x, φ ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ x, j^{'} φ ⟩ ⟩ \overset{x \in F}{=} ⟨ ⟨ j^{'} φ, i_{F} x ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ φ, j^{″} i_{F} x ⟩ ⟩

und somit

j^{″} Ψ = i_{E} j x = j^{″} i_{F} x, also j^{″} (Ψ - i_{F} x) = 0 .

Dies liefert $Ψ = i_{F} x$ wegen (6.5). □

6.38 Hauptsatz. Ist $E$ reﬂexiv, so hat jede beschränkte Folge in $E$ eine schwach konvergente Teilfolge.

Beweis.Sei ${(x_{n})}_{n} \subseteq E$ eine beschränkte Folge und $F : = \bar{span {x_{n} | n \in ℕ}} \subseteq E$ . Dann ist $F$ separabel, und $F$ ist auch reﬂexiv nach Satz 6.37. Also ist auch $F^{'}$ separabel nach Hilfssatz 6.35 (b). Sei nun $Φ_{n} : = i_{F} x_{n} \in F^{″}$ für $n \in ℕ$ . Gemäß Hauptsatz 6.31 können wir nach Übergang zu einer Teilfolge annehmen:

Φ_{n} \overset{w *}{⇀} Φ in F^{″} = {(F^{'})}^{'}

Da $F$ reﬂexiv ist, existiert $x \in F$ mit $i_{F} x = Φ$ , und für alle $φ \in E^{'}$ gilt dann mit $ψ = φ |_{F} \in F^{'}$ :

⟨ ⟨ x_{n} - x, φ ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ x_{n} - x, ψ ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ ψ, Φ_{n} - Φ ⟩ ⟩ \to 0 für n \to \infty . □

6.39 Bemerkung.

(a): Hauptsatz 6.38 liefert zusammen mit Korollar 6.26, dass in jedem reﬂexiven Raum die Einheitskugel „schwach folgenkompakt“ ist.
(b): Ist $E$ separabel, so gilt sogar (ohne Beweis): $E$ ist genau dann reﬂexiv, wenn jede beschränkte Folge in $E$ eine schwach konvergente Teilfolge besitzt.
(c): Aus Hauptsatz 6.38 folgt insbesondere, dass in jedem Hilbertraum jede beschränkte Folge eine schwach konvergente Teilfolge besitzt.

6.40 Satz.

(a): Ist $E$ reﬂexiv, so auch $E^{'}$ .
(b): Ist $E$ ein Banachraum und $E^{'}$ reﬂexiv, so ist auch $E$ reﬂexiv.

Beweis. (a) Zu zeigen ist die Surjektivität von $i_{E^{'}} : E^{'} \to E^{‴}$ . Für beliebige $Φ \in E^{‴}$ und $x \in E$ gilt (mit $i_{E}^{'} : = {(i_{E})}^{'}$ )

⟨ ⟨ i_{E} x, i_{E^{'}} i_{E}^{'} Φ ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ i_{E}^{'} Φ, i_{E} x ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ x, i_{E}^{'} Φ ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ i_{E} x, Φ ⟩ ⟩ .

Weil $i_{E} : E \to E^{″}$ surjektiv ist, liefert dies $i_{E^{'}} i_{E}^{'} Φ = Φ$ , und weil $Φ$ in $E^{‴}$ beliebig gewählt war, folgt $i_{E^{'}} i_{E}^{'} = I_{E^{‴}}$ . Damit ist $i_{E^{'}}$ surjektiv, also bijektiv, und es gilt $i_{E^{'}} = {(i_{E}^{'})}^{- 1}$ .

(b) Ist $E^{'}$ reﬂexiv, so ist nach (a) auch $E^{″}$ reﬂexiv. Da $E$ vermöge $i_{E}$ zu einem (nach Voraussetzung) vollständigen und somit abgeschlossenen Teilraum von $E^{″}$ topologisch isomorph ist, folgt mit Satz 6.37 und Bemerkungen und Beispiele 6.34 (b), dass auch $E$ reﬂexiv ist. □

6.41 Bemerkung. Aus Bemerkungen und Beispiele 6.36 (a) und Satz 6.40 (b) folgt insbesondere, dass $ℓ^{\infty}$ nicht reﬂexiv ist.

_________________________ Ende des Inhalts für 2023-01-13 __________________________________

Im Folgenden wollen wir ein praktisches hinreichendes Kriterium für Reﬂexivität herleiten, die sogenannte gleichmäßige Konvexität eines Banachraums. Zuvor benötigen wir aber zwei Hilfssätze, welche auch anderweitig nützlich sind.

6.42 Hilfssatz(„komplexer“ Trennungssatz in Ergänzung zu Abschnitt 6.3). Sei $C \subseteq E$ absolut konvex und abgeschlossen, und sei $x_{0} \in E \ C$ . Dann existieren $ψ \in E^{'}$ und $α > 0$ mit

| ψ (y) | < α < | ψ (x_{0}) | für y \in C .

Beweis.Gemäß Korollar 6.20 (b) existieren $φ \in E^{'}$ und $α \in ℝ$ mit $Re φ (x_{0}) < - α < Re φ |_{C}$ . Für $ψ : = - φ$ gilt dann $Re ψ |_{C} < α < Re ψ (x_{0})$ . Wegen $0 \in C$ (aufgrund der absoluten Konvexität) erzwingt dies $α > 0$ . Es folgt

| ψ (x_{0}) | \geq Re ψ (x_{0}) > α .

Für ein beliebiges $y \in C$ existiert $β \in 𝕂$ mit $| β | = 1$ und

| ψ (y) | = β ψ (y) = ψ (β y) = Re ψ (β y) < α .

Die letzte Ungleichung folgt dabei aus den Eigenschaften von $ψ$ und weil $β y$ wegen der Symmetrie von $C$ auch in $C$ liegt. □

Im Rest des Kapitels bezeichne stets $B : = B_{1} (0)$ die abgeschlossene Einheitskugel des normierten Raums $(E, ∥ \cdot ∥)$ .

6.43 Hilfssatz. Seien $Ψ \in E^{″}$ mit $∥ Ψ ∥_{E^{″}} \leq 1$ und $φ_{1}, \dots, φ_{n} \in E^{'}$ gegeben. Sei ferner $𝜀 > 0$ . Dann existiert ein $x \in B$ mit

| Ψ (φ_{i}) - φ_{i} (x) | < 𝜀 für i = 1, \dots, n .

Beweis.Es reicht, zu zeigen, dass $η : = (Ψ (φ_{1}), \dots, Ψ (φ_{n})) \in 𝕂^{n}$ in der Menge

C : = \bar{{(φ_{1} (x), \dots, φ_{n} (x)) | x \in B}} \subseteq 𝕂^{n}

liegt. Angenommen, es wäre $η \notin C$ . Da $C$ absolut konvex und abgeschlossen in $𝕂^{n}$ ist, existiert gemäß Hilfssatz 6.42 ein $τ \in {(𝕂^{n})}^{'}$ und $α > 0$ mit

| τ (y) | < α für y \in C und | τ (η) | > α .

Dabei lässt sich $τ$ nach dem Rieszschen Darstellungssatz bzgl. des Standardskalarprodukts in $𝕂^{n}$ schreiben als $τ (y) = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} y_{i}$ für $y \in 𝕂^{n}$ mit geeigneten $λ_{1}, \dots, λ_{n} \in 𝕂$ . Sei nun

\tilde{τ} : = τ \circ (φ_{1}, \dots, φ_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} φ_{i} \in E^{'} .

Dann gilt $| \tilde{τ} (x) | = | τ (φ_{1} (x), \dots, φ_{n} (x)) | < α$ für alle $x \in B$ , also $∥ \tilde{τ} ∥ \leq α$ . Andererseits ist

| Ψ (\tilde{τ}) | = | \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} Ψ (φ_{i}) | = | τ (η) | > α .

Dies widerspricht der Voraussetzung $∥ Ψ ∥_{E^{″}} \leq 1$ . Die Behauptung folgt. □

6.44 Deﬁnition. Der Raum $E$ heißt gleichmäßig konvex, wenn für alle $𝜀 > 0$ ein $δ > 0$ existiert derart, dass für alle $x, y \in B$ die Implikation gilt:

‖ \frac{x + y}{2} ‖ > 1 - δ \Rightarrow ∥ x - y ∥ < 𝜀 .

(6.6)

6.45 Beispiele.

(a)

Ist

(H, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)

ein Prähilbertraum, so ist

H

gleichmäßig konvex, denn es gilt

\frac{1}{4} ∥ x - y ∥^{2} = \frac{1}{2} (∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2}) - {‖ \frac{x + y}{2} ‖}^{2} \leq 1 - {‖ \frac{x + y}{2} ‖}^{2} für alle x, y \in B .

(b)

Der Raum

(ℝ^{N}, | \cdot |_{2})

ist gemäß (a) gleichmäßig konvex; allgemeiner ist

(ℝ^{N}, | \cdot |_{p})

für

1 < p < \infty

gleichmäßig konvex. Die Räume

(ℝ^{N}, | \cdot |_{1})

und

(ℝ^{N}, | \cdot |_{\infty})

sind aber nicht gleichmäßig konvex.

6.46 Satz. Sei $E$ gleichmäßig konvex und ${(x_{n})}_{n}$ eine Folge in $E$ .

(a): Gilt $x_{n} ⇀ x \in E$ und $∥ x_{n} ∥ \to ∥ x ∥$ , so folgt $x_{n} \to x$ für $n \to \infty$ .
(b): Gilt $\lim_{n \to \infty} \sup_{m \geq n} | ∥ x_{m} + x_{n} ∥ - 2 | = 0$ , so ist ${(x_{n})}_{n}$ eine Cauchyfolge.

Beweis. (a) Ohne Einschränkung sei $x \neq 0$ (sonst folgt oﬀensichtlich die Normkonvergenz) und $x_{n} \neq 0$ für alle $n \in ℕ$ . Setze $z_{n} : = \frac{x_{n}}{∥ x_{n} ∥}$ und $z : = \frac{x}{∥ x ∥}$ . Dann gilt

φ (z_{n}) = \frac{1}{∥ x_{n} ∥} φ (x_{n}) \to \frac{1}{∥ x ∥} φ (x) = φ (z) für n \to \infty und alle φ \in E^{'},

also $z_{n} ⇀ z$ . Nach Korollar 6.5 existiert $φ \in E^{'}$ mit $∥ φ ∥ = 1$ und $φ (z) = 1$ . Es folgt

∥ z_{n} + z ∥ \geq | φ (z_{n} + z) | \overset{n \to \infty}{\to} 2 φ (z) = 2 .

Da $E$ gleichmäßig konvex ist, folgt $∥ z - z_{n} ∥ \to 0$ für $n \to \infty$ , also

\lim_{n \to \infty} x_{n} = \lim_{n \to \infty} ∥ x_{n} ∥ z_{n} = ∥ x ∥ z = x .

(b) Nach Voraussetzung gilt (mit $m = n$ ) $\lim_{n \to \infty} ∥ x_{n} ∥ = 1$ . Ohne Einschränkung ist daher $α_{n} : = ∥ x_{n} ∥ \neq 0$ für alle $n \in ℕ$ , und wir setzen $z_{n} : = \frac{x_{n}}{α_{n}} \in B$ . Für $m, n \in ℕ$ gilt dann

∥ x_{n} + x_{m} ∥ \leq ∥ z_{n} + z_{m} ∥ + ∥ x_{n} - z_{n} ∥ + ∥ x_{m} - z_{m} ∥ = ∥ z_{n} + z_{m} ∥ + | α_{n} - 1 | + | α_{m} - 1 | .

Es folgt nach Voraussetzung

\lim_{n \to \infty} \inf_{m \geq n} ‖ \frac{z_{n} + z_{m}}{2} ‖ \geq \lim_{n \to \infty} \inf_{m \geq n} ‖ \frac{x_{n} + x_{m}}{2} ‖ = 1 .

Also ist $(z_{n})$ eine Cauchyfolge, weil $E$ gleichmäßig konvex ist. Da ferner

∥ x_{n} - x_{m} ∥ \leq ∥ z_{n} - z_{m} ∥ + | 1 - α_{n} | + | 1 - α_{m} |

für $n, m \in ℕ$ gilt, ist auch ${(x_{n})}_{n}$ eine Cauchyfolge. □

6.47 Satz(von Milman). Ist $E$ ein gleichmäßig konvexer Banachraum, so ist $E$ reﬂexiv.

Beweis.Sei $Ψ \in E^{″}$ mit $∥ Ψ ∥ = 1$ . Es reicht, zu zeigen, dass $Ψ \in Bild i_{E}$ ist. Sei dazu ${(𝜀_{n})}_{n}$ eine Nullfolge positiver Zahlen und $φ \in E^{'}$ beliebig mit $∥ φ ∥ = 1$ . Nach Deﬁnition der Norm in $E^{″}$ existieren $α_{n} \in E^{'}$ mit $∥ α_{n} ∥ \leq 1$ und

Ψ (α_{n}) = | Ψ (α_{n}) | > 1 - 𝜀_{n} .

Nach Hilfssatz 6.43 existiert eine Folge ${(x_{n})}_{n} \subseteq B$ derart, dass für alle $n \in ℕ$ gilt:

\begin{align} | Ψ (φ) - φ (x_{n}) | & < 𝜀_{n} \\ und \\ | Ψ (α_{i}) - α_{i} (x_{n}) | & < 𝜀_{n} für i = 1, \dots, n . & (6.7) \end{align}

Wir zeigen: Als Konsequenz von (6.7) ist ${(x_{n})}_{n}$ eine Cauchyfolge. Für $1 \leq i \leq n$ ist nämlich

Re α_{i} (x_{n}) = Re Ψ (α_{i}) - Re (Ψ (α_{i}) - α_{i} (x_{n})) > 1 - 𝜀_{i} - | Ψ (α_{i}) - α_{i} (x_{n}) | > 1 - 𝜀_{i} - 𝜀_{n} .

Für $m, n \in ℕ$ mit $m \geq n$ folgt also

2 \geq ∥ x_{m} ∥ + ∥ x_{n} ∥ \geq ∥ x_{m} + x_{n} ∥ \geq | α_{n} (x_{m} + x_{n}) | \geq Re α_{n} (x_{m} + x_{n}) > 2 - 𝜀_{m} - 3 𝜀_{n}

und somit

\lim_{n \to \infty} \sup_{m \geq n} | ∥ x_{m} + x_{n} ∥ - 2 | = 0 .

Mit Satz 6.46 (b) folgt, dass ${(x_{n})}_{n}$ eine Cauchyfolge in $E$ ist. Da $E$ vollständig ist, existiert $x : = \lim_{n \to \infty} x_{n}$ , wobei gilt:

Ψ (φ) = φ (x) und Ψ (α_{i}) = α_{i} (x) für i \in ℕ .

Jede andere Wahl von $φ \in E^{'}$ führt aber zu demselben $x \in E$ , denn erfüllen $x, y \in E$ die Bedingungen

Ψ (α_{i}) = α_{i} (x) und Ψ (α_{i}) = α_{i} (y) für i \in ℕ,

so erfüllt die Folge $(x, y, x, y, \dots)$ Bedingung (6.7) anstelle von ${(x_{n})}_{n}$ und ist somit nach obigem Argument eine Cauchyfolge, d.h. es gilt $x = y$ . Fazit: Für das oben gefundene $x \in E$ gilt

Ψ (φ) = φ (x) für alle φ \in E^{'},

also $Ψ = i_{E} x \in Bild i_{E}$ . □

6.6 Anwendung auf die $L^{p}$ - Räume

Sei im Folgenden $(Ω, M, μ)$ ein Maßraum.

6.48 Hilfssatz. Für $p \in [2, \infty)$ und $u, v \in L^{p} (Ω)$ gilt

∥ u + v ∥_{p}^{p} + ∥ u - v ∥_{p}^{p} \leq 2^{p - 1} (∥ u ∥_{p}^{p} + ∥ v ∥_{p}^{p}) .

Beweis.Es reicht oﬀensichtlich, die Ungleichung

| z + w |^{p} + | z - w |^{p} \leq 2^{p - 1} (| z |^{p} + | w |^{p}) für z, w \in ℂ

(6.8)

zu zeigen. Wir verwenden dazu, dass für $a, b \geq 0$ gilt:

{(a^{p} + b^{p})}^{\frac{1}{p}} \leq {(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} und a^{2} + b^{2} \leq 2^{\frac{p - 2}{p}} {(a^{p} + b^{p})}^{\frac{2}{p}}

(6.9)

Damit erhält man nämlich

\begin{array}{l} | z + w |^{p} + | z - w |^{p} & \leq {(| z + w |^{2} + | z - w |^{2})}^{\frac{p}{2}} = {(2 (| z |^{2} + | w |^{2}))}^{\frac{p}{2}} \\ = 2^{\frac{p}{2}} {(| z |^{2} + | w |^{2})}^{\frac{p}{2}} \leq 2^{\frac{p}{2}} 2^{\frac{p - 2}{2}} (| z |^{p} + | w |^{p}) = 2^{p - 1} (| z |^{p} + | w |^{p}) \end{array}

für $z, w \in ℂ$ , also (6.8). Nun zu (6.9): In der ersten Ungleichung reicht es aufgrund der Homogenität, den Fall $a^{2} + b^{2} = 1$ zu betrachten. Dann sind $a, b \in [0, 1]$ , und somit ist $a^{p} + b^{p} \leq a^{2} + b^{2} = 1$ , da $p \geq 2$ ist. Die Ungleichung folgt. Wegen $p \geq 2$ ist die Funktion $[0, \infty) \to ℝ$ , $t \mapsto t^{p ∕ 2}$ konvex; somit gilt ${(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{p}{2}} \leq \frac{a^{p} + b^{p}}{2}$ für $a, b \geq 0$ . Dies zeigt die zweite Ungleichung in (6.9). □

6.49 Satz. Für $p \in [2, \infty)$ ist $L^{p} (Ω)$ gleichmäßig konvex.

Beweis.Für $u, v \in L^{p} (Ω)$ mit $∥ u ∥_{p}, ∥ v ∥_{p} \leq 1$ ist

∥ u - v ∥_{p}^{p} \overset{Hilfssatz 6.48}{\leq} 2^{p - 1} (∥ u ∥_{p}^{p} + ∥ v ∥_{p}^{p}) - ∥ u + v ∥_{p}^{p} \leq 2^{p} (1 - {∥ \frac{u + v}{2} ∥}_{p}^{p}),

und dies liefert die gleichmäßige Konvexität. □

6.50 Korollar. Für $p \in (1, \infty)$ ist $L^{p} (Ω)$ reﬂexiv, und mit $q = \frac{p}{p - 1}$ hat man einen isometrischen Isomorphismus

S : L^{q} (Ω) \to {(L^{p} (Ω))}^{'}, ⟨ ⟨ g, S f ⟩ ⟩ : = \int_{Ω} f g d μ für f \in L^{q} (Ω), g \in L^{p} (Ω) .

Beweis.Die Höldersche Ungleichung liefert

| ⟨ ⟨ g, S f ⟩ ⟩ | = | \int_{Ω} f g d μ | \leq ∥ f ∥_{q} ∥ g ∥_{p} für f \in L^{q} (Ω), g \in L^{p} (Ω),

also ist $S f \in {(L^{p} (Ω))}^{'}$ mit $∥ S f ∥ \leq ∥ f ∥_{q}$ . Ist speziell $g \in L^{p} (Ω)$ deﬁniert durch

g (x) : = {\begin{matrix} | f (x) |^{\frac{q}{p} - 1} \bar{f (x)} = | f (x) |^{q - 2} \bar{f (x)}, & falls f (x) \neq 0, \\ 0, & falls f (x) = 0 . \end{matrix}

so erhält man zudem

∥ g ∥_{p} = ∥ f ∥_{q}^{q ∕ p} und | ⟨ ⟨ g, S f ⟩ ⟩ | = ∥ f ∥_{q}^{q},

also $∥ S f ∥ \geq \frac{| (S f) (g) |}{∥ g ∥_{p}} = ∥ f ∥_{q}^{q - q ∕ p} = ∥ f ∥_{q}$ . Insgesamt folgt also $∥ S f ∥ = ∥ f ∥_{q}$ , und somit ist $S$ eine Isometrie.

Wir betrachten nun zunächst den Fall $p \in [2, \infty)$ . Dann ist $E : = L^{p} (Ω)$ reﬂexiv nach Satz 6.49 und Satz 6.47. Wir zeigen, dass $S$ in diesem Fall surjektiv ist. Sei dazu $F : = Bild S \subseteq E^{'}$ . Dann ist $F$ vollständig (als Bild eines Banachraums unter einer Isometrie) und somit abgeschlossen in $E^{'}$ . Angenommen, es gäbe $φ \in E^{'} \ F$ . Dann existiert auch $𝜀 > 0$ mit $U_{𝜀} (φ) \cap F = \emptyset$ , und nach dem Trennungssatz von Mazur (Satz 6.19) existiert $Ψ \in E^{″}$ mit $Ψ |_{F} \equiv 0$ und $⟨ ⟨ φ, Ψ ⟩ ⟩ \neq 0$ (dies kann man alternativ auch direkt aus Satz 6.4 folgern, s.a. den Beweis von Satz 6.15 (a)). Aufgrund der Reﬂexivität von $E$ ist $Ψ = i_{E} u$ für ein $u \in E$ . Für alle $v \in L^{q} (Ω)$ gilt dann

0 = ⟨ ⟨ S v, Ψ ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ S v, i_{E} u ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ u, S v ⟩ ⟩ = \int_{Ω} u v d μ .

Durch die Wahl von $v = | u |^{\frac{p}{q} - 1} ū$ folgt leicht $u = 0$ , also $Ψ = 0$ . Widerspruch. Also ist $S$ surjektiv und damit ein isometrischer Isomorphismus.

Mit Satz 6.40 (a) und Bemerkungen und Beispiele 6.34 (b) folgt nun, dass auch $L^{q} (Ω) ≅ E^{'}$ reﬂexiv ist, und mit dem gleichen Argument wie oben ist dann auch die Abbildung

S : L^{p} (Ω) \to {(L^{q} (Ω))}^{'}, ⟨ ⟨ g, S f ⟩ ⟩ = \int_{Ω} f g d μ

ein isometrischer Isomorphismus. Man durchläuft also alle Zahlen $p \in [2, \infty)$ und $q \in (1, 2]$ und erhält somit die Behauptung. □

6.51 Bemerkung. Man kann zeigen, dass $L^{p} (Ω)$ auch für $1 < p < 2$ gleichmäßig konvex ist. Dazu verwendet man die elementare, aber nicht oﬀensichtliche Ungleichung

∥ u + v ∥_{p}^{q} + ∥ u - v ∥_{p}^{q} \leq 2 {(∥ u ∥_{p}^{p} + ∥ v ∥_{p}^{p})}^{q - 1}, u, v \in L^{p} (Ω)

für $1 < p \leq 2$ und $q : = \frac{p}{p - 1}$ .

Beweis.Siehe z.B. Hirzebruch, Scharlau, Einführung in die Funktionalanalysis, Lemma 17.3. □

_________________________ Ende des Inhalts für 2023-01-17 __________________________________

6.52 Satz. Das Maß $μ$ sei $σ$ -endlich, d.h. es gebe $Ω_{k} \subseteq Ω$ , $k \in ℕ$ mit $μ (Ω_{k}) < \infty$ und $Ω = ⋃_{k = 1}^{\infty} Ω_{k}$ . Dann ist ${(L^{1} (Ω))}^{'}$ isometrisch isomorph zu $L^{\infty} (Ω)$ ; zu jedem $φ \in {(L^{1} (Ω))}^{'}$ existiert genau ein $f \in L^{\infty} (Ω)$ mit $∥ f ∥_{\infty} = ∥ φ ∥$ und

φ (g) = \int_{Ω} f g d μ für alle g \in L^{1} (Ω) .

Beweis.Ohne Einschränkung können wir annehmen, dass $Ω_{k} \subseteq Ω_{k + 1}$ für alle $k \in ℕ$ gilt. Sei $φ \in {(L^{1} (Ω))}^{'}$ , und sei $φ_{k} \in {(L^{1} (Ω_{k}))}^{'}$ deﬁniert durch $φ_{k} (g) : = φ (\tilde{g})$ , wobei $\tilde{g} \in L^{1} (Ω)$ die triviale Fortsetzung von $g \in L^{1} (Ω_{k})$ auf $Ω$ bezeichne. Da $L^{2} (Ω_{k})$ stetig in $L^{1} (Ω_{k})$ eingebettet ist (gemäß Bemerkung und Beispiel 4.26 (b)), ist $φ_{k} |_{L^{2} (Ω_{k})} \in {(L^{2} (Ω_{k}))}^{'}$ . Somit existiert nach Korollar 6.50 (oder dem Rieszschen Darstellungssatz, vgl. Satz 5.10) genau ein $f_{k} \in L^{2} (Ω_{k})$ mit

φ_{k} (g) = \int_{Ω_{k}} f_{k} g d μ für alle g \in L^{2} (Ω_{k}) .

Die Eindeutigkeit zeigt dabei $f_{k} |_{Ω_{j}} = f_{j}$ für $j \leq k$ , und somit existiert eine $μ$ -messbare Funktion $f : Ω \to 𝕂$ mit $f |_{Ω_{k}} = f_{k}$ für $k \in ℕ$ . Wir zeigen

f \in L^{\infty} (Ω) mit ∥ f ∥_{\infty} \leq ∥ φ ∥ .

(6.10)

Sei dazu

α : Ω \to 𝕂, α (x) : = {\begin{matrix} \frac{\bar{f (x)}}{| f (x) |}, & f (x) \neq 0, \\ 0, & f (x) = 0, \end{matrix}

d.h. $α \in L^{\infty} (Ω)$ erfüllt $| α | \leq 1$ und $α f = | f |$ in $Ω$ . Sei ferner

A_{n} : = {x \in Ω | | f (x) | \geq ∥ φ ∥ + \frac{1}{n}} für n \in ℕ .

Wäre $μ (A_{n}) > 0$ für ein $n \in ℕ$ , so würde $k \in ℕ$ existieren mit $μ (A) > 0$ für $A : = Ω_{k} \cap A_{n}$ . Mit $g : = \frac{α 1_{A}}{μ (A)} \in L^{2} (Ω_{k})$ wäre dann

∥ φ ∥ + \frac{1}{n} \leq \frac{1}{μ (A)} \int_{A} | f | d μ = \int_{Ω_{k}} f g d μ = φ_{k} (g) = φ (\tilde{g}) \leq ∥ φ ∥ ∥ \tilde{g} ∥_{L^{1} (Ω)} \leq ∥ φ ∥,

Widerspruch. Es folgt $μ (A_{n}) = 0$ für alle $n \in ℕ$ , und somit ist

0 = μ (⋃_{n \in ℕ} A_{n}) = μ ({x \in Ω | | f (x) | > ∥ φ ∥}) .

Es folgt (6.10). Somit ist eine Linearform $η \in {(L^{1} (Ω))}^{'}$ wohldeﬁniert durch $η (g) : = \int_{Ω} f g d μ$ , und diese Linearform erfüllt

η (\tilde{g}) = φ_{k} (g) = φ (\tilde{g}) für alle k \in ℕ und g \in L^{2} (Ω_{k}) .

(6.11)

Da $L^{2} (Ω_{k})$ in $L^{1} (Ω_{k})$ für $k \in ℕ$ dicht liegt (leichte Übung; man verwende $μ (Ω_{k}) < \infty$ ), gilt (6.11) auch für $k \in ℕ$ und $g \in L^{1} (Ω_{k})$ . Ist schließlich $g \in L^{1} (Ω)$ und $g_{k} : = g |_{Ω_{k}} \in L^{1} (Ω_{k})$ , so folgt $\tilde{g_{k}} \to g$ in $L^{1} (Ω)$ für $k \to \infty$ und somit

φ (g) = \lim_{k \to \infty} φ (\tilde{g_{k}}) = \lim_{k \to \infty} η (\tilde{g_{k}}) = η (g) .

Somit gilt $φ = η$ , und man hat $∥ φ ∥ = ∥ η ∥ \leq ∥ f ∥_{\infty} \leq ∥ φ ∥$ , also $∥ f ∥_{\infty} = ∥ φ ∥$ . □

7 Spezielle Operatoren

7.1 Kompakte Operatoren

Seien $E, F$ normierte $𝕂$ -Vektorräume.

7.1 Deﬁnition. Eine lineare Abbildung $T : E \to F$ heißt kompakt, falls für jede beschränkte Folge ${(x_{n})}_{n} \subseteq E$ die Bildfolge ${(T x_{n})}_{n}$ eine konvergente Teilfolge besitzt. Wir setzen $K (E, F) : = {T : E \to F | T linear und kompakt}$ und $K (E) : = K (E, E)$ .

7.2 Beispiel. Seien $[a, b], [c, d] \subseteq ℝ$ kompakte Intervalle und $k : [c, d] \times [a, b] \to ℂ$ eine stetige Funktion. Dann ist der Integraloperator $K \in L (C [a, b], C [c, d])$ aus Beispiel 2.29 (c), gegeben durch

(K u) (t) : = \int_{a}^{b} k (t, s) u (s) d s für t \in [c, d],

kompakt. Um das zu zeigen, sei ${(u_{n})}_{n}$ eine Folge in $C [a, b]$ mit $r : = \sup_{n \in ℕ} ∥ u_{n} ∥_{\infty} < \infty$ . Aufgrund der Stetigkeit von $K$ (siehe Beispiel 2.29 (c)) ist dann auch die Folge ${(K u_{n})}_{n}$ beschränkt in $C [c, d]$ . Mit Korollar 4.6 reicht es also, zu zeigen, dass die Folge ${(K u_{n})}_{n}$ gleichgradig stetig ist. Seien dazu $t_{0} \in [c, d]$ und $𝜀 > 0$ . Da $k$ auf der kompakten Menge $[c, d] \times [a, b]$ gleichmäßig stetig ist, existiert $δ > 0$ mit

| k (t, s) - k (t_{0}, s) | \leq \frac{𝜀}{2 (b - a) r} für alle t \in U_{δ} (t_{0}) und s \in [a, b] .

Es folgt dann für $t \in U_{δ} (t_{0})$ und $n \in ℕ$ :

\begin{matrix} | (K u_{n}) (t) - (K u_{n}) (t_{0}) | \leq \int_{a}^{b} | k (t, s) - k (t_{0}, s) | | u_{n} (s) | d s \\ \leq r \int_{a}^{b} | k (t, s) - k (t_{0}, s) | d s \leq \frac{𝜀}{2} < 𝜀 . \end{matrix}

Die liefert die benötigte gleichgradige Stetigkeit.

7.3 Bemerkung. Sei $T : E \to F$ linear.

(a)

Äquivalent sind:

$T$ ist kompakt.
Ist $M \subseteq E$ beschränkt, so ist $T (M) \subseteq F$ relativ kompakt.
$T (B_{1} (0)) \subseteq F$ ist relativ kompakt.

(b)

Ist

T

kompakt, so ist

T

auch stetig.

(c)

Ist

T

stetig und

\dim Bild T < \infty

, so ist

T

kompakt.

(d)

Ist

\dim E < \infty

, so ist

T

kompakt.

(e)

Nach Satz 2.45 ist die identische Abbildung

I : E \to E

genau dann kompakt, wenn

\dim E < \infty

ist.

7.4 Satz.

(a): $K (E, F)$ ist ein linearer Unterraum von $L (E, F)$ .
(b): Ist $F$ vollständig, so ist $K (E, F)$ in $L (E, F)$ abgeschlossen.

Beweis. (a) Oﬀensichtlich ist die Nullabbildung in $K (E, F)$ . Seien $S, T \in K (E, F)$ und $α \in 𝕂$ . Sei ferner ${(x_{n})}_{n} \subseteq E$ eine beschränkte Folge. Da $S$ kompakt ist, existieren eine Teilfolge ${(x_{n_{k}})}_{k}$ und $y \in F$ mit $\lim_{k \to \infty} S x_{n_{k}} = y$ . Da $T$ kompakt ist, existieren ferner eine Teilfolge ${(x_{n_{k_{j}}})}_{j}$ und $z \in F$ mit $\lim_{j \to \infty} T x_{n_{k_{j}}} = z$ . Folglich existiert auch

\lim_{j \to \infty} (α S + T) x_{n_{k_{j}}} = α y + z \in F,

und somit ist $α S + T \in K (E, F)$ .

(b) Seien $T_{n} \in K (E, F)$ , $n \in ℕ$ , derart, dass $T : = \lim_{n \to \infty} T_{n}$ in $L (E, F)$ existiert. Es reicht, zu zeigen, dass $T (B_{1} (0)) \subseteq F$ präkompakt ist; dann ist diese Menge aufgrund der Vollständigkeit von $F$ auch relativ kompakt. Sei dazu $𝜀 > 0$ . Dann existiert $n \in ℕ$ mit $∥ T_{n} - T ∥ \leq 𝜀$ , also $∥ T_{n} x - T x ∥ \leq 𝜀$ für alle $x \in B_{1} (0)$ . Somit gilt $T (B_{1} (0)) \subseteq B_{𝜀} (T_{n} (B_{1} (0)))$ , wobei $T_{n} (B_{1} (0)) \subseteq F$ nach Voraussetzung präkompakt ist. Mit Bemerkung 2.42 (b) folgt die Präkompaktheit von $T (B_{1} (0))$ . □

7.5 Beispiel. Seien $1 \leq p < \infty$ , $E = ℓ^{p}$ , ${(ρ_{n})}_{n}$ eine Nullfolge in $𝕂$ und $T \in L (E)$ deﬁniert durch

T x : = {(ρ_{n} x_{n})}_{n} für x = {(x_{n})}_{n} \in ℓ^{p} .

Dann ist $T \in K (E)$ , denn: Seien $T_{k} \in L (E)$ , $k \in ℕ$ deﬁniert durch

T_{k} x : = (ρ_{1} x_{1}, \dots, ρ_{k} x_{k}, 0, 0, \dots) für x = {(x_{n})}_{n} \in ℓ^{p} .

Da $\dim Bild T_{k} < \infty$ ist, folgt $T_{k} \in K (E)$ nach Bemerkung 7.3 (c). Ferner ist

∥ (T - T_{k}) x ∥_{p}^{p} = \sum_{n > k} | ρ_{n} x_{n} |^{p} \leq δ_{k}^{p} ∥ x ∥_{p}^{p} für x = {(x_{n})}_{n} \in ℓ^{p}, mit δ_{k} : = \sup_{n > k} | ρ_{n} | .

Es folgt $∥ T - T_{k} ∥ \leq δ_{k} \to 0$ für $k \to \infty$ . Somit ist $T \in K (E)$ nach Satz 7.4 (b).

7.6 Satz. Seien $D$ , $G$ weitere normierte Räume, und sei $T \in K (E, F)$ sowie $T_{1} \in L (D, E)$ und $T_{2} \in L (F, G)$ . Dann gilt:

T T_{1} \in K (D, F) und T_{2} T \in K (E, G) .

Beweis.Sei zunächst $M \subseteq D$ beschränkt. Dann ist auch $T_{1} (M)$ in $E$ beschränkt, da $T_{1}$ stetig ist. Da ferner $T$ kompakt ist, ist $T (T_{1} (M))$ relativ kompakt in $F$ . Es folgt $T T_{1} \in K (D, F)$ . Sei nun ${(x_{n})}_{n}$ eine beschränkte Folge in $E$ . Da $T$ kompakt ist, existieren eine Teilfolge ${(x_{n_{k}})}_{k}$ und $y \in F$ mit $\lim_{k \to \infty} T x_{n_{k}} = y$ . Da $T_{2}$ stetig ist, existiert $\lim_{k \to \infty} T_{2} T x_{n_{k}} = T_{2} y \in G$ . Es folgt $T_{2} T \in K (E, G)$ . □

7.7 Satz. Sei $T \in K (E, F)$ . Dann gilt:

(a): $T^{'} \in K (F^{'}, E^{'})$ .
(b): Ist ${(x_{n})}_{n} \subseteq E$ eine Folge mit $x_{n} ⇀ x \in E$ , so folgt $T x_{n} \to T x$ in $F$ .

Beweis. (a) Sei ${(ψ_{n})}_{n} \subseteq F^{'}$ eine beschränkte Folge und $M : = \sup_{n \in ℕ} ∥ ψ_{n} ∥$ . Nach Voraussetzung ist $K : = \bar{T (B_{1} (0))} \subseteq F$ kompakt. Sei $f_{n} : = ψ_{n} |_{K} \in C (K)$ . Dann ist

∥ f_{n} ∥_{\infty} \leq ∥ ψ_{n} ∥ C \leq M C für alle n \in ℕ mit C : = \max_{y \in K} ∥ y ∥

und

| f_{n} (y) - f_{n} (x) | = | ψ_{n} (y - x) | \leq ∥ ψ_{n} ∥ ∥ y - x ∥ \leq M ∥ y - x ∥ für alle x, y \in K, n \in ℕ .

Somit ist die Folge ${(f_{n})}_{n}$ gleichgradig stetig und beschränkt in $C (K)$ . Nach Übergang zu einer Teilfolge ist ${(f_{n})}_{n}$ gemäß Korollar 4.6 (Satz von Arzelà-Ascoli) also gleichmäßig konvergent und somit insbesondere eine Cauchyfolge in $C (K)$ . Da ferner

∥ T^{'} ψ_{m} - T^{'} ψ_{n} ∥_{E^{'}} = \sup_{x \in B_{1} (0)} | ψ_{m} (T x) - ψ_{n} (T x) | \leq \sup_{y \in K} | f_{m} (y) - f_{n} (y) | = ∥ f_{m} - f_{n} ∥_{\infty}

für $m, n \in ℕ$ , ist auch ${(T^{'} ψ_{n})}_{n}$ eine Cauchyfolge in $E^{'}$ und somit konvergent, da $E^{'}$ vollständig ist. Dies zeigt die Kompaktheit von $T^{'}$ .

(b) Nach Voraussetzung gilt $y_{n} : = x_{n} - x ⇀ 0$ . Sei $ψ_{n} \in F^{'}$ gemäß Korollar 6.5 gewählt mit $∥ ψ_{n} ∥ = 1$ und $| ψ_{n} (T y_{n}) | = ∥ T y_{n} ∥$ . Nach (a) ist die Menge ${T^{'} ψ_{n} | n \in ℕ}$ präkompakt in $E^{'}$ , und mit Satz 6.27 (a) folgt

∥ T y_{n} ∥ = | ψ_{n} (T y_{n}) | = | (T^{'} ψ_{n}) (y_{n}) | \to 0 für n \to \infty,

also $T x_{n} \to T x$ in $F$ . □

7.8 Deﬁnition. Man sagt, der normierte Raum $E$ sei stetig in $F$ eingebettet, wenn es eine injektive Abbildung $i \in L (E, F)$ gibt. Die Abbildung $i$ nennt man dann Einbettung von $E$ in $F$ und schreibt $E \overset{i}{↪} F$ . Ist ferner $i$ kompakt, so sagt man: $E$ ist in $F$ kompakt eingebettet.

7.9 Beispiel. Seien $a, b \in ℝ$ , $a < b$ . Wir betrachten den Banachraum $C^{1} [a, b]$ mit Norm $∥ \cdot ∥_{C^{1}}$ deﬁniert durch $∥ u ∥_{C^{1}} : = ∥ u ∥_{\infty} + ∥ u^{'} ∥_{\infty}$ (Übung). Dann ist $C^{1} [a, b]$ kompakt in $C [a, b]$ eingebettet, denn: Für $u \in B_{1} (0) \subseteq C^{1} [a, b]$ und $x, y \in [a, b]$ ist nach dem Mittelwertsatz

| u (x) - u (y) | \leq ∥ u^{'} ∥_{\infty} | x - y | \leq | x - y | .

Gemäß Bemerkung und Beispiel 4.3 (b) folgt daher die gleichgradige Stetigkeit von $B_{1} (0) \subseteq C^{1} [a, b]$ . Ferner ist $∥ u ∥_{\infty} \leq ∥ u ∥_{C^{1}} \leq 1$ für alle $u \in B_{1} (0) \subseteq C^{1} [a, b]$ . Mit Satz 4.5 (Satz von Arzelà und Ascoli) folgt daher, dass die Einheitskugel $B_{1} (0)$ von $C^{1} [a, b]$ im Raum $C [a, b]$ präkompakt und damit auch relativ kompakt ist.

_________________________ Ende des Inhalts für 2023-01-20 __________________________________

7.2 Fredholmoperatoren

Seien stets $E, F$ normierte Räume über $𝕂 = ℝ$ bzw. $𝕂 = ℂ$ .

In diesem Kapitel wollen wir einige Aspekte der Klasse der Fredholmoperatoren studieren. Diese Operatorklasse verhält sich in Bezug auf das Lösen von Operatorgleichungen ähnlich gut wie Operatoren zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen. Ferner hat die Klasse gute Stabilitätseigenschaften, und sie steht in einem engen Zusammenhang mit kompakten Operatoren. Wir benötigen zunächst ein paar vorbereitende Sätze. Wir erinnern daran, dass $K (E)$ den Vektorraum der kompakten linearen Operatoren $E \to E$ bezeichne.

7.10 Hilfssatz. Sei $W \subseteq E$ ein endlichdimensionaler Teilraum. Dann besitzt $W$ ein topologisches Komplement in $E$ .

Beweis.Sei $n : = \dim W$ und $e_{1}, \dots, e_{n}$ eine Basis von $W$ . Sei ferner $φ_{1}, \dots, φ_{n}$ die duale Basis von $W^{'}$ deﬁniert durch $φ_{i} (e_{j}) : = δ_{i j}$ für $i, j = 1, \dots, n$ . Nach Satz 6.4 existieren Fortsetzungen $ψ_{1}, \dots, ψ_{n} \in E^{'}$ von $φ_{1}, \dots, φ_{n}$ . Sei nun

V : = {x \in E | ψ_{i} (x) = 0 für i = 1, \dots, n} .

Dann ist $V$ ein abgeschlossenes algebraisches Komplement zu $W$ in $E$ , wie man sich leicht überlegt, und mit Satz 3.24 (a) folgt $E = W \oplus_{t o p} V$ . □

7.11 Satz. Seien $K \in K (E)$ und $T : = I - K \in L (E)$ . Dann gilt:

(a): Kern $T$ ist endlichdimensional
(b): Bild $T$ ist abgeschlossen und hat endliche Kodimension.
(c): Ist $\dim E = \infty$ , so ist $K \notin Iso (E)$ .

Beweis. (a) Da $K |_{Kern T} = I |_{Kern T} \in K (Kern T)$ ist, folgt $\dim Kern T < \infty$ nach Satz 2.45.

(b) Sei $W : = Kern T$ . Nach (a) und Hilfssatz 7.10 existiert ein topologisches Komplement $V$ in $E$ zu $W$ ; insbesondere ist $V$ in $E$ abgeschlossen. Sei nun $y \in \bar{Bild T}$ ; dann existiert eine Folge ${(x_{n})}_{n}$ in $V$ mit $\lim_{n \to \infty} T x_{n} = y$ .

Wir behaupten, dass die Folge ${(x_{n})}_{n}$ beschränkt ist. Wäre dies nicht der Fall, dann könnten wir nach Übergang zu einer Teilfolge $∥ x_{n} ∥ \to \infty$ für $n \to \infty$ annehmen. Mit $z_{n} : = \frac{x_{n}}{∥ x_{n} ∥} \in V$ gilt dann $∥ z_{n} ∥ = 1$ für alle $n$ und $\lim_{n \to \infty} T z_{n} = 0$ . Nach erneutem Übergang zu einer Teilfolge existiert wiederum $z : = \lim_{n \to \infty} K z_{n}$ , und somit folgt

z_{n} = (T + K) z_{n} \to 0 + z = z für n \to \infty, also T z = \lim_{n \to \infty} T z_{n} = 0 .

Weil $V$ abgeschlossen ist, gilt $z \in V$ und somit $z = 0$ wegen der Injektivität von $T |_{V}$ ; dies widerspricht aber der Normierung $∥ z_{n} ∥ = 1$ für alle $n$ . Also ist $(x_{n})$ beschränkt.

Da $K$ ein kompakter Operator ist, können wir nach Übergang zu einer Teilfolge, wiederum ${(x_{n})}_{n}$ genannt, annehmen, dass $z : = \lim_{n \to \infty} K x_{n} \in E$ existiert. Dann gilt aber

x_{n} = (T + K) x_{n} \to y + z für n \to \infty,

und wegen der Stetigkeit von $T$ folgt $T (y + z) = \lim_{n \to \infty} T x_{n} = y$ , also $y \in Bild T$ . Damit ist $Bild T$ abgeschlossen in $E$ .

Wegen Satz 7.7 gilt auch $K^{'} \in K (E^{'})$ , und wegen (a) ist $Kern T^{'}$ endlichdimensional. Ferner folgt mit Satz 6.15 (c)

\begin{matrix} Bild T = \bar{Bild T} = {(Bild T)}^{⊥ ⊥} = {(Kern T^{'})}^{⊥} \\ = {x \in E | φ (x) = 0 für alle φ \in Kern T^{'}} . \end{matrix}

Dies zeigt $codim Bild T \leq m : = \dim Kern T^{'} < \infty$ , denn: Ist $φ_{1}, \dots, φ_{m}$ eine Basis von $Kern T^{'} \subseteq E^{'}$ und $X \subseteq F$ ein Unterraum mit $\dim X > m$ , so hat

⋂_{i = 1}^{m} Kern (φ_{i} |_{X})

Kodimension $\leq m$ in $X$ , also positive Dimension. Damit existiert $x \in X \ {0}$ mit $φ_{j} (x) = 0$ für $j = 1, \dots, m$ , also $φ (x) = 0$ für alle $φ \in Kern T^{'}$ und somit $x \in Bild T$ . Die Behauptung folgt.

(c) Wäre $K \in Iso (E)$ , so wäre auch $I = K K^{- 1} \in K (E)$ gemäß Satz 7.6. Mit Satz 2.45 folgte $\dim E < \infty$ , im Widerspruch zur Voraussetzung. □

7.12 Deﬁnition und Satz. Sei $V \subseteq E$ ein abgeschlossener Unterraum. Dann gilt:

(a)

Auf dem Faktorraum

E ∕ V : = {x + V | x \in E}

wird eine Norm deﬁniert durch

∥ x + V ∥ : = \inf_{v \in V} ∥ x + v ∥ = dist (x, V) .

(b)

Die Projektion

P : E \to E ∕ V

x \mapsto x + V

ist stetig mit

∥ P ∥ \leq 1

(c)

Ist

T \in L (E, F)

mit

V \subseteq Kern T

, so existiert

\tilde{T} \in L (E ∕ V, F)

mit

T = \tilde{T} P

und

∥ \tilde{T} ∥ = ∥ T ∥

(d)

Ist

E

ein Banachraum, so auch

E ∕ V

Beweis.Sei im Folgenden $\bar{x} = x + V \in E ∕ V$ für $x \in E$ .

(a) Die Seminormeigenschaften sind einfach zu sehen. Zur Deﬁnitheit: Ist $x \in E$ mit $∥ \bar{x} ∥ = dist (x, V) = 0$ , so folgt $x \in \bar{V} = V$ und somit $\bar{x} = 0_{E ∕ V}$ .

(b) Für $x \in E$ ist $∥ P x ∥ = ∥ \bar{x} ∥ \leq ∥ x + 0 ∥ = ∥ x ∥$ nach Deﬁnition der Norm. Dies zeigt die Stetigkeit von $P$ .

(c) Der Homomorphiesatz der linearen Algebra liefert eine lineare Abbildung $\tilde{T} : E ∕ V \to F$ mit $T = \tilde{T} P$ . Sei $𝜀 > 0$ . Ist $x \in E$ mit $∥ \bar{x} ∥ \leq 1$ , so existiert $y = x + v \in E$ mit $v \in V$ und $∥ y ∥ \leq ∥ \bar{x} ∥ + 𝜀 \leq 1 + 𝜀$ und somit

∥ \tilde{T} \bar{x} ∥ = ∥ \tilde{T} ȳ ∥ = ∥ \tilde{T} P y ∥ = ∥ T y ∥ \leq ∥ T ∥ ∥ y ∥ \leq ∥ T ∥ (1 + 𝜀) .

Es folgt $\tilde{T} \in L (E ∕ V, F)$ und $∥ \tilde{T} ∥ \leq ∥ T ∥ (1 + 𝜀)$ . Da $𝜀 > 0$ beliebig gewählt war, erhalten wir $∥ \tilde{T} ∥ \leq ∥ T ∥$ . Es gilt auch

∥ T ∥ = ∥ \tilde{T} P ∥ \leq ∥ \tilde{T} ∥ ∥ P ∥ \leq ∥ \tilde{T} ∥,

also insgesamt $∥ T ∥ = ∥ \tilde{T} ∥$ .

(d) Wir verwenden Satz 2.37. Seien dazu $x_{k} \in E$ , $k \in ℕ$ mit $\sum_{k = 1}^{\infty} ∥ \bar{x_{k}} ∥ < \infty$ , und seien $y_{k} \in E$ , $k \in ℕ$ mit $\bar{y_{k}} = \bar{x_{k}}$ und $∥ y_{k} ∥ \leq ∥ \bar{x_{k}} ∥ + 2^{- k}$ gewählt. Dann folgt auch $\sum_{k = 1}^{\infty} ∥ y_{k} ∥ < \infty$ . Da $E$ ein Banachraum ist, existiert somit $y : = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} y_{k}$ in $E$ gemäß Satz 2.37. Für $n \in ℕ$ gilt

\sum_{k = 1}^{n} \bar{x_{k}} = \sum_{k = 1}^{n} \bar{y_{k}} = P (\sum_{k = 1}^{n} y_{k}),

so dass die Stetigkeit von $P$ die Konvergenz der Reihe links liefert. □

7.13 Korollar. Ist $T \in L (E, F)$ , so existiert ein weiterer normierter Raum $\tilde{E}$ und eine injektive Abbildung $\tilde{T} \in L (\tilde{E}, F)$ mit $Bild \tilde{T} = Bild T$ . Dabei kann $\tilde{E}$ als Banachraum gewählt werden, wenn $E$ ein Banachraum ist.

Beweis.Wähle $V = Kern T$ , $\tilde{E} = E ∕ V$ und $\tilde{T}$ wie in Deﬁnition und Satz 7.12. □

Im Folgenden seien nun $E, F$ Banachräume über $ℝ$ oder $ℂ$ .

7.14 Satz. Ist $T \in L (E, F)$ mit $codim Bild T < \infty$ , so ist $Bild T$ abgeschlossen.

Beweis.Gemäß Korollar 7.13 können wir ohne Einschränkung annehmen, dass $T$ injektiv ist. Sei $n : = codim Bild T$ . Dann existieren $e_{1}, \dots, e_{n} \in F$ derart, dass $F = Bild T \oplus span {e_{1}, \dots, e_{n}}$ ist. Betrachte den Banachraum $E \times 𝕂^{n}$ , versehen mit der Norm $(x, ξ_{1}, \dots, ξ_{n}) \mapsto ∥ (x, ξ_{1}, \dots, ξ_{n}) ∥ = ∥ x ∥_{E} + \sum_{i = 1}^{n} | ξ_{i} |$ . Sei $S : E \times 𝕂^{n} \to F$ deﬁniert durch $S (x, ξ_{1}, \dots, ξ_{n}) = T x + \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i} e_{i}$ . Dann ist $S \in L (E \times 𝕂^{n}, F)$ bijektiv und stetig, also $S \in Iso (E \times 𝕂^{n}, F)$ gemäß Korollar 3.14. Insbesondere ist $Bild T$ als Bild der abgeschlossenen Teilmenge $E \times {0} \subseteq E \times 𝕂^{n}$ unter $S$ abgeschlossen in $F$ . □

7.15 Deﬁnition. Eine Abbildung $T \in L (E, F)$ heißt Fredholmoperator, falls $\dim Kern T < \infty$ und $codim Bild T < \infty$ ist. In diesem Fall deﬁnieren wir den Fredholmindexdurch $ind T = \dim Kern T - codim Bild T$ . Wir schreiben:

\begin{array}{l} Φ (E, F) & : = {T \in L (E, F) | T Fredholmoperator}, \\ Φ_{k} (E, F) & : = {T \in Φ (E, F) | ind T = k}, \\ Φ (E) & : = Φ (E, E), Φ_{k} (E) : = Φ_{k} (E, E) . \end{array}

7.16 Beispiel.

(a)

Sind

E, F

endlichdimensionale Banachräume mit

\dim E = m

und

\dim F = n

, so ist jeder Operator

T \in Hom (E, F)

ein Fredholmoperator, und nach dem Dimensionssatz gilt

ind T = m - n

(b)

Sei

K \in L (E)

ein kompakter Operator. Dann ist

I - K \in Φ (E)

gemäß Satz 7.11.

(c)

Sei

p \in [1, \infty]

E : = ℓ^{p} (ℕ, 𝕂)

und

T_{n} \in L (E)

für

n \in ℤ

wie folgt deﬁniert: Im Fall

n \geq 0

sei

T_{n} (x) : = (x_{n + 1}, x_{n + 2}, . . .) für x = {(x_{j})}_{j} \in E, (Linksverschiebung),

und im Fall $n < 0$ sei

T_{n} (x) : = (\underset{| n | -mal}{\underset{︸}{0, \dots, 0}}, x_{1}, x_{2}, . . .) für x = {(x_{j})}_{j} \in E (R e c h t s v e r s c h i e b u n g) .

Dann ist $T_{n} \in Φ_{n} (E)$ für alle $n \in ℤ$ .

(d)

Sei

I \subseteq ℝ

ein kompaktes (nichtdegeneriertes) Intervall und

T : C^{k} (I) \to C (I)

gegeben durch

T f = f^{(k)}

. Dann ist

T

ein Fredholmoperator vom Index

k

(Übung).

7.17 Bemerkung(Fredholm-Alternative). Ein Fredholmoperator $T \in Φ (E, F)$ vom Index $0$ erfüllt die sogenannte Fredholm-Alternative: Entweder die Gleichung $T u = f$ hat für jedes $f \in F$ eine eindeutige Lösung, oder die Gleichung $T u = 0$ hat eine nichttriviale Lösung $u \in E \ {0}$ .

7.18 Lemma. Sei $T \in Φ (E, F)$ . Dann existieren topologische Zerlegungen $E = Kern T \oplus_{t o p} W$ , $F = Bild T \oplus_{t o p} Z$ , und $T |_{W} : W \to Bild T$ ist ein topologischer Isomorphismus.

Beweis.Da $\dim Kern T < \infty$ , hat $Kern T$ gemäß Hilfssatz 7.10 ein topologisches Komplement $W$ in $E$ , d.h. es gilt $E = Kern T \oplus_{t o p} W$ . Sei nun $Z$ ein algebraisches Komplement von $Bild T$ in $F$ . Da nach Satz 7.14 $Bild T \subseteq F$ abgeschlossen ist, gilt sogar $F = Bild T \oplus_{t o p} Z$ gemäß Satz 3.24. Nun ist $T |_{W} : W \to Bild T$ eine stetige bijektive Abbildung zwischen Banachräumen, da $W$ in $E$ und $Bild T$ in $F$ abgeschlossen sind. Also ist $T |_{W} : W \to Bild T$ ein topologischer Isomorphismus gemäß Korollar 3.14. □

7.19 Satz(Indexformel). Seien $E, F$ und $Z$ Banachräume, und seien $T \in Φ (E, F)$ und $M \in Φ (F, Z)$ gegeben. Dann ist $M T \in Φ (E, Z)$ und es gilt

ind M T = ind M + ind T .

Beweis.Der folgende Beweis basiert ausschließlich auf linearer Algebra. Wir benötigen zunächst eine spezielle Zerlegung von $F$ . Dazu wählen wir zunächst einen Teilraum $\tilde{F} \subseteq F$ mit $F = (Bild T + Kern M) \oplus \tilde{F}$ . Ferner betrachten wir den nach Voraussetzung endlichdimensionalen Teilraum

V : = Bild T \cap Kern M \subseteq F

und wählen Teilräume $U \subseteq Bild T$ , $W \subseteq Kern M$ mit

Bild T = U \oplus V und Kern M = V \oplus W .

Nach Konstruktion ist dann

Bild T + Kern M = U \oplus V \oplus W

und

F = U \oplus V \oplus W \oplus \tilde{F} .

Es folgt

Kern M T = {x \in E | T x \in Kern M} = T^{- 1} (V) .

Zerlegt man diesen Unterraum von $E$ nun in der Form

Kern M T = Kern T \oplus \tilde{V},

so ist $T |_{\tilde{V}} : \tilde{V} \to V$ ein Isomorphismus und somit

\dim Kern M T = \dim Kern T + \dim V = \dim Kern T + \dim Kern M - \dim W .

(7.1)

Da $M |_{V \oplus W} = 0$ und $M |_{U \oplus \tilde{F}}$ injektiv ist, ist $Bild M = M (U) \oplus M (\tilde{F})$ . Schreibe nun $Z = M (U) \oplus M (\tilde{F}) \oplus \tilde{Z}$ . Dann ist $codim Bild M = \dim \tilde{Z}$ und

\dim M (\tilde{F}) = \dim \tilde{F} = codim Bild T - \dim W .

Ferner ist $Bild M T = M (Bild T) = M (U)$ , und somit gilt

\begin{matrix} q : 40 codim Bild M T = codim M (U) = \dim M (\tilde{F}) + \dim \tilde{Z} \\ = codim Bild T - \dim W + codim Bild M . & (7.2) \end{matrix}

Die Subtraktion von (7.1) und (??) liefert nun die Indexformel. □

_________________________ Ende des Inhalts für 2023-01-24 __________________________________

7.20 Satz. Für $T \in L (E, F)$ sind äquivalent:

(i): $T \in Φ (E, F)$ ,
(ii): Es existieren $S_{1}, S_{2} \in L (F, E)$ so, dass $I_{E} - S_{1} T \in K (E)$ und $I_{F} - T S_{2} \in K (F)$ ist.

Beweis.„(i) $\Rightarrow$ (ii)“: Nach Lemma 7.18 gibt es topologische Zerlegungen $E = Kern T \oplus_{t o p} W$ , $F = Bild T \oplus_{t o p} Z$ derart, dass $T |_{W} : W \to Bild T$ ein topologischer Isomorphismus ist. Sei $S_{0} \in L (Bild T, W)$ die Inverse, und sei

P \in L (E) die Projektion auf W längs Kern T

sowie

Q \in L (F) die Projektion auf Bild T längs Z .

Setze nun $S : = S_{0} Q \in L (F, E)$ . Wir haben dann $Bild (S_{0} T) = W$ , $S_{0} T |_{W} = I_{W}$ und $Kern T \subseteq Kern (S_{0} T)$ . Dies liefert $S_{0} T = P$ und somit

S T = S_{0} Q T = S_{0} T = P und T S = T S_{0} Q = Q .

Also ist $I_{E} - S T = I_{E} - P \in L (E)$ eine Projektion mit

\dim Bild (I_{E} - S T) = \dim Kern P = \dim Kern T < \infty,

und $I_{F} - T S = I_{F} - Q$ ist eine Projektion mit

\dim Bild (I_{F} - T S) = \dim Kern Q = \dim Z = codim Bild T < \infty .

Insbesondere gelten $I_{E} - S T \in K (E)$ und $I_{F} - T S \in K (F)$ .

„(ii) $\Rightarrow$ (i)“: Nach Beispiel 7.16 (b) ist $T S_{2} = I_{F} - (I_{F} - T S_{2}) \in Φ (F)$ , also ist $codim Bild T \leq codim Bild T S_{2} < \infty$ (da $Bild T \supseteq Bild T S_{2}$ ). Zudem ist $S_{1} T = I_{E} - (I_{E} - S_{1} T) \in Φ (E)$ , also ist $\dim Kern T \leq \dim Kern S_{1} T < \infty$ . Somit ist $T \in Φ (E, F)$ . □

7.21 Hilfssatz.

(a): Ist $T \in L (E)$ und konvergiert die sogenannteNeumannsche Reihe $\sum_{k = 0}^{\infty} T^{k}$ gegen ein $R \in L (E)$ , so ist $I - T \in Iso (E)$ mit ${(I - T)}^{- 1} = R$ . Dies gilt insbesondere, wenn $∥ T ∥ < 1$ ist.
(b): Ist $T \in Iso (E)$ und $S \in L (E)$ mit $∥ S ∥ < \frac{1}{∥ T^{- 1} ∥}$ , so ist $T - S \in Iso (E)$ und ${(T - S)}^{- 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(T^{- 1} S)}^{n} T^{- 1}$ .
(c): Die Teilmenge $Iso (E)$ ist oﬀen in $L (E)$ .

Beweis. (a) Sei $R_{n} : = \sum_{k = 0}^{n} T^{k}$ . Nach Voraussetzung ist $R : = \lim_{n \to \infty} R_{n}$ , und dies erzwingt $\lim_{n \to \infty} T^{n} = \lim_{n \to \infty} (R_{n} - R_{n - 1}) = 0$ . Es folgt

(I - T) R = \lim_{n \to \infty} (I - T) R_{n} = \lim_{n \to \infty} (I - T^{n + 1}) = I .

Genauso sieht man $R (I - T) = I$ .

(b) Es ist $T - S = T (I - T^{- 1} S)$ , wobei nach Voraussetzung $∥ T^{- 1} S ∥ \leq ∥ T^{- 1} ∥ ∥ S ∥ < 1$ gilt. Mit (a) folgt $I - T^{- 1} S \in Iso (E)$ und ${(I - T^{- 1} S)}^{- 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(T^{- 1} S)}^{n}$ . Somit ist $T - S \in Iso (E)$ und ${(T - S)}^{- 1} = {(I - T^{- 1} S)}^{- 1} T^{- 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(T^{- 1} S)}^{n} T^{- 1}$ .

7.22 Satz. Für alle $n \in ℤ$ ist $Φ_{n} (E, F)$ eine oﬀene Teilmenge von $L (E, F)$ . Mit anderen Worten: $Φ (E, F)$ ist oﬀen in $L (E, F)$ , und $ind : Φ (E, F) \to ℤ$ ist stetig, also konstant auf den Zusammenhangskomponenten von $Φ (E, F)$ .

Beweis.Wir bemerken zunächst, dass $Iso (E, F) \subseteq L (E, F)$ oﬀen ist. Dies ist trivial im Fall $Iso (E, F) = \emptyset$ . Existiert andernfalls $L \in Iso (E, F)$ , so ist $Iso (E, F)$ das Urbild von $Iso (E)$ unter der stetigen Abbildung

L (E, F) \to L (E), T \mapsto L^{- 1} T .

Dabei ist $Iso (E) \subseteq L (E)$ oﬀen nach Hilfssatz 7.21, und somit ist $Iso (E, F)$ in $L (E, F)$ oﬀen.

Nun zur Behauptung: Sei $T_{0} \in Φ_{n} (E, F)$ , und seien $W \subseteq E$ , $Z \subseteq F$ gemäß Lemma 7.18 so gewählt, dass

E = Kern T_{0} \oplus_{t o p} W, F = Bild T_{0} \oplus_{t o p} Z

und $T_{0} |_{W} : W \to Bild T_{0}$ ein topologischer Isomorphismus ist. Sei $J \in L (W, E)$ die Inklusion und $Q \in L (F, Bild T_{0})$ die Projektion auf $Bild T_{0}$ mit $Kern Q = Z$ . Dann ist $Q T_{0} J = T_{0} |_{W} \in Iso (W, Bild T_{0})$ . Wir betrachten nun die Abbildung

μ : L (E, F) \to L (W, Bild T_{0}), μ (T) : = Q T J = Q T |_{W} .

Man sieht leicht, dass $μ$ stetig ist. Da $Iso (W, Bild T_{0}) \subseteq L (W, Bild T_{0})$ gemäß der Vorbemerkung oﬀen ist, ist auch $M : = μ^{- 1} (Iso (W, Bild T_{0}))$ oﬀen in $L (E, F)$ , wobei $T_{0} \in M$ gilt. Es reicht nun, zu zeigen:

M \subseteq Φ_{n} (E, F) .

Für $T \in M$ gilt $W \cap Kern T = {0}$ , also $\dim Kern T < \infty$ . Zudem ist

Bild T + Z = F .

(7.3)

In der Tat: Ist $v = b + z \in F$ mit $b \in Bild T_{0}$ , $z \in Z$ , so existiert wegen $Q T J \in Iso (W, Bild T_{0})$ ein $w \in W$ mit $Q T w = b$ , also $v = Q T w + z = T w + z - (I_{F} - Q) (T w)$ . Es gilt aber $T w \in Bild T$ , und wegen $Z = Bild (I_{F} - Q)$ ist $z - (I_{F} - Q) (T w) \in Z$ , d.h. (7.3) ist gezeigt. Aus (7.3) folgt nun $codim Bild T \leq \dim Z = codim Bild T_{0} < \infty$ , also insgesamt $T \in Φ (E, F)$ . Ist ferner $ℓ : = \dim Kern T_{0}$ und $k : = codim Bild T_{0} = \dim Z$ , so folgt $n = ind T_{0} = ℓ - k$ sowie

J \in Φ_{- ℓ} (W, E) und Q \in Φ_{k} (F, Bild T_{0}) .

Ferner liefert die Indexformel, Satz 7.19:

0 = ind (Q T J) = ind Q + ind T + ind J = k + ind T - ℓ,

d.h. $ind T = ℓ - k = n$ . Es folgt $M \subseteq Φ_{n} (E, F)$ , also die Behauptung. □

7.23 Korollar(Stabilität des Index unter kompakten Störungen).

(a): Sei $T \in Φ (E, F)$ , $K \in K (E, F)$ . Dann ist $T + K \in Φ (E, F)$ , und es gilt $ind (T + K) = ind T$ .
(b): Sei $K \in K (E)$ . Dann ist $I_{E} - K \in Φ_{0} (E)$ .

Beweis. (a) Wegen $T \in Φ (E, F)$ existieren nach Satz 7.20 Operatoren $S_{1}, S_{2} \in L (F, E)$ so, dass $I_{E} - S_{1} T \in K (E)$ , $I_{F} - T S_{2} \in K (F)$ gilt. Da ferner $S_{1} K \in K (E)$ und $K S_{2} \in K (F)$ ist, folgt $I_{E} - S_{1} (T + K) = I_{E} - S_{1} T - S_{1} K \in K (E)$ und $I_{F} - (T + K) S_{2} = I_{F} - T S_{2} - K S_{2} \in K (F)$ . Aus Satz 7.20 folgt wiederum $T + K \in Φ (E, F)$ . Für $0 \leq t \leq 1$ ist auch $t K \in K (E, F)$ , also folgt $T + t K \in Φ (E, F)$ . Die Abbildung $[0, 1] \to ℤ$ , $t \mapsto ind (T + t K)$ ist stetig nach Satz 7.22, also konstant. Daher folgt $ind (T) = ind (T + K)$ .

(b) Folgt direkt aus (a). □

7.24 Beispiel. Sei $C_{2 π}$ bzw. $C_{2 π}^{k}$ der Banachraum der stetigen bzw. $k$ -mal stetig diﬀerenzierbaren $2 π$ -periodischen Funktionen $ℝ \to ℝ$ . Sei ferner $a \in C_{2 π}$ . Dann gilt: Genau dann hat die Diﬀerentialgleichung

u^{(k)} + a (x) u = f

(7.4)

für jedes $f \in C_{2 π}$ eine eindeutige Lösung $u \in C_{2 π}^{k}$ , wenn die homogene Gleichung

u^{(k)} + a (x) u = 0

(7.5)

nur die triviale Lösung $u = 0$ in $C_{2 π}^{k}$ hat. Dies sieht man so: Betrachte die Operatoren

T_{0}, K \in L (C_{2 π}^{k}, C_{2 π}), T_{0} u : = u^{(k)}, K u : = a u .

Dann ist $T_{0}$ ein Fredholmoperator vom Index $0$ (Übung). Ferner ist $K$ ein kompakter Operator, da die Einbettung $C_{2 π}^{k} ↪ C_{2 π}$ als Folge des Satzes von Arzela-Ascoli kompakt und die lineare Abbildung

C_{2 π} \to C_{2 π}, u \mapsto a u

stetig ist. Gemäß Korollar 7.23 (a) ist also auch $T = T_{0} + K$ ein Fredholmoperator vom Index $0$ , und die obige Behauptung folgt. Sei nun speziell $k = 2 m$ gerade und ${(- 1)}^{m} a$ eine positive Funktion. Dann hat (7.5) nur die triviale Lösung in $C_{2 π}^{k}$ , denn für jede Lösung $u \in C_{2 π}^{k}$ von (7.5) gilt mit partieller Integration

{(- 1)}^{m + 1} \int_{0}^{2 π} a u^{2} = {(- 1)}^{m} \int_{0}^{2 π} u u^{(2 m)} = \int_{0}^{2 π} {(u^{(m)})}^{2} \geq 0,

und somit $u^{2} \equiv 0$ in $[0, 2 π]$ . Folglich hat in diesem Fall (7.4) für jedes $f \in C_{2 π}$ genau eine Lösung $u \in C_{2 π}^{k}$ .

_________________________ Ende des Inhalts für 2023-01-27 __________________________________

7.3 Die Fouriertransformation

Im Folgenden sei stets $𝕂 = ℂ$ , und für $x, ξ \in ℝ^{N}$ sei $x ξ = x \cdot ξ = \sum_{k = 1}^{N} x_{k} ξ_{k}$ das Standardskalarprodukt in $ℝ^{N}$ .

7.25 Deﬁnition. $C_{0} (ℝ^{N})$ sei der Vektorraum der Funktionen $u \in C (ℝ^{N})$ mit $\lim_{| x | \to \infty} u (x) = 0$ . Dieser Raum ist ein Banachraum bzgl. $∥ \cdot ∥_{\infty}$ , da es ein abgeschlossener Unterraum des Banachraums $C_{b} (ℝ^{N})$ der beschränkten, stetigen Funktionen auf $ℝ^{N}$ ist.

7.26 Deﬁnition und Satz. Für Funktionen $u, v \in L^{1} (ℝ^{N})$ ist die Faltung $u * v \in L^{1} (ℝ^{N})$ nach dem Satz von Fubini f.ü. deﬁniert durch

(u * v) (x) : = \int_{ℝ^{N}} u (x - y) v (y) d y = \int_{ℝ^{N}} u (y) v (x - y) d y .

Es gilt nämlich

\int_{ℝ^{N}} \int_{ℝ^{N}} | u (x - y) | | v (y) | d x d y = \int_{ℝ^{N}} | v (y) | \int_{ℝ^{N}} | u (x - y) | d x d y = ∥ v ∥_{1} ∥ u ∥_{1} < \infty,

so dass nach dem Satz von Tonelli $(x, y) \mapsto u (x - y) v (y)$ eine Funktion in $L^{1} (ℝ^{N} \times ℝ^{N})$ ist. Ferner liefert der Satz von Fubini

∥ (u * v) ∥_{1} \leq ∥ v ∥_{1} ∥ u ∥_{1} .

7.27 Beispiel. Sei $u : = 1_{[- 1, 1]}$ die Indikatorfunktion des Intervalls $[- 1, 1] \subseteq ℝ$ . Dann ist

\begin{array}{l} (u * u) (x) & = \int_{ℝ} u (x - y) u (y) d y = \int_{- 1}^{1} 1_{[- 1, 1]} (x - y) d y = \int_{- 1}^{1} 1_{[x - 1, x + 1]} d y \\ = | [\max {- 1, x - 1}, \min {1, x + 1}] | = \max {0, 2 - | x |} . \end{array}

7.28 Deﬁnition. Für $u \in L^{1} (ℝ^{N})$ ist die Fouriertransformierte $û : ℝ^{N} \to ℂ$ von $u$ deﬁniert durch

û (ξ) = {(2 π)}^{- N ∕ 2} \int_{ℝ^{N}} u (x) e - i x ξ d x, ξ \in ℝ^{N} .

Die Abbildung $u \mapsto û$ heißt Fouriertransformation. Andere Bezeichnung: $F (u)$ anstelle von $û$ .

7.29 Beispiel.

(a): Sei wieder $u : = 1_{[- 1, 1]} \in L^{1} (ℝ)$ die Indikatorfunktion des Intervalls $[- 1, 1] \subseteq ℝ$ . Dann ist $\begin{array}{l} \sqrt{2 π} û (ξ) & = \int_{- 1}^{1} e - i x ξ d x = \int_{0}^{1} (e - i x ξ + e i x ξ) d x = 2 \int_{0}^{1} \cos (x ξ) d x = 2 \frac{\sin ξ}{ξ} \end{array}$
und somit $û (ξ) = \sqrt{\frac{2}{π}} \frac{\sin ξ}{ξ}$ (für $ξ = 0$ erhält man $û (0) = \sqrt{\frac{2}{π}}$ ).
(b): Sei $u \in L^{1} (ℝ)$ gegeben durch $u (x) : = e - | x |$ . Dann ist $\begin{array}{l} \sqrt{2 π} û (ξ) & = \int_{ℝ} e - | x | e - i x ξ d x = \int_{0}^{\infty} e - x (e - i x ξ + e i x ξ) d x \\ = \lim_{R \to \infty} {(\frac{e}{- x (1 + i ξ)} - (1 + i ξ) + \frac{e}{- x (1 - i ξ)} - (1 - i ξ))}_{|}^{x = 0} = \frac{1}{1 + i ξ} + \frac{1}{1 - i ξ} = \frac{2}{1 + ξ^{2}} \end{array}$
und somit $û (ξ) = \sqrt{\frac{2}{π}} \frac{1}{1 + ξ^{2}}$ .

7.30 Satz. Seien $u, v \in L^{1} (ℝ^{N})$ . Dann gilt:

(a)

û \in C_{0} (ℝ^{N})

und

∥ û ∥_{\infty} \leq {(2 π)}^{- N ∕ 2} ∥ u ∥_{1}

. Somit ist

F \in L (L^{1} (ℝ^{N}), C_{0} (ℝ^{N}))

(b)

Ist

a \in ℝ^{N}

und

u_{a} \in L^{1} (ℝ^{N})

deﬁniert durch

u_{a} (y) : = u (y - a)

, so gilt

\hat{u_{a}} (ξ) = e - i a ξ û (ξ) für ξ \in ℝ^{N} .

(c)

Ist

u

stetig diﬀerenzierbar und auch

\partial_{k} u : = \frac{\partial u}{\partial x_{k}} \in L^{1} (ℝ^{N})

für ein

k

, so gilt

\hat{\partial_{k} u} (ξ) = i ξ_{k} û (ξ) für ξ \in ℝ^{N} .

Die Fouriertransformation führt also Diﬀerenziationen in Multiplikationen über.

(d)

Ist auch die Funktion

x \mapsto h (x) : = x_{k} u (x)

integrierbar für ein

k

, so ist

û

nach

ξ_{k}

stetig partiell diﬀerenzierbar mit

ĥ (ξ) = i \partial_{k} û (ξ) .

Die Fouriertransformation führt also Multiplikationen in Diﬀerenziationen über.

(e)

\hat{u * v} (ξ) = {(2 π)}^{N ∕ 2} û (ξ) \hat{v} (ξ)

für

ξ \in ℝ^{N}

(f)

Für

λ > 0

gilt

\int_{ℝ^{N}} û (ξ) v (λ ξ) d ξ = \int_{ℝ^{N}} u (λ ξ) \hat{v} (ξ) d ξ .

Beweis. (b) Es ist

\hat{u_{a}} (ξ) = {(2 π)}^{- N ∕ 2} \int_{ℝ^{N}} u (y - a) e - i y ξ d y = {(2 π)}^{- N ∕ 2} \int_{ℝ^{N}} u (z) e - i (z + a) ξ d z = e - i a ξ û (ξ)

für $ξ \in ℝ^{N}$ .

(c) Wir betrachten zunächst den Fall $N = 1$ . Da nach Voraussetzung $u$ und $u^{'}$ in $L^{1} (ℝ)$ liegen, gilt $\lim_{| x | \to \infty} u (x) = 0$ (leichte Übung). Es folgt dann

\begin{array}{l} \sqrt{2 π} ξ û (ξ) & = ξ \int_{ℝ} u (x) e - i x ξ d x = - \frac{1}{i} \int_{ℝ} u (x) \partial_{x} (e - i x ξ) d x \\ = - \frac{1}{i} \lim_{s \to \infty} \int_{- s}^{s} u (x) \partial_{x} (e - i x ξ) d x \\ = \frac{1}{i} \lim_{s \to \infty} (- (u (x) e - i x ξ) | x = - s x = s + \int_{- s}^{s} u^{'} (x) e - i x ξ d x) \\ = \frac{1}{i} \int_{ℝ} u^{'} (x) e - i x ξ d ξ = \frac{\sqrt{2 π}}{i} \hat{u^{'}} (ξ) . \end{array}

Sei nun $N > 1$ , und ohne Einschränkung sei $k = N$ . Für $x^{'} = (x_{1}, \dots, x_{N - 1}) \in ℝ^{N - 1}$ sei ferner $U_{x^{'}} \in C^{1} (ℝ)$ deﬁniert durch $U_{x^{'}} (t) : = u (x^{'}, t)$ . Da $u$ und $\partial_{N} u$ in $L^{1} (ℝ^{N})$ liegen, folgt aus dem Satz von Fubini, dass für fast alle $x^{'} \in ℝ^{N - 1}$ sowohl $U_{x^{'}}$ als auch ${U_{x^{'}}}^{'}$ in $L^{1} (ℝ)$ liegen. Sei nun $ξ \in ℝ^{N}$ und $ξ^{'} = (ξ_{1}, \dots, ξ_{n - 1})$ ; dann folgt mit dem Satz von Fubini:

\begin{array}{l} {(2 π)}^{N ∕ 2} ξ_{N} û (ξ) & = \int_{ℝ^{N - 1}} e - i x^{'} ξ^{'} ξ_{N} \int_{ℝ} U_{x^{'}} (x_{N}) e - i x_{N} ξ_{N} d x_{N} d x^{'} \\ = \sqrt{2 π} \int_{ℝ^{N - 1}} e - i x^{'} ξ^{'} ξ_{N} \hat{U_{x^{'}}} (ξ_{N}) d x^{'} \\ = \frac{\sqrt{2 π}}{i} \int_{ℝ^{N - 1}} e - i x^{'} ξ^{'} \hat{{U_{x^{'}}}^{'}} (ξ_{N}) d x^{'} & Fall N = 1 \\ = \frac{1}{i} \int_{ℝ^{N - 1}} e - i x^{'} ξ^{'} \int_{ℝ} {U_{x^{'}}}^{'} (x_{N}) e - i x_{N} ξ_{N} d x_{N} d x^{'} \\ = \frac{1}{i} \int_{ℝ^{N}} \partial_{N} u (x) e - i x ξ d x = {(2 π)}^{N ∕ 2} \frac{1}{i} \hat{\partial_{N} u} (ξ) . \end{array}

(d) Nach Voraussetzung werden die Funktionen

x \mapsto u (x) \frac{\partial}{\partial ξ_{k}} e - i x ξ = - i x_{k} u (x) e - i x ξ, ξ \in ℝ^{N}

betragsmäßig durch die $L^{1}$ -Funktion $x \mapsto | x_{k} | | u (x) |$ majorisiert. Daher darf man im Folgenden unter dem Integral diﬀerenzieren und erhält

\partial_{k} û (ξ) = {(2 π)}^{- N ∕ 2} \int_{ℝ^{N}} u (x) \frac{\partial}{\partial ξ_{k}} e - i x ξ d x = - i {(2 π)}^{- N ∕ 2} \int_{ℝ^{N}} x_{k} u (x) e - i x ξ d x = - i ĥ (ξ) .

(e) Mit dem Satz von Fubini ist

\begin{matrix} \hat{u * v} (ξ) \\ \begin{aligned} = {(2 π)}^{- N ∕ 2} \int e - i x ξ \int u (y) v (x - y) d y d x = {(2 π)}^{- N ∕ 2} \int u (y) \int e - i (x + y) ξ v (x) d x d y \\ = {(2 π)}^{- N ∕ 2} \int u (y) e - i y ξ d y \int e - i x ξ v (x) d x = {(2 π)}^{N ∕ 2} û (ξ) \hat{v} (ξ) \end{aligned} \end{matrix}

für $ξ \in ℝ^{N}$ .

(f) Es ist

û (ξ) = {(2 π)}^{- N ∕ 2} \int_{ℝ^{N}} u (x) e - i x ξ d x = {(2 π)}^{- N ∕ 2} λ^{N} \int_{ℝ^{N}} u (λ x) e - i λ x ξ d x für ξ \in ℝ,

mit dem Satz von Fubini also

\begin{array}{l} \int_{ℝ^{N}} û (ξ) v (λ ξ) d ξ & = {(2 π)}^{- N ∕ 2} λ^{N} \int_{ℝ^{N}} u (λ x) \int_{ℝ^{N}} e - i λ x ξ v (λ ξ) d ξ d x \\ = {(2 π)}^{- N ∕ 2} \int_{ℝ^{N}} u (λ x) \int_{ℝ^{N}} e - i x ξ v (ξ) d ξ d x = \int_{ℝ^{N}} u (λ x) \hat{v} (x) d x . \end{array}

Dies liefert (f).

(a) Aus der Deﬁnition folgt direkt, dass $û \in C_{b} (ℝ^{N})$ ist und $∥ û ∥_{\infty} \leq {(2 π)}^{- N ∕ 2} ∥ u ∥_{1}$ gilt. Somit ist $F \in L (L^{1} (ℝ^{N}), C_{b} (ℝ^{N}))$ . Ist $u \in C_{c}^{\infty} (ℝ^{N})$ , so liegt für $k = 1, \dots, N$ auch $\partial_{k} u$ in $L^{1} (ℝ^{N})$ . Gemäß (c) liegt also auch die Funktion $ξ \mapsto ξ_{k} û (ξ)$ in $C_{b} (ℝ^{N})$ für $k = 1, \dots, N$ . Dies erzwingt $\lim_{| ξ | \to \infty} û (ξ) = 0$ , und somit ist $û \in C_{0} (ℝ^{N})$ . Da nun $C_{c}^{\infty} (ℝ^{N})$ gemäß Deﬁnition und Satz 4.50 in $L^{1} (ℝ^{N})$ dicht liegt und $F$ als Abbildung von $L^{1} (ℝ^{N})$ nach $C_{b} (ℝ^{N})$ stetig ist, folgt nun

F (L^{1} (ℝ^{N})) = F (\bar{C_{c}^{\infty} (ℝ^{N})}) \subseteq \bar{F (C_{c}^{\infty} (ℝ^{N}))} \subseteq C_{0} (ℝ^{N}) . □

7.31 Beispiel. Sei $u : = 1_{[- 1, 1]}$ die Indikatorfunktion des Intervalls $[- 1, 1] \subseteq ℝ$ und $v = u * u$ , d.h. $v (x) = \max {0, 2 - | x |}$ . Gemäß Beispiel 7.29 und Satz 7.30 (f) ist dann $\hat{v} (ξ) = 2 \sqrt{\frac{2}{π}} {(\frac{\sin ξ}{ξ})}^{2}$ .

7.32 Satz. Sei $φ \in L^{1} (ℝ^{N})$ deﬁniert durch $φ (x) : = e - \frac{| x |^{2}}{2}$ . Dann gilt $\hat{φ} = φ$ .

Beweis.Wir bemerken zunächst, dass $\int_{ℝ} e - \frac{x^{2}}{2} d x = \sqrt{2 π}$ gilt. Tatsächlich ist

(\int_{ℝ} e - \frac{x^{2}}{2} d x) 2 = \int_{ℝ} \int_{ℝ} e - \frac{x^{2}}{2} e - \frac{y^{2}}{2} d x d y = 2 π \int_{0}^{\infty} r e - r^{2} ∕ 2 d r = 2 π \int_{0}^{\infty} e - τ d τ = 2 π .

Nun zum Beweis des Satzes; sei dazu zunächst $N = 1$ . Dann ist $φ^{'} (x) = - x e - \frac{x^{2}}{2}$ für $x \in ℝ$ , also oﬀensichtlich $φ^{'} \in L^{1} (ℝ)$ . Somit liefert Satz 7.30 (d):

\begin{array}{l} ξ \hat{φ} (ξ) & = - i \hat{φ^{'}} (ξ) = \frac{i}{\sqrt{2 π}} \int_{ℝ} x e - \frac{x^{2}}{2} - i x ξ d x = - \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{ℝ} \partial_{ξ} (e - \frac{x^{2}}{2} - i x ξ) d x \\ = - \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{d}{d ξ} \int_{ℝ} e - \frac{x^{2}}{2} - i x ξ d x = - {(\hat{φ})}^{'} (ξ) \end{array}

für alle $ξ \in ℝ$ . Integration dieser Diﬀerentialgleichung für $\hat{φ}$ liefert $\hat{φ} (ξ) = c e - \frac{ξ^{2}}{2} = c φ (ξ)$ mit einem $c \in ℝ$ . Da $φ (0) = 1$ und gemäß der Vorbemerkung

\hat{φ} (0) = {(2 π)}^{- 1 ∕ 2} \int_{ℝ} φ (x) d x = 1

ist, folgt $c = 1$ und somit die Behauptung. Im Fall $N > 1$ verwendet man wieder den Satz von Fubini:

\begin{matrix} \hat{φ} (ξ) = {(2 π)}^{- N ∕ 2} \int_{ℝ^{N}} e - \frac{| x |^{2}}{2} - i x ξ d x \\ = \prod_{k = 1}^{N} {(2 π)}^{- 1 ∕ 2} \int_{ℝ} e - \frac{x_{k}^{2}}{2} - i x_{k} ξ_{k} d x_{k} \overset{Fall N = 1}{=} \prod_{k = 1}^{N} e - \frac{ξ_{k}^{2}}{2} = φ (ξ) . \end{matrix}

□

_________________________ Ende des Inhalts für 2023-01-31 __________________________________

7.33 Satz(Fouriersche Umkehrformel, 1. Version). Sei $u \in L^{1} (ℝ^{N})$ .

(a)

Ist

u \in C_{b} (ℝ^{N})

und

û \in L^{1} (ℝ^{N})

, so gilt

u (x) = {(2 π)}^{- N ∕ 2} \int_{ℝ^{N}} û (ξ) e i ξ x d ξ = \hat{\hat{u}} (- x) für alle x \in ℝ^{N} .

(7.6)

(b)

Ist

u \in C_{c}^{\infty} (ℝ^{N})

, so gilt

û \in L^{1} (ℝ^{N}) \cap C_{0} (ℝ^{N})

, und (7.6) gilt.

(c)

Für jedes

v \in C_{c}^{\infty} (ℝ^{N})

existiert ein

u \in L^{1} (ℝ^{N}) \cap C_{0} (ℝ^{N})

mit

û = v

Beweis. (a) Sei $x \in ℝ^{N}$ und $u_{x} \in L^{1} (ℝ^{N})$ deﬁniert durch $u_{x} (y) : = u (y - x)$ , und sei $φ$ wie in Satz 7.32 gegeben. Dann liefern Satz 7.30 und Satz 7.32:

\int_{ℝ^{N}} û (ξ) e - i ξ x φ (λ ξ) d ξ = \int_{ℝ^{N}} \hat{u_{x}} (ξ) φ (λ ξ) d ξ = \int_{ℝ^{N}} u_{x} (λ ξ) φ (ξ) d ξ .

Für $λ \to 0$ erhält man mit dem Konvergenzsatz von Lebesgue :

\int_{ℝ^{N}} û (ξ) e - i ξ x d ξ = \int_{ℝ^{N}} u_{x} (0) φ (ξ) d ξ = u_{x} (0) {(2 π)}^{N ∕ 2} = {(2 π)}^{N ∕ 2} u (- x) .

Die Behauptung folgt durch Betrachtung von $- x$ anstelle von $x$ .

(b) Bekanntermaßen ist $û \in C_{0} (ℝ^{N})$ . Mit $u$ ist ferner auch $v : = {(- Δ + 1)}^{N} u \in C_{c}^{\infty} (ℝ^{N})$ . Also liefert Satz 7.30 (c), dass die Funktion

ℝ^{N} \to ℝ, ξ \mapsto \hat{v} (ξ) = {(1 + | ξ |^{2})}^{N} û (ξ)

stetig und beschränkt ist. Mit $C : = ∥ \hat{v} ∥_{\infty}$ folgt also $| û (ξ) | \leq \frac{C}{{(1 + | ξ |^{2})}^{N}}$ für alle $ξ \in ℝ^{N}$ , und somit ist $û \in L^{1} (ℝ^{N})$ . Gemäß (a) gilt also (7.6).

(c) Sei $w \in C_{c}^{\infty} (ℝ^{N})$ deﬁniert durch $w (x) : = v (- x)$ . Gemäß (b) ist dann $u : = ŵ \in L^{1} (ℝ^{N}) \cap C_{0} (ℝ^{N})$ , und (7.6) liefert $v (x) = w (- x) = \hat{\hat{w}} (x) = û (x)$ für alle $x \in ℝ^{N}$ . □

7.34 Beispiel. Sei $u : = 1_{[- 1, 1]}$ die Indikatorfunktion des Intervalls $[- 1, 1] \subseteq ℝ$ und $v = u * u$ , d.h. $v (x) = \max {0, 2 - | x |}$ . Gemäß Beispiel 7.31 ist dann $\hat{v} (ξ) = 2 \sqrt{\frac{2}{π}} {(\frac{\sin ξ}{ξ})}^{2}$ , d.h. $\hat{v} \in L^{1} (ℝ)$ . Mit Satz 7.33 folgt also

\begin{matrix} \max {0, 2 - | x |} = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{ℝ} \hat{v} (ξ) e i ξ x d ξ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{ℝ} \hat{v} (ξ) \cos (ξ x) d ξ \\ = \frac{2}{π} \int_{ℝ} {(\frac{\sin ξ}{ξ})}^{2} \cos (ξ x) d ξ . \end{matrix}

Speziell mit $x = 0$ folgt

\int_{0}^{\infty} {(\frac{\sin ξ}{ξ})}^{2} d ξ = \frac{π}{2} .

7.35 Hilfssatz. Sei $Ω \subseteq ℝ^{N}$ oﬀen, $1 \leq p < q < \infty$ , und sei $u \in L^{p} (Ω) \cap L^{q} (Ω)$ . Dann existiert eine Folge ${(u_{n})}_{n}$ in $C_{c}^{\infty} (Ω)$ mit $∥ u_{n} - u ∥_{s} \to 0$ für $n \to \infty$ und $s \in [p, q]$ .

Beweis.Sei $Ω_{n} : = Ω \cap U_{n} (0)$ und $v_{n} : = u \cdot 1_{Ω_{n}}$ für $n \in ℕ$ . Mit der Interpolationsungleichung Bemerkung und Beispiel 4.26 (a) und dem Satz von Lebesgue folgt dann

∥ v_{n} - u ∥_{s} \to 0 für n \to \infty und s \in [p, q]

(7.7)

Sei $C_{n} : = \max {1, | Ω_{n} |^{\frac{1}{q} - \frac{1}{p}}}$ für $n \in ℕ$ . Gemäß Deﬁnition und Satz 4.50 existiert zu jedem $n \in ℕ$ ein $u_{n} \in C_{c}^{\infty} (Ω)$ mit $∥ u_{n} - v_{n} ∥_{q} \leq \frac{1}{n C_{n}} \leq \frac{1}{n}$ . Aus Bemerkung und Beispiel 4.26 (b) folgt

∥ u_{n} - v_{n} ∥_{p} \leq C_{n} ∥ u_{n} - v_{n} ∥_{q} \leq \frac{1}{n},

gemäß der Interpolationsungleichung Bemerkung und Beispiel 4.26 (a) also

∥ u_{n} - v_{n} ∥_{s} \leq \frac{1}{n} für n \in ℕ und s \in [p, q] .

(7.8)

Die Kombination von (7.7) und (7.8) ergibt, dass die Folge ${(u_{n})}_{n}$ die gewünschte Eigenschaft hat. □

7.36 Hauptsatz. Für alle $u \in L^{1} (ℝ^{N}) \cap L^{2} (ℝ^{N})$ ist $û \in L^{2} (ℝ^{N})$ und $∥ û ∥_{2} = ∥ u ∥_{2}$ . Somit lässt sich die Fouriertransformation in eindeutiger Weise zu einem isometrischen Isomorphismus (bzw. einem unitären Operator, siehe Bemerkung 5.43)

F : L^{2} (ℝ^{N}) \to L^{2} (ℝ^{N})

fortsetzen.

Beweis.Ist $u \in C_{c}^{\infty} (ℝ^{N})$ , so liefert Satz 7.33 (b), dass $û$ in $L^{1} (ℝ^{N}) \cap L^{\infty} (ℝ^{N})$ liegt, also nach Bemerkung und Beispiel 4.26 (a) auch in $L^{1} (ℝ^{N}) \cap L^{2} (ℝ^{N})$ . Mit Satz 7.33 (a) folgt ferner

\hat{\bar{û}} (x) = {(2 π)}^{- \frac{N}{2}} \int_{ℝ^{N}} \bar{û} (ξ) e - i ξ x d ξ = \overset{i ξ x}{{(2 π)}^{- \frac{N}{2}} \int_{ℝ^{N}} û (ξ) e} = \bar{u} (x) .

Anwendung von Satz 7.30 (f) mit $λ = 1$ liefert nun

∥ û ∥_{2}^{2} = \int_{ℝ^{N}} û \bar{û} = \int_{ℝ^{N}} u \hat{\bar{û}} = \int_{ℝ^{N}} u \bar{u} = ∥ u ∥_{2}^{2} .

Es folgt, dass die Abbildung $C_{c}^{\infty} (ℝ^{N}) \to L^{2} (ℝ^{N})$ , $u \mapsto û$ eine Isometrie bzgl. $∥ \cdot ∥_{2}$ ist und sich somit nach Deﬁnition und Satz 4.50 und Satz 6.1 in eindeutiger Weise zu einer linearen Isometrie $F : L^{2} (ℝ^{N}) \to L^{2} (ℝ^{N})$ fortsetzen lässt. Für $u \in L^{1} (ℝ^{N}) \cap L^{2} (ℝ^{N})$ gilt dabei $F (u) = û$ , denn: Gemäß Hilfssatz 7.35 existiert eine Folge ${(u_{n})}_{n} \subseteq C_{c}^{\infty} (ℝ^{N})$ mit $u_{n} \to u$ in $L^{1} (ℝ^{N})$ und $L^{2} (ℝ^{N})$ , insbesondere also

û_{n} = F (u_{n}) \to F (u) bzgl. ∥ \cdot ∥_{2} .

Wegen Satz 4.29 dürfen wir (nach Übergang zu einer Teilfolge) auch annehmen, dass $û_{n}$ punktweise f.ü. gegen $F (u)$ konvergiert. Allerdings gilt für alle $ξ \in ℝ^{N}$ auch

| û (ξ) - û_{n} (ξ) | \leq {(2 π)}^{- \frac{N}{2}} \int_{ℝ^{N}} | (u (x) - u_{n} (x)) e - i x ξ | d x = {(2 π)}^{- \frac{N}{2}} ∥ u - u_{n} ∥_{1} \to 0

für $n \to \infty$ ; also folgt $F (u) = û$ . Zu zeigen bleibt noch die Surjektivität von $F$ . Aus Satz 7.33 (c) folgt zunächst die Inklusion $C_{c}^{\infty} (ℝ^{N}) \subseteq Bild F$ . Da $Bild F$ als Bild von $L^{2} (ℝ^{N})$ unter einer Isometrie vollständig und damit abgeschlossen in $L^{2} (ℝ^{N})$ ist, folgt dann $L^{2} (ℝ^{N}) = \bar{C_{c}^{\infty} (ℝ^{N})} \subseteq Bild F$ und somit die Surjektivität von $F$ . □

7.37 Bemerkung.

(a)

Die Fouriertransformierte einer Funktion

u \in L^{2} (ℝ^{N})

lässt sich als Limes

F (u) = \lim_{R \to \infty} F_{R} (u) in L^{2} (ℝ^{N})

darstellen mit

F_{R} (u) (ξ) : = {(2 π)}^{- \frac{N}{2}} \int_{B_{R} (0)} u (x) e - i x ξ d x, ξ \in ℝ^{N} .

Dies folgt mit dem Hauptsatz 7.36 aus der Tatsache, dass $F_{R} (u) = F (u_{R})$ mit $u_{R} : = u \cdot 1_{B_{R} (0)} \in L^{2} (ℝ^{N}) \cap L^{1} (ℝ^{N})$ für $R > 0$ gilt und die Funktionen $u_{R}$ für $R \to \infty$ in $L^{2} (ℝ^{N})$ gegen $u$ konvergieren.

Die abstrakte Grenzwertbildung in der Deﬁnition von $F$ wird durch diese Formel konkretisiert.

(b)

Als Abbildung

F : L^{1} (ℝ^{N}) \to C_{0} (ℝ^{N})

ist die Fouriertransformation injektiv, aber nicht surjektiv (ohne Beweis).

Eine Anwendung der Fourier-Transformation ist das folgende

7.38 Beispiel. Für $n \in ℕ_{0}$ seien die Funktionen $h_{n}, H_{n} : ℝ \to ℂ$ deﬁniert durch

h_{n} (x) : = {(- 1)}^{n} e x^{2} {(\frac{d}{d x})}^{n} e - x^{2}, H_{n} (x) : = {(\sqrt{π} 2^{n} n!)}^{- 1 ∕ 2} h_{n} (x) e - \frac{x^{2}}{2} .

Die Funktion $h_{n}$ ist oﬀensichtlich ein Polynom vom Grad $n$ . In ihrer Gesamtheit heißen die $h_{n}$ Hermite- Polynome, und die Funktionen $H_{n}$ heißen Hermite-Funktionen. Man kann zeigen (Übung):

(a): Die Funktionen $H_{n}$ , $n \in ℕ_{0}$ , bilden ein Orthonormalsystem von $L^{2} (ℝ, ℂ)$ .
(b): Für alle $n \in ℕ_{0}$ gilt $\hat{H_{n}} = {(- i)}^{n} H_{n}$ .

Wir zeigen nun, dass die Menge der Funktionen $H_{n}$ auch total in $L^{2} (ℝ)$ und somit eine Orthonormalbasis ist. Sei dazu

f \in {\bar{span {H_{n} | n \in ℕ_{0}}}}^{⊥} \subseteq L^{2} (ℝ);

zu zeigen ist $f \equiv 0$ . Sei dazu $ξ \in ℝ$ beliebig. Da für $n \in ℕ_{0}$ die Funktion

g_{n} \in L^{1} (ℝ) \cap L^{2} (ℝ), g_{n} (x) : = \frac{{(i ξ x)}^{n}}{n!} e - \frac{x^{2}}{2},

im Erzeugnis der Funktionen $H_{k}$ , $k \leq n$ liegt, erhält man

\int_{ℝ} f {\bar{g}}_{n} = 0 für alle n \in ℕ \cup {0} .

(7.9)

Da die Reihe $\sum_{n = 0}^{\infty} g_{n}$ in $L^{2} (ℝ)$ gegen die Funktion

g \in L^{1} (ℝ) \cap L^{2} (ℝ), g (x) = e i x ξ - \frac{x^{2}}{2}

konvergiert, folgt mit (7.9) also

0 = \int_{ℝ} f \bar{g} = \int_{ℝ} e - i x ξ f (x) e - \frac{x^{2}}{2} d x = \sqrt{2 π} ĥ (ξ)

für $h \in L^{1} (ℝ) \cap L^{2} (ℝ)$ deﬁniert durch $h (x) : = f (x) e - \frac{x^{2}}{2}$ . Da $ξ \in ℝ$ beliebig gewählt war, folgt $ĥ \equiv 0$ , und Hauptsatz 7.36 liefert $h \equiv 0$ . Es folgt $f \equiv 0$ , was zu zeigen war.

_________________________ Ende des Inhalts für 2023-02-03 __________________________________

7.4 Der Rieszsche Darstellungssatz für Linearformen auf $C_{c} (X)$

Sei stets $(X, d)$ ein lokal kompakter und $σ$ -kompakter metrischer Raum. Ziel dieses Kapitels ist eine Charakterisierung des Dualraums von $(C_{c} (X), ∥ \cdot ∥_{\infty})$ .

7.39 Deﬁnition. Eine $ℝ$ -lineare Abbildung $Φ : C_{c} (X, ℝ) \to ℝ$ heißt positiv, wenn gilt:

Φ (f) \geq 0 für alle nichtnegativen Funktionen f \in C_{c} (X) .

(7.10)

Mit $Λ_{+} (X)$ bezeichnen wir im Folgenden die Menge der positiven Linearformen auf dem Raum $C_{c} (X, ℝ)$ . Bemerkung: (7.10) ist oﬀensichtlich äquivalent zur Monotonieeigenschaft

Φ (f) \leq Φ (g) für f, g \in C_{c} (X) mit f \leq g .

(7.11)

7.40 Satz und Deﬁnition. Sei $Φ \in Λ_{+} (X)$ . Für eine oﬀene Teilmenge $U$ von $X$ deﬁnieren wir

μ (U) : = \sup {Φ (f) | f \in C_{c} (X, [0, 1]), supp f \subseteq U},

(7.12)

und für eine beliebige Teilmenge $A$ von $X$

μ (A) : = \inf {μ (U) | U oﬀen in X mit A \subseteq U} .

(7.13)

Dann ist $μ$ ein äußeres Maß auf $X$ , d.h. es gilt:

(i): $μ (\emptyset) = 0$ .
(ii): Sind $A, A_{k} \subseteq X$ , $k \in ℕ$ mit $A \subseteq ⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k}$ , so gilt $μ (A) \leq \sum_{k = 1}^{\infty} μ (A_{k})$ .

Ferner ist die Einschränkung von $μ$ auf die Borelalgebra $B (X)$ ein Radon-Maß. Wir nennen diese Einschränkungdas von $Φ$ induzierte Radon-Maß $μ$ .

Bemerkung: Für oﬀene Teilmengen $A \subseteq B \subseteq X$ folgt aus (7.12) die Monotonieeigenschaft $μ (A) \leq μ (B)$ . Daher stimmt für oﬀene Teilmengen $A \subseteq X$ die Deﬁnition (7.13) mit (7.12) überein, d.h. $μ$ ist wohldeﬁniert.

Wir verschieben den etwas längeren maßtheoretischen Beweis ans Ende von Abschnitt 7.4.

7.41 Bemerkung. Ist $Φ \in Λ_{+} (X)$ , so gilt für das von $Φ$ induzierte Borelmaß $μ$ auch

μ (U) = \sup {Φ (h) | h \in C_{c} (X, ℝ), 0 \leq h \leq 1_{U}} für U \subseteq X oﬀen.

Dabei ist „ $\leq$ “ oﬀensichtlich. Zum Beweis von „ $\geq$ “ sei $h \in C_{c} (X, [0, 1])$ beliebig mit $h \leq 1_{U}$ . Es gilt dann nicht unbedingt $supp h \subseteq U$ ! Deshalb deﬁnieren wir die Hilfsfunktion $h_{𝜀} : = {(h - 𝜀)}^{+} \in C_{c} (X, [0, 1])$ für $𝜀 > 0$ . Man überzeugt sich leicht, dass für diese $supp h_{𝜀} \subseteq U$ gilt. Wählt man zudem wie im Beweis von Satz 4.45 (b) $u \in C_{c} (X, [0, 1])$ mit $u \equiv 1$ auf $supp h$ , so gilt $h - h_{𝜀} \leq 𝜀 u$ in $X$ und somit $Φ (h - h_{𝜀}) \leq Φ (𝜀 u) = 𝜀 Φ (u)$ . Es folgt

μ (U) \geq Φ (h_{𝜀}) = Φ (h) - Φ (h - h_{𝜀}) \geq Φ (h) - 𝜀 Φ (u) für alle 𝜀 > 0

und somit $μ (U) \geq Φ (h)$ . Die Behauptung folgt.

7.42 Satz. Seien $Φ \in Λ_{+} (X)$ und $μ$ das induzierte Radon-Maß auf $X$ . Dann gilt

Φ (f) = \int_{X} f d μ für alle f \in C_{c} (X, ℝ) .

(7.14)

Beweis.Es reicht aufgrund der Linearität beider Seiten, (7.14) für eine gegebene nichtnegative Funktion $f \in C_{c} (X, ℝ) \ {0}$ zu zeigen. Sei $𝜀 > 0$ . Wir wählen $0 = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{n} = 2 ∥ f ∥_{\infty}$ mit $t_{i} - t_{i - 1} < 𝜀$ und $μ (f^{- 1} (t_{i})) = 0$ für $i = 1, \dots, n$ . Sei $U_{i} : = f^{- 1} ((t_{i - 1}, t_{i}))$ für $i = 1, \dots, n$ . Dann ist $U_{i}$ oﬀen. Wegen $U_{i} \subseteq supp f$ gilt $μ (U_{i}) < \infty$ . Da $μ$ ein Radon-Maß ist, existieren kompakte Mengen $K_{i} \subseteq U_{i}$ mit

μ (U_{i} \ K_{i}) < \frac{𝜀}{n} für i = 1, \dots, n .

(7.15)

Nach Deﬁnition von $μ$ existieren ferner $g_{i} \in C_{c} (X, [0, 1])$ , $i = 1, \dots, n$ mit $supp g_{i} \subseteq U_{i}$ und $μ (U_{i}) - \frac{𝜀}{n} \leq Φ (g_{i})$ für $i = 1, \dots, n$ . Wähle nun wie im Beweis von Satz 4.45 (b) Funktionen $h_{i} \in C_{c} (X, [0, 1])$ mit $supp h_{i} \subseteq U_{i}$ und $h_{i} \equiv 1$ auf $supp g_{i} \cup K_{i}$ für $i = 1, \dots n$ . Dann ist $g_{i} \leq h_{i}$ für $i = 1, \dots, n$ , und aufgrund der Monotonie von $Φ$ und der Deﬁnition von $μ$ folgt

μ (U_{i}) - \frac{𝜀}{n} \leq Φ (h_{i}) \leq μ (U_{i}) für i = 1, \dots, n .

(7.16)

Betrachte nun $\tilde{f} : = f \cdot (1 - \sum_{i = 1}^{n} h_{i}) \in C_{c} (X, [0, \infty))$ und die oﬀene Menge $A : = {x \in X | \tilde{f} (x) > 0}$ . Es gilt

A = ⋃_{i = 1}^{n} ((U_{i} \ h_{i}^{- 1} (1)) \cup f^{- 1} (t_{i})) \subseteq ⋃_{i = 1}^{n} ((U_{i} \ K_{i}) \cup f^{- 1} (t_{i}))

und damit

μ (A) \leq \sum_{i = 1}^{n} μ (U_{i} \ K_{i}) < 𝜀

gemäß (7.15). Ferner folgt mit Bemerkung 7.41:

\begin{matrix} Φ (\tilde{f}) \leq \sup {Φ (h) | h \in C_{c} (X, ℝ), 0 \leq h \leq ∥ f ∥_{\infty} 1_{A}} \\ = ∥ f ∥_{\infty} \sup {Φ (h) | h \in C_{c} (X, ℝ), 0 \leq h \leq 1_{A}} = ∥ f ∥_{\infty} μ (A) \leq 𝜀 ∥ f ∥_{\infty} . \end{matrix}

Mit (7.16) folgt nun

\begin{matrix} Φ (f) = Φ (f \sum_{i = 1}^{n} h_{i}) + Φ (\tilde{f}) \leq Φ (\sum_{i = 1}^{n} t_{i} h_{i}) + 𝜀 ∥ f ∥_{\infty} \\ = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} Φ (h_{i}) + 𝜀 ∥ f ∥_{\infty} \leq \sum_{i = 1}^{n} t_{i} μ (U_{i}) + 𝜀 ∥ f ∥_{\infty} \end{matrix}

und

\begin{matrix} Φ (f) \geq Φ (f \sum_{i = 1}^{n} h_{i}) \geq Φ (\sum_{i = 1}^{n} t_{i - 1} h_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} t_{i - 1} Φ (h_{i}) \\ \geq \sum_{i = 1}^{n} t_{i - 1} (μ (U_{i}) - \frac{𝜀}{n}) \geq \sum_{i = 1}^{n} t_{i - 1} μ (U_{i}) - t_{n} 𝜀 . \end{matrix}

Da weiterhin aufgrund der Monotonie des Integrals

\sum_{i = 1}^{n} t_{i - 1} μ (U_{i}) \leq \int_{X} f d μ \leq \sum_{i = 1}^{n} t_{i} μ (U_{i})

gilt, erhält man

| Φ (f) - \int_{X} f d μ | \leq \sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - t_{i - 1}) μ (U_{i}) + 𝜀 (∥ f ∥_{\infty} + t_{n}) \leq 𝜀 μ (supp f) + 3 𝜀 ∥ f ∥_{\infty} .

Durch Grenzübergang $𝜀 \to 0$ folgt nun (7.14), wie behauptet. □

_________________________ Ende des Inhalts für 2023-02-07 __________________________________

Im Folgenden sei $C_{c} (X) = C_{c} (X, 𝕂)$ mit $𝕂 = ℝ$ oder $𝕂 = ℂ$ . Wir bemerken, dass $C_{c} (X)$ , versehen mit $∥ \cdot ∥_{\infty}$ , im Allgemeinen nicht vollständig ist; die Vervollständigung ist gegeben durch den Raum $C_{0} (X)$ der stetigen Funktionen $f : X \to 𝕂$ derart, dass für jedes $𝜀 > 0$ eine kompakte Menge $K \subseteq X$ existiert mit $| f | \leq 𝜀$ auf $X \ K$ . Ist $X$ selbst kompakt, so gilt oﬀensichtlich $C_{c} (X) = C (X) = C_{0} (X)$ , und man hat somit bereits einen Banachraum.

7.43 Satz. Sei $Ψ \in C_{c} {(X)}^{'}$ . Dann existiert ein $Φ \in Λ_{+} (X)$ mit

Φ (f) = \sup {| Ψ (g) | | g \in C_{c} (X), | g | \leq f} für alle f \in C_{c} (X, [0, \infty)) .

(7.17)

Ist ferner $μ$ das von $Φ$ induzierte Radon-Maß, so gilt für oﬀene Teilmengen $U \subseteq X$ :

μ (U) = \sup {| Ψ (g) | | g \in C_{c} (X), supp g \subseteq U, ∥ g ∥_{\infty} \leq 1} .

(7.18)

Beweis.Für $f \in C_{c} (X, [0, \infty))$ sei $Φ (f)$ wie in (7.17) deﬁniert; dann gilt $Φ (f) \geq 0$ und $Φ (c f) = c Φ (f)$ für $c \geq 0$ . Ferner gilt $Φ (f_{1}) \leq Φ (f_{2})$ für $f_{1}, f_{2} \in C_{c} (X, [0, \infty))$ , $f_{1} \leq f_{2}$ . Wir zeigen nun:

Φ (f_{1} + f_{2}) = Φ (f_{1}) + Φ (f_{2}) für f_{1}, f_{2} \in C_{c} (X, [0, \infty)) .

(7.19)

„ $\geq$ “: Seien dazu $g_{1}, g_{2} \in C_{c} (X)$ beliebig mit $| g_{i} | \leq f_{i}$ für $i = 1, 2$ gegeben, und seien $α_{i} \in 𝕂$ mit $| α_{i} | = 1$ und $α_{i} Ψ (g_{i}) = | Ψ (g_{i}) |$ für $i = 1, 2$ gewählt. Dann ist $| α_{1} g_{1} + α_{2} g_{2} | \leq f_{1} + f_{2}$ und

| Ψ (g_{1}) | + | Ψ (g_{2}) | = Ψ (α_{1} g_{1} + α_{2} g_{2}) \leq | Ψ (α_{1} g_{1} + α_{2} g_{2}) | \leq Φ (f_{1} + f_{2}) .

Durch Supremumsbildung folgt also $Φ (f_{1}) + Φ (f_{2}) \leq Φ (f_{1} + f_{2})$ .

„ $\leq$ “: Sei $g \in C_{c} (X)$ beliebig mit $| g | \leq f_{1} + f_{2}$ gegeben. Für $i = 1, 2$ sei ferner

g_{i} : X \to 𝕂, g_{i} (x) = {\begin{matrix} \frac{g (x) f_{i} (x)}{f_{1} (x) + f_{2} (x)}, & f_{1} (x) + f_{2} (x) > 0, \\ 0, & f_{1} (x) + f_{2} (x) = 0 . \end{matrix}

Mittels der Ungleichung $| g_{i} | \leq f_{i}$ sieht man dann leicht, dass $g_{i}$ für $i = 1, 2$ in $C_{c} (X)$ liegt. Außerdem gilt

| Ψ (g) | = | Ψ (g_{1} + g_{2}) | \leq | Ψ (g_{1}) | + | Ψ (g_{2}) | \leq Φ (f_{1}) + Φ (f_{2}) .

Durch Supremumsbildung folgt $Φ (f_{1} + f_{2}) \leq Φ (f_{1}) + Φ (f_{2})$ , und insgesamt (7.19). Wir setzen nun

Φ (f) : = Φ (f^{+}) - Φ (f^{-}) für f \in C_{c} (X, ℝ) .

Unter Verwendung von (7.19) sieht man dann leicht, dass $Φ$ linear ist.

Wir zeigen noch, dass (7.12) und (7.17) die Charakterisierung (7.18) für eine oﬀene Teilmenge $U$ von $X$ liefern. Um „ $\geq$ “ zu sehen, sei $g \in C_{c} (X)$ mit $supp g \subseteq U$ und $∥ g ∥_{\infty} \leq 1$ gegeben. Dann gilt für $f : = | g |$ : $f \in C_{c} (X, [0, 1])$ , $supp f \subseteq U$ und $μ (U) \geq Φ (f) \geq | Ψ (g) |$ . Weil $g$ mit diesen Eigenschaften beliebig war, liefert dies „ $\geq$ “. Für „ $\leq$ “ seien $f \in C_{c} (X, [0, 1])$ , $supp f \subseteq U$ und $𝜀 > 0$ gegeben. Dann existiert $h \in C_{c} (X)$ mit $| h | \leq f$ und $Φ (f) \leq | Ψ (h) | + 𝜀$ . Es folgt $supp h \subseteq U$ und $∥ h ∥_{\infty} \leq 1$ , also

Φ (f) \leq \sup {| Ψ (g) | | g \in C_{c} (X), supp g \subseteq U, ∥ g ∥_{\infty} \leq 1} + 𝜀 .

Das Bilden des Supremums über alle diese $f$ und Übergang zum Grenzwert $𝜀 \to 0$ liefert „ $\leq$ “, also (7.18). □

7.44 Hauptsatz(Rieszscher Darstellungssatz). Zu jedem $Ψ \in C_{c} {(X)}^{'}$ existiert ein Radon-Maß $μ$ und eine $μ$ -messbare Funktion $α : X \to 𝕂$ mit $| α | = 1$ $μ$ -f.ü. auf $X$ und derart, dass

Ψ (f) = \int_{X} f α d μ für alle f \in C_{c} (X)

(7.20)

gilt. Ist ferner $X$ kompakt, so gilt

∥ Ψ ∥ = μ (X) .

(7.21)

Ferner ist $μ$ durch (7.20) auf Borelmengen eindeutig bestimmt, und $α$ ist $μ$ -f.ü. eindeutig bestimmt.

Beweis.Zur Existenz: Sei $Φ \in Λ_{+} (X)$ wie in Satz 7.43 gewählt, und sei $μ$ das von $Φ$ induzierte Radon-Maß. Dann gilt gemäß (7.17) und (7.14)

| Ψ (f) | \leq Φ (| f |) = \int_{X} | f | d μ = ∥ f ∥_{L^{1} (X, d μ)} für f \in C_{c} (X) .

(7.22)

Sei im Folgenden $L^{p} (X) : = L^{p} (X, d μ)$ für $1 \leq p \leq \infty$ . Da $C_{c} (X)$ gemäß Satz 4.47 in $L^{1} (X)$ dicht liegt, lässt sich $Ψ$ nach Satz 6.1 (b) zu einer stetigen Linearform auf $L^{1} (X)$ mit $∥ Ψ ∥_{L^{1} {(X)}^{'}} \leq 1$ fortsetzen. Nach Satz 6.52 existiert also ein $α \in L^{\infty} (X)$ mit $∥ α ∥_{L^{\infty} (X)} = ∥ Ψ ∥_{L^{1} {(X)}^{'}} \leq 1$ und derart, dass (7.20) gilt.

Es bleibt $| α | = 1$ f.ü. in $X$ zu zeigen. Weil $X$ lokal kompakt und $σ$ -kompakt ist, existieren oﬀene Teilmengen $U_{i} \subseteq X$ , $i \in ℕ$ , mit

X = ⋃_{i = 1}^{\infty} U_{i} und μ (U_{i}) < \infty für alle i \in ℕ,

(7.23)

siehe auch Bemerkungen und Beispiele 4.36 (a). Sei nun $U \subseteq X$ eine beliebige oﬀene Menge mit $μ (U) < \infty$ . Nach (7.18) existiert dann eine Folge von Funktionen $g_{n} \in C_{c} (X)$ mit $supp g_{n} \subseteq U$ , $∥ g_{n} ∥_{\infty} \leq 1$ für $n \in ℕ$ und

μ (U) = \lim_{n \to \infty} | Ψ (g_{n}) | \overset{(7.20)}{=} \lim_{n \to \infty} | \int_{U} α g_{n} d μ | \leq \int_{U} | α | d μ

(7.24)

und somit

\int_{U} (1 - | α |) d μ = μ (U) - \int_{U} | α | d μ \leq 0 .

Da $1 - | α | \geq 0$ f.ü. in $U$ gilt, ergibt sich $| α | = 1$ f.ü. in $U$ . Mit (7.23) folgt $| α | = 1$ f.ü. in $X$ .

Ist schließlich $X$ kompakt, so haben wir wegen (7.22)

| Ψ (f) | \leq ∥ f ∥_{L^{1} (X)} \leq μ (X) ∥ f ∥_{\infty} für alle f \in C_{c} (X)

und somit $∥ Ψ ∥ \leq μ (X)$ . Ferner gilt (7.24) in diesem Fall auch für $U = X$ , und somit folgt

μ (X) \leq \underset{n \to \infty}{limsup} ∥ Ψ ∥ ∥ g_{n} ∥_{\infty} \leq ∥ Ψ ∥,

insgesamt also (7.21).

Zur Eindeutigkeit: Seien $μ$ ein Radon-Maß und $α : X \to 𝕂$ eine $μ$ -messbare Funktion mit $| α | = 1$ f.ü. auf $X$ und derart, dass (7.20) gilt. Wir zeigen, dass dann

μ (U) = \sup {| Ψ (g) | | g \in C_{c} (X), supp g \subseteq U, ∥ g ∥_{\infty} \leq 1}

(7.25)

für jede oﬀene Teilmenge $U$ von $X$ mit $μ (U) < \infty$ gilt; mit (7.23) ist $μ$ dann auf Borelmengen von $X$ eindeutig bestimmt.

Sei also $U$ oﬀen in $X$ mit $μ (U) < \infty$ . Wegen (7.20) gilt

| Ψ (g) | \leq \int_{X} | g | d μ \leq μ (U) für g \in C_{c} (X) mit supp g \subseteq U und ∥ g ∥_{\infty} \leq 1,

also folgt „ $\geq$ “ in (7.25).

Zum Beweis von „ $\leq$ “ bemerken wir zunächst, dass $U$ ebenfalls lokal kompakt und die Einschränkung von $μ$ auf die Borel- Teilmengen von $U$ wieder ein Radon-Maß ist. Anwendung des Satzes von Lusin (Satz 4.45 (b)) mit $U$ anstelle von $X$ auf die Funktion $\bar{α}$ liefert für jedes $n \in ℕ$ somit eine Funktion $g_{n} \in C_{c} (X)$ mit $supp g_{n} \subseteq U$ , $∥ g_{n} ∥_{\infty} \leq ∥ α ∥_{\infty} \leq 1$ und

μ ({x \in U | g_{n} (x) \neq \bar{α} (x)}) \leq \frac{1}{n} .

Insbesondere folgt $g_{n} \to \bar{α}$ in $L^{1} (U)$ . Weil $α$ in $L^{\infty} (X)$ liegt, folgt

μ (U) = \int_{U} | α |^{2} d μ = \lim_{n \to \infty} \int_{X} α g_{n} d μ \overset{(7.20)}{=} \lim_{n \to \infty} Ψ (g_{n}),

also „ $\leq$ “. Damit ist (7.25) gezeigt.

Sei schließlich $β : X \to 𝕂$ eine weitere $μ$ -messbare Funktion mit $| β | = 1$ f.ü. auf $X$ und

Ψ (f) = \int_{X} f α d μ = \int_{X} f β d μ für alle f \in C_{c} (X) .

Durch Betrachtung einer oﬀenen Teilmenge $U$ von $X$ mit $μ (U) < \infty$ und $f = g_{n}$ wie oben folgt dann wiederum

μ (U) = \lim_{n \to \infty} Ψ (g_{n}) = \lim_{n \to \infty} \int_{X} g_{n} β d μ = \int_{U} \bar{α} β d μ = \int_{U} Re (\bar{α} β) d μ,

also

0 = \int_{U} (1 - Re (\bar{α} β)) d μ .

Da $| \bar{α} β | = 1$ und somit $1 - Re (\bar{α} β) \geq 0$ f.ü. in $X$ gilt, folgen $Re (\bar{α} β) = 1$ und schließlich $\bar{α} β = 1$ f.ü. in $U$ . Wiederum liefert uns (7.23) $\bar{α} β = 1$ , also $α = β$ f.ü. in $X$ . □

Zum Abschluss des Kapitels liefern wir nun den

Beweis von Satz und Deﬁnition 7.40. 1. Schritt: $μ$ ist ein äußeres Maß auf $X$ . Zu (i): Aus (7.12) folgt oﬀensichtlich die Eigenschaft $μ (\emptyset) = 0$ .

Zu (ii): Seien $A_{k} \subseteq X$ , $k \in ℕ$ und $A \subseteq ⋃_{k \in ℕ} A_{k}$ gegeben. Sei zunächst angenommen, dass $A_{k}$ und $A$ oﬀene Mengen sind, und sei $f \in C_{c} (X, [0, 1])$ eine Funktion mit $K : = supp f \subseteq A$ . Da $K$ kompakt ist, existiert $l \in ℕ$ mit $K \subseteq ⋃_{k = 1}^{l} A_{k}$ . Wähle nun Funktionen $ξ_{k} \in C_{c} (X, [0, 1])$ , $k = 1, \dots, l$ mit $supp ξ_{k} \subseteq A_{k}$ und $\sum_{k = 1}^{l} ξ_{k} \equiv 1$ auf $K$ (endliche Zerlegung der Eins). Dann ist $f \leq \sum_{k = 1}^{l} f ξ_{k}$ und somit wegen (7.11)

Φ (f) \leq \sum_{k = 1}^{l} Φ (f ξ_{k}) \leq \sum_{k = 1}^{l} μ (A_{k}) \leq \sum_{k \in ℕ} μ (A_{k}) .

Supremumsbildung über $f$ liefert also

μ (A) \leq \sum_{k \in ℕ} μ (A_{k}) .

Seien nun $A$ und $A_{k}$ , $k \in ℕ$ beliebig (d.h. nicht notwendig oﬀen), sei $𝜀 > 0$ , und seien $V_{k}$ , $k \in ℕ$ oﬀene Mengen mit $A_{k} \subseteq V_{k}$ und $μ (V_{k}) \leq μ (A_{k}) + 𝜀 2^{- k}$ . Dann ist nach Deﬁnition und dem bisher Gezeigten

μ (A) \leq μ (⋃_{k \in ℕ} V_{k}) \leq \sum_{k \in ℕ} μ (V_{k}) \leq 𝜀 + \sum_{k \in ℕ} μ (A_{k}) .

Da $𝜀 > 0$ beliebig gewählt war, folgt $μ (A) \leq \sum_{k \in ℕ} μ (A_{k})$ . Wir haben somit gezeigt, dass $μ$ ein äußeres Maß ist.

2. Schritt: Die Einschränkung von $μ$ auf die Borelalgebra $B (X)$ ist ein Borelmaß. Dies folgt mit dem sogenannten Kriterium von Carathéodory: Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum und $μ$ ein äußeres Maß auf $X$ . Gilt

μ (A \cup B) = μ (A) + μ (B) f ü r A, B \subseteq X m i t dist (A, B) : = \inf {d (x, y) | x \in A, y \in B} > 0,

(7.26)

so ist jede Borelmenge $A \subseteq X$ $μ$ -messbar im Sinne von Carathéodory, d.h. es gilt

μ (Z) = μ (Z \cap A) + μ (Z \ A) für Z \subseteq X beliebig.

(7.27)

Wir prüfen zunächst die Voraussetzung (7.26): Die Ungleichung „ $\leq$ “ ist aufgrund der Subadditivität klar, zu zeigen bleibt also „ $\geq$ “. Sei dazu zunächst angenommen, dass $A, B \subseteq X$ oﬀen sind, und sei $δ > 0$ . Dann existieren Funktionen $f, g \in C_{c} (X, [0, 1])$ mit $supp f \subseteq A$ , $supp g \subseteq B$ und

μ (A) \leq Φ (f) + \frac{δ}{2} sowie μ (B) \leq Φ (g) + \frac{δ}{2} .

Da $A \cap B = \emptyset$ gilt, ist $h : = f + g \in C_{c} (X, [0, 1])$ mit $supp h \subseteq A \cup B$ , und somit gilt

μ (A \cup B) \geq Φ (h) = Φ (f) + Φ (g) = μ (A) + μ (B) + δ .

Da $δ > 0$ beliebig war, folgt die Behauptung in diesem Spezialfall. Im Allgemeinen Fall sei $𝜀 : = dist (A, B) > 0$ , $U \subseteq X$ eine beliebige oﬀene Menge mit $A \cup B \subseteq U$ , und sei

Ã : = U_{𝜀 ∕ 4} (A) \cap U, \tilde{B} : = U_{𝜀 ∕ 4} (B) \cap U .

Dann sind $Ã, \tilde{B} \subseteq X$ oﬀen mit $dist (Ã, \tilde{B}) \geq \frac{𝜀}{2}$ , und somit folgt mit dem Spezialfall und der Monotonie

μ (A) + μ (B) \leq μ (Ã) + μ (\tilde{B}) = μ (Ã \cup \tilde{B}) \leq μ (U)

Aufgrund der beliebigen Wahl von $U$ folgt also $μ (A) + μ (B) \leq μ (A \cup B)$ . Die zeigt Voraussetzung (7.26) im vorliegenden Fall.

3. Schritt: Die Einschränkung von $μ$ auf $B (X)$ ist ein Radon-Maß. Nach Deﬁnition ist $μ$ von außen regulär. Ferner gilt

μ (K) < \infty für jede kompakte Menge K \subseteq X,

denn: Gemäß Bemerkungen und Beispiele 4.36 (a) existiert $u \in C_{c} (X, [0, 1])$ mit $u \equiv 1$ in einer oﬀenen Umgebung $U$ von $K$ . Für alle $f \in C_{c} (X, [0, 1])$ mit $supp f \subseteq U$ gilt dann $Φ (f) \leq Φ (u)$ , und somit folgt $μ (U) \leq Φ (u)$ . Somit ist auch $μ (K) \leq μ (U) \leq Φ (u) < \infty$ . Gemäß der Bemerkung in Deﬁnition 4.41 ist $μ$ somit lokal endlich, und wegen Satz 4.42 (a) ist $μ$ somit ein Radon-Maß.

4. Schritt: Beweis des obigen Kriteriums von Carathéodory. Dazu reicht es, die Eigenschaft (7.27) für abgeschlossene Teilmengen $A \subseteq X$ zu beweisen (vgl. das Lemma von Carathéodory aus der Analysis II). Sei dazu $Z \subseteq X$ beliebig. Es reicht dann, die Ungleichung „ $\geq$ “ in (7.28) zu zeigen („ $\leq$ “ folgt direkt aus den Eigenschaften eines äußeren Maßes):

μ (Z) \geq μ (Z \cap A) + μ (Z \ A) .

(7.28)

Dies ist trivial, falls $μ (Z) = \infty$ ist. Sei nun $μ (Z) < \infty$ angenommen, und sei $A_{n} : = {x \in X | dist (x, A) \leq \frac{1}{n}}$ für $n \in ℕ$ . Dann ist $dist (Z \ A_{n}, Z \cap A) > 0$ und somit

μ (Z \cap A_{n}) + μ (Z \ A) = μ ((Z \cap A_{n}) \cup (Z \ A)) \leq μ (Z),

nach Voraussetzung und aufgrund des Monotonie von $μ$ . Es reicht also, zu zeigen:

\lim_{n \to \infty} μ (Z \cap A_{n}) = μ (Z \cap A) .

Sei dazu

R_{k} : = {x \in Z | \frac{1}{k + 1} < dist (x, A) \leq \frac{1}{k}} \subseteq Z für k \in ℕ .

Aufgrund der Abgeschlossenheit von $A$ ist dann $Z \ A = (Z \ A_{n}) \cup ⋃_{k = n}^{\infty} R_{k}$ und somit

μ (Z \ A_{n}) \leq μ (Z \ A) \leq μ (Z \ A_{n}) + \sum_{k = n}^{\infty} μ (R_{k}) .

Es reicht also, zu zeigen:

\lim_{n \to \infty} \sum_{k = n}^{\infty} μ (R_{k}) = 0, bzw. äquivalent: \sum_{k = 1}^{\infty} μ (R_{k}) < \infty .

(7.29)

Nach Voraussetzung (und per Induktion) gelten dabei für $m \in ℕ$ die Identitäten

\sum_{k = 1}^{m} μ (R_{2 k}) = μ (⋃_{k = 1}^{m} R_{2 k}) und \sum_{k = 0}^{m} μ (R_{2 k + 1}) = μ (⋃_{k = 1}^{m} R_{2 k + 1}),

da die hier jeweils betrachten Mengenfamilien paarweise positiven Abstand haben. Aufgrund der Monotonie folgt somit

\sum_{k = 1}^{2 m + 1} μ (R_{k}) \leq 2 μ (Z) < \infty für alle m \in ℕ .

Dies zeigt (7.29), wie benötigt. □

A. Verweise in Skript und Videos

A.1 Auﬂösung externer Verweise

Video	Referenz	Skript	Seite



4	ext1	Bemerkung und Beispiel 2.5	§
4	ext2	Punkt (e)	§
4	ext3	Satz 2.6	§
4	ext4	Punkt (N4)	§
10	ext1	Bemerkung und Beispiel 2.3	§
10	ext2	Punkt (a)	§
11	ext1	Deﬁnition und Bemerkung 2.21	§
11	ext2	Gleichung (1.2)	§
11	ext3	Kapitel 1	§
13	ext1	Satz 2.32	§
13	ext2	Bemerkung 2.31	§
13	ext3	Punkt (b)	§
13	ext4	Bemerkung 2.23	§
13	ext5	Punkt (d)	§
13	ext6	Punkt (a)	§
13	ext7	Beispiel 2.13	§
14	ext1	Bemerkung 2.31	§
14	ext2	Punkt (b)	§
14	ext3	Punkt (d)	§
16	ext1	Bemerkung 2.31	§

16	ext2	Punkt (c)	§
16	ext3	Satz 2.39	§
17	ext1	Satz 2.32	§
17	ext2	Punkt (a)	§
17	ext3	Satz 2.40	§
17	ext4	Bemerkungen und Beispiele 2.34	§
17	ext5	Punkt (c)	§
18	ext1	Satz 2.39	§
19	ext1	Korollar 3.2	§
19	ext2	Bemerkungen und Beispiele 2.34	§
19	ext3	Punkt (c)	§
20	ext1	Korollar 3.2	§
20	ext2	Punkt (b)	§
21	ext1	Deﬁnition und Bemerkung 2.22	§
21	ext2	Punkt (b)	§
21	ext3	Satz 2.9	§
21	ext4	Satz 3.5	§
22	ext1	Hauptsatz 3.12	§
22	ext2	Satz 2.37	§
23	ext1	Korollar 3.14	§

23	ext2	Punkt (b)	§
24	ext1	Satz 3.19	§
24	ext2	Bemerkung 3.20	§
25	ext1	Bemerkung 2.41	§
25	ext2	Punkt (b)	§
25	ext3	Bemerkung 2.42	§
25	ext4	Punkt (a)	§
25	ext5	Bemerkungen und Beispiele 2.34	§
25	ext6	Punkt (f)	§
26	ext1	Bemerkung 2.42	§
26	ext2	Punkt (b)	§
26	ext3	Punkt (c)	§
28	ext1	Satz 2.37	§
29	ext1	Satz 4.8	§
29	ext2	Hilfssatz 4.10	§
30	ext1	Satz 4.8	§
30	ext2	Bemerkung 2.42	§
30	ext3	Satz 2.20	§
32	ext1	Deﬁnition und Satz 2.7	§
32	ext2	Satz 2.6	§

32	ext3	Bemerkung 2.8	§
32	ext4	Punkt (b)	§
33	ext1	Satz 2.37	§
34	ext1	Satz 4.29	§
34	ext2	Punkt (b)	§
34	ext3	Satz 4.17	§
34	ext4	Satz 4.21	§
36	ext1	Bemerkung 2.42	§
36	ext2	Satz 2.45	§
36	ext3	Korollar 4.13	§
36	ext4	Satz 2.18	§
38	ext1	Satz 4.17	§
38	ext2	Satz 4.33	§
39	ext1	Satz 4.32	§
39	ext2	Satz 4.45	§
39	ext3	Punkt (b)	§
39	ext4	Satz 4.37	§
39	ext5	Punkt (a)	§
39	ext6	Punkt (b)	§
39	ext7	Korollar 4.13	§

39	ext8	Satz 2.18	§
40	ext1	Satz 4.21	§
40	ext2	Satz 4.19	§
40	ext3	Satz 4.47	§
40	ext4	Bemerkung und Beispiel 4.26	§
40	ext5	Punkt (b)	§
41	ext1	Satz 2.32	§
42	ext1	Satz 3.24	§
42	ext2	Punkt (b)	§
43	ext1	Satz und Deﬁnition 5.1	§
43	ext2	Satz 5.2	§
43	ext3	Punkt (b)	§
43	ext4	Satz und Deﬁnition 5.6	§
43	ext5	Deﬁnition 3.22	§
43	ext6	Punkt (a)	§
43	ext7	Punkt (c)	§
43	ext8	Deﬁnition und Satz 5.5	§
43	ext9	Punkt (b)	§
44	ext1	Satz und Deﬁnition 5.7	§
45	ext1	Satz 4.21	§

45	ext2	Satz 5.14	§
47	ext1	Gleichung (5.4)	§
47	ext2	Satz 5.10	§
47	ext3	Bemerkung 5.15	§
47	ext4	Punkt (a)	§
47	ext5	Punkt (b)	§
48	ext1	Satz und Deﬁnition 5.7	§
48	ext2	Punkt (b)	§
49	ext1	Satz 5.23	§
49	ext2	Satz und Deﬁnition 5.6	§
49	ext3	Punkt (a)	§
49	ext4	Punkt (b)	§
49	ext5	Satz 5.20	§
49	ext6	Punkt (b)	§
50	ext1	Deﬁnition und Korollar 4.12	§
50	ext2	Satz 4.47	§
50	ext3	Beispiel 2.29	§
50	ext4	Punkt (c)	§
50	ext5	Hauptsatz 3.8	§
51	ext1	Satz 5.10	§

52	ext1	Deﬁnition und Satz 5.16	§
52	ext2	Satz 5.17	§
52	ext3	Satz 5.31	§
52	ext4	Punkt (d)	§
52	ext5	Bemerkung 5.18	§
52	ext6	Abschnitt 5.2	§
53	ext1	Abschnitt 5.2	§
53	ext2	Kapitel 1	§
53	ext3	Gleichung (5.11)	§
53	ext4	Satz 5.31	§
53	ext5	Satz 4.47	§
53	ext6	Gleichung (5.12)	§
53	ext7	Punkt (c)	§
54	ext1	Gleichung (5.11)	§
54	ext2	Satz 5.31	§
56	ext1	Satz und Deﬁnition 5.7	§
56	ext2	Satz und Deﬁnition 5.36	§
59	ext1	Satz 6.2	§
60	ext1	Korollar 6.5	§
61	ext1	Kapitel 5	§

61	ext2	Beispiele 6.17	§
61	ext3	Punkt (d)	§
61	ext4	Satz 3.24	§
61	ext5	Punkt (a)	§
61	ext6	Satz 6.4	§
61	ext7	Korollar 6.5	§
62	ext1	Satz 6.4	§
63	ext1	Satz 2.6	§
63	ext2	Satz 6.2	§
63	ext3	Satz 6.3	§
64	ext1	Korollar 6.5	§
64	ext2	Beispiele 6.17	§
64	ext3	Punkt (c)	§
64	ext4	Satz 5.23	§
65	ext1	Deﬁnition 6.6	§
65	ext2	Hauptsatz 3.8	§
65	ext3	Korollar 3.9	§
65	ext4	Punkt (c)	§
65	ext5	Korollar 6.20	§
65	ext6	Punkt (b)	§

66	ext1	Beispiele 6.17	§
66	ext2	Satz 6.25	§
66	ext3	Korollar 6.26	§
66	ext4	Korollar 3.9	§
66	ext5	Punkt (c)	§
66	ext6	Punkt (b)	§
67	ext1	Deﬁnition 6.6	§
67	ext2	Satz 5.10	§
67	ext3	Punkt (b)	§
67	ext4	Satz 6.10	§
67	ext5	Punkt (b)	§
67	ext6	Satz 6.11	§
67	ext7	Punkt (b)	§
68	ext1	Satz 6.15	§
68	ext2	Bemerkung 6.16	§
68	ext3	Korollar 4.13	§
68	ext4	Satz 6.10	§
68	ext5	Satz 6.4	§
68	ext6	Punkt (a)	§
69	ext1	Satz 6.37	§

69	ext2	Hilfssatz 6.35	§
69	ext3	Punkt (b)	§
69	ext4	Hauptsatz 6.31	§
69	ext5	Korollar 6.26	§
69	ext6	Bemerkungen und Beispiele 6.34	§
69	ext7	Punkt (b)	§
69	ext8	Bemerkungen und Beispiele 6.36	§
69	ext9	Punkt (a)	§
70	ext1	Abschnitt 6.3	§
70	ext2	Korollar 6.20	§
70	ext3	Punkt (b)	§
71	ext1	Korollar 6.5	§
72	ext1	Hilfssatz 6.43	§
72	ext2	Satz 6.46	§
72	ext3	Punkt (b)	§
74	ext1	Satz 6.49	§
74	ext2	Satz 6.47	§
74	ext3	Satz 6.19	§
74	ext4	Satz 6.4	§
74	ext5	Satz 6.15	§

74	ext6	Punkt (a)	§
74	ext7	Satz 6.40	§
74	ext8	Punkt (a)	§
74	ext9	Bemerkungen und Beispiele 6.34	§
74	ext10	Punkt (b)	§
75	ext1	Bemerkung und Beispiel 4.26	§
75	ext2	Punkt (b)	§
75	ext3	Korollar 6.50	§
75	ext4	Satz 5.10	§
76	ext1	Beispiel 2.29	§
76	ext2	Punkt (c)	§
76	ext3	Korollar 4.6	§
76	ext4	Satz 2.45	§
77	ext1	Bemerkung 2.42	§
77	ext2	Punkt (b)	§
77	ext3	Bemerkung 7.3	§
77	ext4	Punkt (c)	§
78	ext1	Korollar 4.6	§
78	ext2	Korollar 6.5	§
78	ext3	Satz 6.27	§

78	ext4	Punkt (a)	§
78	ext5	Bemerkung und Beispiel 4.3	§
78	ext6	Punkt (b)	§
78	ext7	Satz 4.5	§
79	ext1	Satz 6.4	§
79	ext2	Satz 3.24	§
79	ext3	Punkt (a)	§
79	ext4	Satz 2.45	§
79	ext5	Satz 7.7	§
79	ext6	Satz 6.15	§
79	ext7	Punkt (c)	§
79	ext8	Satz 7.6	§
80	ext1	Satz 2.37	§
80	ext2	Korollar 3.14	§
81	ext1	Satz 7.11	§
81	ext2	Hilfssatz 7.10	§
81	ext3	Satz 7.14	§
81	ext4	Satz 3.24	§
81	ext5	Korollar 3.14	§
83	ext1	Lemma 7.18	§

83	ext2	Beispiel 7.16	§
83	ext3	Punkt (b)	§
84	ext1	Hilfssatz 7.21	§
84	ext2	Lemma 7.18	§
84	ext3	Satz 7.19	§
85	ext1	Satz 7.20	§
85	ext2	Satz 7.22	§
87	ext1	Deﬁnition und Satz 4.50	§
88	ext1	Beispiel 7.29	§
88	ext2	Satz 7.30	§
88	ext3	Punkt (f)	§
88	ext4	Punkt (d)	§
89	ext1	Satz 7.32	§
89	ext2	Satz 7.30	§
89	ext3	Punkt (c)	§
89	ext4	Beispiel 7.31	§
90	ext1	Bemerkung und Beispiel 4.26	§
90	ext2	Punkt (a)	§
90	ext3	Deﬁnition und Satz 4.50	§
90	ext4	Punkt (b)	§

91	ext1	Bemerkung 5.43	§
91	ext2	Satz 7.33	§
91	ext3	Punkt (b)	§
91	ext4	Bemerkung und Beispiel 4.26	§
91	ext5	Punkt (a)	§
91	ext6	Punkt (a)	§
91	ext7	Satz 7.30	§
91	ext8	Punkt (f)	§
91	ext9	Deﬁnition und Satz 4.50	§
91	ext10	Satz 6.1	§
91	ext11	Hilfssatz 7.35	§
91	ext12	Satz 4.29	§
91	ext13	Punkt (c)	§
92	ext1	Hauptsatz 7.36	§
93	ext1	Satz 4.45	§
93	ext2	Punkt (b)	§
94	ext1	Satz 4.45	§
94	ext2	Punkt (b)	§
94	ext3	Bemerkung 7.41	§
95	ext1	Gleichung (7.12)	§

96	ext1	Satz 7.43	§
96	ext2	Gleichung (7.17)	§
96	ext3	Gleichung (7.14)	§
96	ext4	Satz 4.47	§
96	ext5	Satz 6.1	§
96	ext6	Punkt (b)	§
96	ext7	Satz 6.52	§
96	ext8	Bemerkungen und Beispiele 4.36	§
96	ext9	Punkt (a)	§
96	ext10	Gleichung (7.18)	§
96	ext11	Satz 4.45	§
96	ext12	Punkt (b)	§
97	ext1	Satz und Deﬁnition 7.40	§
97	ext2	Punkt (i)	§
97	ext3	Gleichung (7.12)	§
97	ext4	Punkt (ii)	§
97	ext5	Gleichung (7.11)	§
97	ext6	Bemerkungen und Beispiele 4.36	§
97	ext7	Punkt (a)	§
97	ext8	Deﬁnition 4.41	§

97	ext9	Satz 4.42	§
97	ext10	Punkt (a)	§

A.2 Korrespondenz interner Verweise

Video	Referenz	Skript	Seite



1	??	Kapitel 1	§
1	1Gleichung (1)	Gleichung (1.1)	§
1	2Gleichung (2)	Gleichung (1.2)	§
1	3Gleichung (3)	Gleichung (1.3)	§
2	??	Abschnitt 2.1	§
2	1Deﬁnition 1	Deﬁnition 2.1	§
2	2Deﬁnition 2	Deﬁnition 2.2	§
2	3Bemerkung und Beispiel 3	Bemerkung und Beispiel 2.3	§
3	1Deﬁnition 1	Deﬁnition 2.4	§
3	2Bemerkung und Beispiel 2	Bemerkung und Beispiel 2.5	§
3	3Satz 3	Satz 2.6	§
4	1Deﬁnition und Satz 1	Deﬁnition und Satz 2.7	§
4	2Bemerkung 2	Bemerkung 2.8	§
4	3Satz 3	Satz 2.9	§
5	1Deﬁnition 1	Deﬁnition 2.10	§
5	2Bemerkung 2	Bemerkung 2.11	§
5	3Satz 3	Satz 2.12	§
5	4Beispiel 4	Beispiel 2.13	§
6	??	Abschnitt 2.2	§
6	1Deﬁnition 1	Deﬁnition 2.14	§

6	2Deﬁnition und Bemerkung 2	Deﬁnition und Bemerkung 2.15	§
7	1Deﬁnition 1	Deﬁnition 2.16	§
7	2Beispiel 2	Beispiel 2.17	§
7	3Satz 3	Satz 2.18	§
8	1Deﬁnition 1	Deﬁnition 2.19	§
8	2Satz 2	Satz 2.20	§
8	1Gleichung (1)	Gleichung (2.2)	§
8	3Deﬁnition und Bemerkung 3	Deﬁnition und Bemerkung 2.21	§
9	1Deﬁnition und Bemerkung 1	Deﬁnition und Bemerkung 2.22	§
9	2Bemerkung 2	Bemerkung 2.23	§
9	3Deﬁnition 3	Deﬁnition 2.24	§
9	4Bemerkung 4	Bemerkung 2.25	§
10	1Satz 1	Satz 2.26	§
10	2Deﬁnition 2	Deﬁnition 2.27	§
10	3Bemerkung 3	Bemerkung 2.28	§
11	1Beispiel 1	Beispiel 2.29	§
11	1Gleichung (1)	Gleichung (2.3)	§
12	1Deﬁnition 1	Deﬁnition 2.30	§
12	2Bemerkung 2	Bemerkung 2.31	§
12	3Satz 3	Satz 2.32	§

12	4Bemerkung 4	Bemerkung 2.33	§
13	1Bemerkungen und Beispiele 1	Bemerkungen und Beispiele 2.34	§
14	1Satz 1	Satz 2.35	§
14	2Deﬁnition 2	Deﬁnition 2.36	§
14	3Satz 3	Satz 2.37	§
15	??	Abschnitt 2.5	§
15	1Deﬁnition und Bemerkung 1	Deﬁnition und Bemerkung 2.38	§
15	2Satz 2	Satz 2.39	§
15	1Gleichung (1)	Gleichung (2.4)	§
16	1Satz 1	Satz 2.40	§
16	1Gleichung (1)	Gleichung (2.5)	§
16	2Gleichung (2)	Gleichung (2.6)	§
16	3Gleichung (3)	Gleichung (2.7)	§
17	1Bemerkung 1	Bemerkung 2.41	§
17	2Bemerkung 2	Bemerkung 2.42	§
17	3Satz 3	Satz 2.43	§
17	4Lemma 4	Lemma 2.44	§
17	5Satz 5	Satz 2.45	§
17	1Gleichung (1)	Gleichung (2.8)	§
18	??	Abschnitt 3.1	§

18	1Satz 1	Satz 3.1	§
18	1Gleichung (1)	Gleichung (3.1)	§
18	2Gleichung (2)	Gleichung (3.2)	§
18	2Korollar 2	Korollar 3.2	§
19	1Deﬁnition 1	Deﬁnition 3.3	§
19	2Bemerkungen und Beispiele 2	Bemerkungen und Beispiele 3.4	§
19	3Satz 3	Satz 3.5	§
19	4Korollar 4	Korollar 3.6	§
19	5Bemerkung 5	Bemerkung 3.7	§
20	??	Abschnitt 3.2	§
20	1Hauptsatz 1	Hauptsatz 3.8	§
20	1Gleichung (1)	Gleichung (3.3)	§
20	2Korollar 2	Korollar 3.9	§
20	2Gleichung (2)	Gleichung (3.4)	§
20	3Bemerkung 3	Bemerkung 3.10	§
21	??	Abschnitt 3.3	§
21	1Deﬁnition und Bemerkung 1	Deﬁnition und Bemerkung 3.11	§
21	2Hauptsatz 2	Hauptsatz 3.12	§
21	3Beispiel 3	Beispiel 3.13	§
21	4Korollar 4	Korollar 3.14	§

21	5Korollar 5	Korollar 3.15	§
22	1Notation 1	Notation 3.16	§
22	2Lemma 2	Lemma 3.17	§
22	1Gleichung (1)	Gleichung (3.5)	§
22	2Gleichung (2)	Gleichung (3.6)	§
22	3Gleichung (3)	Gleichung (3.7)	§
23	??	Abschnitt 3.4	§
23	1Deﬁnition und Bemerkung 1	Deﬁnition und Bemerkung 3.18	§
23	2Satz 2	Satz 3.19	§
23	3Bemerkung 3	Bemerkung 3.20	§
24	1Bemerkung 1	Bemerkung 3.21	§
24	2Deﬁnition 2	Deﬁnition 3.22	§
24	3Beispiel 3	Beispiel 3.23	§
24	4Satz 4	Satz 3.24	§
25	??	Kapitel 4	§
25	1Bemerkung 1	Bemerkung 4.1	§
25	2Deﬁnition 2	Deﬁnition 4.2	§
25	3Bemerkung und Beispiel 3	Bemerkung und Beispiel 4.3	§
25	4Deﬁnition und Satz 4	Deﬁnition und Satz 4.4	§
26	1Satz 1	Satz 4.5	§

26	1Gleichung (1)	Gleichung (4.1)	§
26	2Gleichung (2)	Gleichung (4.2)	§
26	2Korollar 2	Korollar 4.6	§
27	1Bemerkung 1	Bemerkung 4.7	§
27	2Satz 2	Satz 4.8	§
28	1Hilfssatz 1	Hilfssatz 4.9	§
28	1Gleichung (1)	Gleichung (4.3)	§
28	2Gleichung (2)	Gleichung (4.4)	§
28	3Gleichung (3)	Gleichung (4.5)	§
28	2Hilfssatz 2	Hilfssatz 4.10	§
28	4Gleichung (4)	Gleichung (4.6)	§
29	1Gleichung (1)	Gleichung (4.7)	§
30	1Korollar 1	Korollar 4.11	§
30	2Deﬁnition und Korollar 2	Deﬁnition und Korollar 4.12	§
30	3Korollar 3	Korollar 4.13	§
31	??	Abschnitt 4.3	§
31	1Deﬁnition 1	Deﬁnition 4.14	§
31	1Gleichung (1)	Gleichung (4.8)	§
31	2Bemerkung 2	Bemerkung 4.15	§
31	3Deﬁnition und Bemerkung 3	Deﬁnition und Bemerkung 4.16	§

31	2Gleichung (2)	Gleichung (4.9)	§
31	4Satz 4	Satz 4.17	§
31	5Bemerkung 5	Bemerkung 4.18	§
31	6Satz 6	Satz 4.19	§
31	7Lemma 7	Lemma 4.20	§
31	8Satz 8	Satz 4.21	§
32	1Deﬁnition und Bemerkung 1	Deﬁnition und Bemerkung 4.22	§
32	2Satz und Deﬁnition 2	Satz und Deﬁnition 4.23	§
32	3Satz 3	Satz 4.24	§
32	4Bemerkung 4	Bemerkung 4.25	§
32	5Bemerkung und Beispiel 5	Bemerkung und Beispiel 4.26	§
33	1Deﬁnition und Satz 1	Deﬁnition und Satz 4.27	§
33	2Bemerkung 2	Bemerkung 4.28	§
33	3Satz 3	Satz 4.29	§
33	1Gleichung (1)	Gleichung (4.10)	§
34	2Deﬁnition und Satz 2	Deﬁnition und Satz 4.31	§
34	3Satz 3	Satz 4.32	§
35	1Satz 1	Satz 4.33	§
36	1Deﬁnition 1	Deﬁnition 4.34	§
36	2Deﬁnition 2	Deﬁnition 4.35	§

36	3Bemerkungen und Beispiele 3	Bemerkungen und Beispiele 4.36	§
36	4Satz 4	Satz 4.37	§
36	5Bemerkung 5	Bemerkung 4.38	§
37	1Deﬁnition 1	Deﬁnition 4.39	§
37	2Beispiele 2	Beispiele 4.40	§
37	3Deﬁnition 3	Deﬁnition 4.41	§
37	1Gleichung (1)	Gleichung (4.11)	§
37	4Satz 4	Satz 4.42	§
37	2Gleichung (2)	Gleichung (4.12)	§
37	5Beispiel 5	Beispiel 4.43	§
38	1Hilfssatz 1	Hilfssatz 4.44	§
38	2Satz 2	Satz 4.45	§
39	1Beispiel 1	Beispiel 4.46	§
39	2Satz 2	Satz 4.47	§
39	3Bemerkung 3	Bemerkung 4.48	§
40	1Satz 1	Satz 4.49	§
40	2Deﬁnition und Satz 2	Deﬁnition und Satz 4.50	§
41	??	Kapitel 5	§
41	??	Abschnitt 5.1	§
41	1Satz und Deﬁnition 1	Satz und Deﬁnition 5.1	§

41	1Gleichung (1)	Gleichung (5.1)	§
41	2Satz 2	Satz 5.2	§
41	3Bemerkung 3	Bemerkung 5.3	§
41	4Beispiel 4	Beispiel 5.4	§
42	1Deﬁnition und Satz 1	Deﬁnition und Satz 5.5	§
42	2Satz und Deﬁnition 2	Satz und Deﬁnition 5.6	§
43	1Satz und Deﬁnition 1	Satz und Deﬁnition 5.7	§
43	1Gleichung (1)	Gleichung (5.2)	§
43	2Korollar 2	Korollar 5.8	§
44	1Deﬁnition und Bemerkung 1	Deﬁnition und Bemerkung 5.9	§
44	1Gleichung (1)	Gleichung (5.3)	§
44	2Satz 2	Satz 5.10	§
45	??	Abschnitt 5.2	§
45	NPGleichung (NP)	Gleichung (5.4)	§
45	1Deﬁnition 1	Deﬁnition 5.11	§
45	1Gleichung (1)	Gleichung (5.4)	§
45	2Bemerkung und Beispiel 2	Bemerkung und Beispiel 5.12	§
46	1Satz 1	Satz 5.13	§
46	2Satz 2	Satz 5.14	§
46	1Gleichung (1)	Gleichung (5.5)	§

46	2Gleichung (2)	Gleichung (5.6)	§
46	3Bemerkung 3	Bemerkung 5.15	§
47	1Deﬁnition und Satz 1	Deﬁnition und Satz 5.16	§
47	2Satz 2	Satz 5.17	§
47	3Bemerkung 3	Bemerkung 5.18	§
47	1Gleichung (1)	Gleichung (5.7)	§
47	NRGleichung (NR)	Gleichung (5.8)	§
48	1Deﬁnition 1	Deﬁnition 5.19	§
48	2Satz 2	Satz 5.20	§
48	3Satz 3	Satz 5.21	§
48	4Deﬁnition 4	Deﬁnition 5.22	§
48	5Satz 5	Satz 5.23	§
49	1Korollar 1	Korollar 5.24	§
49	2Bemerkung 2	Bemerkung 5.25	§
49	1Gleichung (1)	Gleichung (5.8)	§
49	3Satz 3	Satz 5.26	§
50	1Deﬁnition und Satz 1	Deﬁnition und Satz 5.27	§
50	2Bemerkung 2	Bemerkung 5.28	§
50	1Gleichung (1)	Gleichung (5.9)	§
51	??	Abschnitt 5.5	§

51	1Deﬁnition 1	Deﬁnition 5.29	§
51	2Satz und Deﬁnition 2	Satz und Deﬁnition 5.30	§
51	1Gleichung (1)	Gleichung (5.10)	§
51	3Satz 3	Satz 5.31	§
51	2Gleichung (2)	Gleichung (5.11)	§
51	3Gleichung (3)	Gleichung (5.12)	§
51	4Gleichung (4)	Gleichung (5.13)	§
51	5Gleichung (5)	Gleichung (5.14)	§
51	6Gleichung (6)	Gleichung (5.15)	§
51	4Bemerkung 4	Bemerkung 5.32	§
52	1Beispiel 1	Beispiel 5.33	§
52	1Gleichung (1)	Gleichung (5.16)	§
52	2Gleichung (2)	Gleichung (5.17)	§
52	2Bemerkung 2	Bemerkung 5.34	§
52	3Gleichung (3)	Gleichung (5.18)	§
53	1Beispiel 1	Beispiel 5.35	§
53	1Gleichung (1)	Gleichung (5.19)	§
53	2Gleichung (2)	Gleichung (5.20)	§
54	??	Abschnitt 5.6	§
54	1Satz und Deﬁnition 1	Satz und Deﬁnition 5.36	§

54	2Satz 2	Satz 5.37	§
54	1Gleichung (1)	Gleichung (5.21)	§
54	3Deﬁnition 3	Deﬁnition 5.38	§
55	1Beispiel 1	Beispiel 5.39	§
55	2Beispiel 2	Beispiel 5.40	§
56	1Satz 1	Satz 5.41	§
56	2Satz 2	Satz 5.42	§
56	3Bemerkung 3	Bemerkung 5.43	§
56	4Bemerkung 4	Bemerkung 5.44	§
56	1Gleichung (1)	Gleichung (5.22)	§
57	??	Abschnitt 6.1	§
57	1Satz 1	Satz 6.1	§
57	??	Punkt (b)	§
58	1Satz 1	Satz 6.2	§
58	1Gleichung (1)	Gleichung (6.1)	§
59	1Satz 1	Satz 6.3	§
59	2Satz 2	Satz 6.4	§
59	3Korollar 3	Korollar 6.5	§
60	??	Abschnitt 6.2	§
60	1Deﬁnition 1	Deﬁnition 6.6	§

60	2Satz 2	Satz 6.7	§
60	3Korollar 3	Korollar 6.8	§
60	4Deﬁnition und Satz 4	Deﬁnition und Satz 6.9	§
60	5Satz 5	Satz 6.10	§
60	6Satz 6	Satz 6.11	§
61	1Deﬁnition 1	Deﬁnition 6.12	§
61	2Bemerkung 2	Bemerkung 6.13	§
61	3Satz 3	Satz 6.14	§
61	4Satz 4	Satz 6.15	§
61	5Bemerkung 5	Bemerkung 6.16	§
62	1Beispiele 1	Beispiele 6.17	§
63	??	Abschnitt 6.3	§
63	1Deﬁnition und Satz 1	Deﬁnition und Satz 6.18	§
63	2Satz 2	Satz 6.19	§
63	1Gleichung (1)	Gleichung (6.2)	§
63	3Korollar 3	Korollar 6.20	§
63	4Bemerkung 4	Bemerkung 6.21	§
64	??	Abschnitt 6.4	§
64	1Deﬁnition 1	Deﬁnition 6.22	§
64	2Bemerkungen und Beispiele 2	Bemerkungen und Beispiele 6.23	§

64	1Gleichung (1)	Gleichung (6.3)	§
64	2Gleichung (2)	Gleichung (6.4)	§
65	1Satz 1	Satz 6.24	§
65	2Satz 2	Satz 6.25	§
65	3Korollar 3	Korollar 6.26	§
65	4Satz 4	Satz 6.27	§
65	5Bemerkung 5	Bemerkung 6.28	§
66	1Deﬁnition 1	Deﬁnition 6.29	§
66	2Bemerkung und Beispiel 2	Bemerkung und Beispiel 6.30	§
66	3Hauptsatz 3	Hauptsatz 6.31	§
67	??	Abschnitt 6.5	§
67	1Notation 1	Notation 6.32	§
67	2Deﬁnition 2	Deﬁnition 6.33	§
67	3Bemerkungen und Beispiele 3	Bemerkungen und Beispiele 6.34	§
67	3Bemerkungen und Beispiele 3	Bemerkungen und Beispiele 6.34	§
68	1Hilfssatz 1	Hilfssatz 6.35	§
68	2Bemerkungen und Beispiele 2	Bemerkungen und Beispiele 6.36	§
68	3Satz 3	Satz 6.37	§
68	1Gleichung (1)	Gleichung (6.5)	§
69	1Hauptsatz 1	Hauptsatz 6.38	§

69	2Bemerkung 2	Bemerkung 6.39	§
69	3Satz 3	Satz 6.40	§
69	4Bemerkung 4	Bemerkung 6.41	§
70	1Hilfssatz 1	Hilfssatz 6.42	§
70	2Hilfssatz 2	Hilfssatz 6.43	§
71	1Deﬁnition 1	Deﬁnition 6.44	§
71	1Gleichung (1)	Gleichung (6.6)	§
71	2Beispiele 2	Beispiele 6.45	§
71	3Satz 3	Satz 6.46	§
72	1Satz 1	Satz 6.47	§
72	1Gleichung (1)	Gleichung (6.7)	§
73	1Hilfssatz 1	Hilfssatz 6.48	§
73	1Gleichung (1)	Gleichung (6.8)	§
73	2Gleichung (2)	Gleichung (6.9)	§
73	2Satz 2	Satz 6.49	§
74	1Korollar 1	Korollar 6.50	§
74	2Bemerkung 2	Bemerkung 6.51	§
75	1Satz 1	Satz 6.52	§
75	1Gleichung (1)	Gleichung (6.10)	§
75	2Gleichung (2)	Gleichung (6.11)	§

76	??	Kapitel 7	§
76	??	Abschnitt 7.1	§
76	1Deﬁnition 1	Deﬁnition 7.1	§
76	2Beispiel 2	Beispiel 7.2	§
76	3Bemerkung 3	Bemerkung 7.3	§
77	1Satz 1	Satz 7.4	§
77	2Beispiel 2	Beispiel 7.5	§
77	3Satz 3	Satz 7.6	§
78	1Satz 1	Satz 7.7	§
78	2Deﬁnition 2	Deﬁnition 7.8	§
78	3Beispiel 3	Beispiel 7.9	§
79	1Hilfssatz 1	Hilfssatz 7.10	§
79	2Satz 2	Satz 7.11	§
80	1Deﬁnition und Satz 1	Deﬁnition und Satz 7.12	§
80	2Korollar 2	Korollar 7.13	§
80	3Satz 3	Satz 7.14	§
81	1Deﬁnition 1	Deﬁnition 7.15	§
81	2Beispiel 2	Beispiel 7.16	§
81	3Bemerkung 3	Bemerkung 7.17	§
81	4Lemma 4	Lemma 7.18	§

82	1Satz 1	Satz 7.19	§
82	1Gleichung (1)	Gleichung (7.1)	§
82	2Gleichung (2)	??	??
83	1Satz 1	Satz 7.20	§
83	2Hilfssatz 2	Hilfssatz 7.21	§
84	1Satz 1	Satz 7.22	§
84	1Gleichung (1)	Gleichung (7.3)	§
85	1Korollar 1	Korollar 7.23	§
85	2Beispiel 2	Beispiel 7.24	§
85	1Gleichung (1)	Gleichung (7.4)	§
85	2Gleichung (2)	Gleichung (7.5)	§
86	??	Abschnitt 7.3	§
86	1Deﬁnition 1	Deﬁnition 7.25	§
86	2Deﬁnition und Satz 2	Deﬁnition und Satz 7.26	§
86	3Beispiel 3	Beispiel 7.27	§
86	4Deﬁnition 4	Deﬁnition 7.28	§
86	5Beispiel 5	Beispiel 7.29	§
87	1Satz 1	Satz 7.30	§
88	1Beispiel 1	Beispiel 7.31	§
88	2Satz 2	Satz 7.32	§

89	1Satz 1	Satz 7.33	§
89	1Gleichung (1)	Gleichung (7.6)	§
89	2Beispiel 2	Beispiel 7.34	§
90	1Hilfssatz 1	Hilfssatz 7.35	§
90	1Gleichung (1)	Gleichung (7.7)	§
90	2Gleichung (2)	Gleichung (7.8)	§
91	1Hauptsatz 1	Hauptsatz 7.36	§
92	1Bemerkung 1	Bemerkung 7.37	§
92	2Beispiel 2	Beispiel 7.38	§
92	1Gleichung (1)	Gleichung (7.9)	§
93	??	Abschnitt 7.4	§
93	1Deﬁnition 1	Deﬁnition 7.39	§
93	1Gleichung (1)	Gleichung (7.10)	§
93	2Gleichung (2)	Gleichung (7.11)	§
93	2Satz und Deﬁnition 2	Satz und Deﬁnition 7.40	§
93	3Gleichung (3)	Gleichung (7.12)	§
93	4Gleichung (4)	Gleichung (7.13)	§
93	3Bemerkung 3	Bemerkung 7.41	§
94	1Satz 1	Satz 7.42	§
94	1Gleichung (1)	Gleichung (7.14)	§

94	2Gleichung (2)	Gleichung (7.15)	§
94	3Gleichung (3)	Gleichung (7.16)	§
95	1Satz 1	Satz 7.43	§
95	1Gleichung (1)	Gleichung (7.17)	§
95	2Gleichung (2)	Gleichung (7.18)	§
95	3Gleichung (3)	Gleichung (7.19)	§
96	1Hauptsatz 1	Hauptsatz 7.44	§
96	1Gleichung (1)	Gleichung (7.20)	§
96	2Gleichung (2)	Gleichung (7.21)	§
96	3Gleichung (3)	Gleichung (7.22)	§
96	4Gleichung (4)	Gleichung (7.23)	§
96	5Gleichung (5)	Gleichung (7.24)	§
96	6Gleichung (6)	Gleichung (7.25)	§
97	1Gleichung (1)	Gleichung (7.26)	§
97	2Gleichung (2)	Gleichung (7.27)	§
97	3Gleichung (3)	Gleichung (7.28)	§
97	4Gleichung (4)	Gleichung (7.29)	§